AMC 10 · 2023 · #20

학년 7 geometry-2d

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📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Each square in a $3\times3$ grid of squares is colored red, white, blue, or green so that every $2\times2$ square contains one square of each color. One such coloring is shown on the right below. How many different colorings are possible?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $3 \times 3$ 격자의 각 칸을 네 가지 색(빨강 R, 흰색 W, 파랑 B, 초록 G) 중 하나로 칠하되, 모든 $2 \times 2$ 부분 격자가 네 색을 한 번씩 모두 포함해야 합니다. 가능한 색칠의 수를 구하세요.

주어진 것: $3 \times 3$ 격자 (칸 9개); 네 가지 색: R, W, B, G; 모든 $2 \times 2$ 부분 격자에 네 색이 각각 한 번씩 등장; $3 \times 3$ 격자에는 $2 \times 2$ 부분 격자가 네 개 있음 (왼쪽 위, 오른쪽 위, 왼쪽 아래, 오른쪽 아래); 선택지: (A) $24$, (B) $48$, (C) $60$, (D) $72$, (E) $96$

구하는 것: 조건을 만족하는 $3 \times 3$ 색칠의 총 개수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #1 그림 그리기

두 단계 구조가 자연스럽게 보입니다(도구 #7 작은 문제로 쪼개기): (i) 왼쪽 위 $2 \times 2$ 블록을 $4! = 24$ 가지로 색칠, (ii) 세 번째 행과 세 번째 열을 네 $2 \times 2$ 블록 조건을 모두 만족하도록 채우는 방법 수. $24$ 개의 초기 색칠은 대칭이라 하나(예: 시계방향 R-W-B-G)를 고정해 세고 마지막에 곱합니다. 완성 단계에서 오른쪽 열과 아래 행 각각 "국소" 선택이 두 가지씩이라 총 네 조합을 검사(도구 #2 빠짐없이 나열하기). 도구 #1(그림 그리기) 로 격자를 그려 의존성을 추적.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 3.G.A.2 단계 1

$3 \times 3$ 격자를 칸 $C_{11}, \dots, C_{33}$ 으로 표시하고 네 개의 $2 \times 2$ 블록을 찾습니다: 왼쪽 위 $\{C_{11},C_{12},C_{21},C_{22}\}$, 오른쪽 위 $\{C_{12},C_{13},C_{22},C_{23}\}$, 왼쪽 아래 $\{C_{21},C_{22},C_{31},C_{32}\}$, 오른쪽 아래 $\{C_{22},C_{23},C_{32},C_{33}\}$.
중앙 칸 $C_{22}$ 는 네 블록 모두에 속합니다.

$$4 \text{개의 겹치는 } 2 \times 2 \text{ 블록, 중앙 } C_{22} \text{ 공유}$$

💡 $3 \times 3$ 위의 네 $2 \times 2$ 창을 그리면 겹침과 강한 제약이 한눈에 보입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 2

1단계: 왼쪽 위 $2 \times 2$ 블록의 색칠 수.
네 색을 네 칸에 배열하는 방법은 $4! = 24$.
대표 배열을 하나 고정해 완성 방법을 세고 마지막에 $24$ 를 곱합니다.

$$\#\{C_{11}, C_{12}, C_{21}, C_{22}\} = 4! = 24$$

💡 모든 $2 \times 2$ 블록이 네 색을 정확히 한 번씩 사용하므로, 왼쪽 위 블록은 $\{R, W, B, G\}$ 의 순열.

#1 그림 그리기 3.G.A.2 단계 3

대표 고정: $C_{11} = R,\ C_{12} = W,\ C_{21} = B,\ C_{22} = G$.
이제 오른쪽 열 $(C_{13}, C_{23})$ 과 아래 행 $(C_{31}, C_{32})$ 가 각각 두 색이 이미 정해진 $2 \times 2$ 블록에 의해 제약됩니다.

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline R & W & ? \\ \hline B & G & ? \\ \hline ? & ? & ? \\ \hline \end{array}$$

💡 왼쪽 위 블록을 고정하면 남은 5칸을 강한 국소 제약 아래 채우는 일만 남습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 4

오른쪽 위 블록에 $C_{12} = W$ 와 $C_{22} = G$ 가 있으므로 빠진 두 색 $\{R, B\}$ 가 $(C_{13}, C_{23})$ 에 두 가지 순서로 들어감.
왼쪽 아래 블록에 $C_{21} = B$ 와 $C_{22} = G$ 가 있으므로 빠진 $\{R, W\}$ 가 $(C_{31}, C_{32})$ 에 두 가지 순서.
국소적으로 $2 \times 2 = 4$ 선택.
단, 오른쪽 아래 $2 \times 2$ 검사를 통과해야 함.

$$(C_{13}, C_{23}) \in \{(R,B), (B,R)\},\ (C_{31}, C_{32}) \in \{(R,W), (W,R)\}$$

💡 이웃한 각 $2 \times 2$ 블록이 자신의 알려진 절반에서 빠진 두 색을 필요로 함 — 빠진 쌍마다 자연스레 두 선택지.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 5

도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 두 이진 선택의 $4$ 조합을 모두 나열하고, 오른쪽 아래 블록 $\{C_{22}, C_{23}, C_{32}, C_{33}\}$ 에 대해 유효한 $C_{33}$ 이 존재하는지 검사.

$$4 \text{ 조합} \to \text{유효한 것 세기}$$

💡 조합이 넷뿐이라 영리한 논증보다 나열 — 확인 — 세기가 더 빠릅니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 6

