AMC 10 · 2023 · #22

학년 8 geometry-2d

tangent-circlespythagorean-theoremcoordinate-geometry identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: tangent-circlespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Circle $C_1$ and $C_2$ each have radius $1$ , and the distance between their centers is $\frac{1}{2}$ . Circle $C_3$ is the largest circle internally tangent to both $C_1$ and $C_2$ . Circle $C_4$ is internally tangent to both $C_1$ and $C_2$ and externally tangent to $C_3$ . What is the radius of $C_4$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{1}{14}$

(B)

$frac{1}{12}$

(C)

$frac{1}{10}$

(D)

$frac{3}{28}$

(E)

$frac{1}{9}$

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름 $1$ 인 두 원 $C_1, C_2$ 가 겹쳐 놓여 있고, 두 중심 사이 거리는 $\frac{1}{2}$. $C_3$ 은 $C_1, C_2$ 모두에 내접하는 가장 큰 원. $C_4$ 는 $C_1, C_2$ 에 내접하고 $C_3$ 에 외접하는 원 (즉 $C_3$ 과 $C_1, C_2$ 의 가장자리 사이에 끼어 있는 작은 원). $C_4$ 의 반지름을 구합니다.

주어진 것: $C_1, C_2$ 의 반지름은 모두 $1$; $C_1, C_2$ 의 중심 사이 거리는 $\frac{1}{2}$; $C_3$ 은 $C_1, C_2$ 모두에 내접하는 가장 큰 원; $C_4$ 는 $C_1, C_2$ 에 내접하고 $C_3$ 에 외접; 선택지: (A) $\tfrac{1}{14}$, (B) $\tfrac{1}{12}$, (C) $\tfrac{1}{10}$, (D) $\tfrac{3}{28}$, (E) $\tfrac{1}{9}$

구하는 것: $C_4$ 의 반지름 $r$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기

접선 조건은 말로만 들으면 헷갈리기 쉬워서, 도구 #1(그림 그리기)이 첫 수입니다 — $C_1, C_2$ 를 수평축 위에 대칭으로 두고 중심 $A, B$ 와 대칭축(y축)을 표시합니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 둘로 나눕니다: 먼저 $C_3$ 의 반지름을 (접선 조건 하나로) 구하고, 그다음 $C_4$ 의 반지름을 (직각삼각형 + 접선 조건으로) 구합니다. 마지막에 도구 #13(대수로 바꾸기)이 직각삼각형에서 나온 식을 $r$ 에 대한 일차방정식으로 줄여 풀어냅니다 — 피타고라스 정리가 핵심 도구.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 6.NS.C.8 단계 1

그림 보고 좌표를 잡습니다.
대칭성을 이용해 $C_1, C_2$ 의 중심을 x축 위 원점 양쪽에 같은 거리로: $A=(-\tfrac{1}{4},0)$, $B=(\tfrac{1}{4},0)$, 그러면 $|AB|=\tfrac{1}{2}$.
대칭축은 y축.

$$A=(-\tfrac{1}{4},0),\;B=(\tfrac{1}{4},0),\;R_1=R_2=1$$

💡 6학년의 "좌표로 점 찍기" — 대칭이 한눈에 보이게 배치.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 2

$C_3$ 의 반지름을 구합니다.
$C_1, C_2$ 모두 안에 들어가는 가장 큰 원은 대칭으로 y축 위, 그리고 x축 위(대칭의 한가운데)에 중심이 있어야 하므로 원점 $M=(0,0)$.
$C_2$ 에 내접 조건 $|MB|=R_2-r_3$ 에서 $\tfrac{1}{4}=1-r_3$, 따라서 $r_3=\tfrac{3}{4}$.

$$|MB|=\tfrac{1}{4}=1-r_3\;\Rightarrow\;r_3=\tfrac{3}{4}$$

💡 7학년 "원의 성질" — 내접하는 두 원의 중심 사이 거리는 반지름의 차.

#1 그림 그리기 8.G.B.7 단계 3

$C_4$ 를 세팅.
대칭으로 중심은 y축 위 어떤 높이 $y > 0$: $O_4=(0, y)$, 반지름 $r$.
$C_1$ 에 내접 조건은 $|AO_4|=R_1-r=1-r$.
직각삼각형 $\triangle AMO_4$ 를 만듭니다 ($M=(0,0)$ 은 $O_4$ 에서 x축에 내린 수선의 발).
두 변은 $|AM|=\tfrac{1}{4}$, $|MO_4|=y$, 빗변은 $|AO_4|=1-r$.

$$\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)^2 + y^2 = (1-r)^2$$

💡 8학년 피타고라스 정리 — $A$, y축, $O_4$ 가 만든 직각삼각형에 그대로 적용.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 4

$C_3$ 과 $C_4$ 의 외접 조건이 $y$ 를 못박습니다.
중심 사이 거리 = 반지름의 합: $|MO_4|=r_3+r$, 즉 $y=\tfrac{3}{4}+r$.

$$y=\tfrac{3}{4}+r$$

💡 외접 = "두 원이 바깥에서 입맞춤" — 중심 사이 거리는 반지름의 합.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 5

4단계의 $y$ 를 3단계 피타고라스 식에 대입해 $r$ 에 대해 풉니다.
전개하면 $r^2$ 항이 양변에서 사라집니다: $\tfrac{1}{16}+(\tfrac{3}{4}+r)^2=(1-r)^2$ 가 $\tfrac{1}{16}+\tfrac{9}{16}+\tfrac{3}{2}r+r^2=1-2r+r^2$, 따라서 $\tfrac{10}{16}+\tfrac{3}{2}r=1-2r$.

$$\tfrac{5}{8}+\tfrac{3}{2}r=1-2r$$

💡 8학년 "일차방정식 풀이" — 이차 항이 깔끔히 사라져 일차방정식만 남음.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 6

$r$ 항과 상수를 모읍니다: $\tfrac{3}{2}r+2r=1-\tfrac{5}{8}$, 즉 $\tfrac{7}{2}r=\tfrac{3}{8}$.
양변에 $\tfrac{2}{7}$ 을 곱하면 $r=\tfrac{3}{8}\cdot\tfrac{2}{7}=\tfrac{6}{56}=\tfrac{3}{28}$, 선택지 (D).

$$r=\tfrac{3}{8}\cdot\tfrac{2}{7}=\tfrac{3}{28}\;\Rightarrow\;\textbf{(D)}$$

💡 $r$ 에 대한 한 단계 일차방정식 — 유일한 답이 떨어집니다.

[1] #1 6.NS.C.8 그림 보고 좌표를 잡습니다. 대칭성을 이용해 $C_1, C_2$ 의 중심을 x축 위 원점 양쪽에 같은 거리로: $A=(-\tfrac{1}{4},

[2] #7 7.G.B.4 $C_3$ 의 반지름을 구합니다. $C_1, C_2$ 모두 안에 들어가는 가장 큰 원은 대칭으로 y축 위, 그리고 x축 위(대칭의 한가운데)에

[3] #1 8.G.B.7 $C_4$ 를 세팅. 대칭으로 중심은 y축 위 어떤 높이 $y > 0$: $O_4=(0, y)$, 반지름 $r$. $C_1$ 에 내접 조건은 $

[4] #7 7.G.B.4 $C_3$ 과 $C_4$ 의 외접 조건이 $y$ 를 못박습니다. 중심 사이 거리 = 반지름의 합: $|MO_4|=r_3+r$, 즉 $y=\tfr

[5] #13 8.EE.C.7 4단계의 $y$ 를 3단계 피타고라스 식에 대입해 $r$ 에 대해 풉니다. 전개하면 $r^2$ 항이 양변에서 사라집니다: $\tfrac{1}{1

[6] #13 8.EE.C.7 $r$ 항과 상수를 모읍니다: $\tfrac{3}{2}r+2r=1-\tfrac{5}{8}$, 즉 $\tfrac{7}{2}r=\tfrac{3}{8

검토

합리성 확인: 크기 점검. $C_3$ 은 반지름 $\tfrac{3}{4}$ 로 $C_1, C_2$ 가운데 자리 잡고, $C_4$ 는 $C_3$ (반지름 $\tfrac{3}{4}$) 과 $C_1\cup C_2$ 의 위쪽 호 사이에 끼어야 하므로 아주 작아야 합니다. $C_4$ 의 중심 높이 $y=\tfrac{3}{4}+\tfrac{3}{28}=\tfrac{21}{28}+\tfrac{3}{28}=\tfrac{24}{28}=\tfrac{6}{7}$. 피타고라스 점검: $\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{6}{7}\bigr)^2=\tfrac{1}{16}+\tfrac{36}{49}$, 그리고 $(1-r)^2=\bigl(\tfrac{25}{28}\bigr)^2=\tfrac{625}{784}$. 공통분모로: $\tfrac{1}{16}=\tfrac{49}{784}$, $\tfrac{36}{49}=\tfrac{576}{784}$, 합 $=\tfrac{625}{784}$. 정확히 일치 — $r=\tfrac{3}{28}$ 맞습니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 좁히기)로 선택지를 직접 대입할 수도 있습니다. $r$ 은 $\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{3}{4}+r\bigr)^2=(1-r)^2$ 를 만족해야 합니다. $r=\tfrac{3}{28}$ 은 위 점검대로 정확히 들어맞고, $r=\tfrac{1}{12}$ 등 다른 후보는 좌변 $\approx 0.755$ 우변 $\approx 0.840$ 로 빗나갑니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.NS.C.8 좌표평면 네 사분면에서 점을 찍어 실생활·수학 문제 해결 ($C_1, C_2$ 의 중심을 x축 위 원점에 대해 대칭으로 배치해 그림의 대칭성을 활용.)
7.G.B.4 원의 둘레·넓이 공식 및 원에 관한 사실 알기 (내접하는 두 원(중심 사이 거리 = 반지름 차)과 외접하는 두 원(중심 사이 거리 = 반지름 합) 규칙 사용.)
8.G.B.7 피타고라스 정리로 직각삼각형의 변의 길이 구하기 (직각삼각형 $\triangle AMO_4$ 에 $(\tfrac{1}{4})^2 + y^2 = (1-r)^2$ 적용.)
8.EE.C.7 일변수 일차방정식 풀이 ($y=\tfrac{3}{4}+r$ 대입 후 $r^2$ 항이 사라진 일차방정식을 한 단계로 풀어 $r$ 결정.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년 피타고라스 정리와 두 가지 접선 규칙(내접=차, 외접=합)만 알면 풀려요 — 직각삼각형 하나 그리면 $r^2$ 항이 깨끗이 사라지고, 한 단계 일차방정식에서 $r=\tfrac{3}{28}$ 이 떨어집니다.