경우 1: $(C_{13}, C_{23}) = (R, B)$, $(C_{31}, C_{32}) = (R, W)$.
오른쪽 아래 블록은 $C_{22}=G, C_{23}=B, C_{32}=W$ — 셋 모두 다름 — $C_{33} = R$.
✓ 경우 2: $(R, B), (W, R)$.
블록은 $G, B, R$ — 다름 — $C_{33} = W$.
✓ 경우 3: $(B, R), (R, W)$.
블록은 $G, R, W$ — 다름 — $C_{33} = B$.
✓ 경우 4: $(B, R), (W, R)$.
블록은 $C_{22}=G, C_{23}=R, C_{32}=R$ — $R$ 이 둘이라 유효한 $C_{33}$ 없음.
✗

$$4 \text{ 중 유효 완성 } 3 \text{ 가지}$$

💡 넷 중 셋이 오른쪽 아래 $2 \times 2$ 검사를 통과하고, 마지막 하나는 색 충돌을 강제합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.2 단계 7

단계들을 곱합니다: 왼쪽 위 색칠 $24$ 가지 $\times$ 색칠당 유효 완성 $3$ 가지.

$$24 \times 3 = 72 \;\Rightarrow\; \textbf{(D) }72$$

💡 곱셈 원리: 독립 단계는 곱셈으로 결합. $3$ 이라는 완성 수는 대칭에 의해 모든 왼쪽 위 색칠에 동일.

[1] #1 3.G.A.2 $3 \times 3$ 격자를 칸 $C_{11}, \dots, C_{33}$ 으로 표시하고 네 개의 $2 \times 2$ 블록을 찾습니다: 왼

[2] #7 7.SP.C.8 1단계: 왼쪽 위 $2 \times 2$ 블록의 색칠 수. 네 색을 네 칸에 배열하는 방법은 $4! = 24$. 대표 배열을 하나 고정해 완성

[3] #1 3.G.A.2 대표 고정: $C_{11} = R,\ C_{12} = W,\ C_{21} = B,\ C_{22} = G$. 이제 오른쪽 열 $(C_{13}, C

[4] #7 7.SP.C.8 오른쪽 위 블록에 $C_{12} = W$ 와 $C_{22} = G$ 가 있으므로 빠진 두 색 $\{R, B\}$ 가 $(C_{13}, C_{23

[5] #2 4.OA.C.5 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 두 이진 선택의 $4$ 조합을 모두 나열하고, 오른쪽 아래 블록 ${C_{22}, C_{23}, C_{32}

[6] #2 7.SP.C.8 경우 1: $(C_{13}, C_{23}) = (R, B)$, $(C_{31}, C_{32}) = (R, W)$. 오른쪽 아래 블록은 $C_{2

[7] #7 4.OA.A.2 단계들을 곱합니다: 왼쪽 위 색칠 $24$ 가지 $\times$ 색칠당 유효 완성 $3$ 가지.

검토

합리성 확인: 점검: $\begin{smallmatrix} R & W & R \\ B & G & B \\ R & W & R \end{smallmatrix}$ 처럼 행이 반복되는 색칠은 왼쪽 위·오른쪽 위·왼쪽 아래·오른쪽 아래 블록 모두 $\{R, W, B, G\}$ — 유효. 조건이 "모든 행이 주기 $2$ 로 반복되는 두 색 패턴"(열도 마찬가지)을 강제하므로 왼쪽 위 $2 \times 2$ 가 전체 패턴을 거의 결정하고, 남은 자유도가 바로 위에서 세어진 $3$ 가지 완성. $24 \times 3 = 72$ 는 (D) 와 일치하고 (B) $48$ 과 (E) $96$ 사이에 자연스레 자리합니다.

대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기): 먼저 $2 \times 3$ 격자로 시도. 왼쪽 위 $2 \times 2$: $4! = 24$. 세 번째 열 $(C_{13}, C_{23})$ 은 오른쪽 위 $2 \times 2$ 에서 빠진 두 색을 가져야 하므로 정확히 $2$ 선택. 총 $24 \times 2 = 48$. $3 \times 3$ 에서는 세 번째 행을 독립적으로 추가: $(C_{31}, C_{32})$ 에 $2$ 선택, 하지만 결합한 $4$ 조합 중 $3$ 만 오른쪽 아래 블록을 살림. 따라서 $24 \times 3 = 72$ — 같은 답 (D).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

3.G.A.2 도형을 같은 넓이의 부분으로 나누고 각 부분의 넓이를 전체의 단위분수로 표현 ($3 \times 3$ 격자를 겹치는 네 $2 \times 2$ 부분 격자로 나누고 각 블록에 어떤 칸이 속하는지 추적.)
7.SP.C.8 조직적 목록·표·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 ($2 \times 2$ 블록에 네 색을 배열하는 순열 수($4! = 24$)를 세고, 독립 선택 수를 곱셈 원리로 결합.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴 만들기 ($(C_{13}, C_{23})$ 과 $(C_{31}, C_{32})$ 에 대한 두 이진 선택의 $4$ 조합을 정해진 순서로 나열.)
4.OA.A.2 곱셈·나눗셈으로 곱셈 비교를 포함한 문장제 풀기 (왼쪽 위 색칠 $24$ 가지와 색칠당 유효 완성 $3$ 가지를 곱셈으로 결합: $24 \times 3 = 72$.)

⭐ 왼쪽 위 $2 \times 2$ 블록을 $4! = 24$ 가지로 색칠할 수 있습니다. 각 색칠마다 오른쪽 열과 아래 행에 각각 두 이진 선택이 있지만, 결합한 네 조합 중 오른쪽 아래 $2 \times 2$ 를 살리는 것은 $3$ 가지. 곱하면 $24 \times 3 = \textbf{(D) }72$.