AMC 10 · 2023 · #8

학년 6 algebra

linear-equations-two-varslope-interceptratio-proportion identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-varratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Barb the baker has developed a new temperature scale for her bakery called the Breadus scale, which is a linear function of the Fahrenheit scale. Bread rises at $110$ degrees Fahrenheit, which is $0$ degrees on the Breadus scale. Bread is baked at $350$ degrees Fahrenheit, which is $100$ degrees on the Breadus scale. Bread is done when its internal temperature is $200$ degrees Fahrenheit. What is this in degrees on the Breadus scale?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

34.5

(C)

(D)

37.5

(E)

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Barb 의 Breadus 온도($^\circ B$)는 화씨($^\circ F$)의 일차함수입니다. 두 기준점이 주어집니다 — $110^\circ F = 0^\circ B$ (반죽 부풀 때) 와 $350^\circ F = 100^\circ B$ (구울 때). $200^\circ F$ (다 익었을 때) 가 Breadus 로 몇 도인지 구하세요.

주어진 것: Breadus 온도는 화씨의 일차함수; 기준 1: $110^\circ F \leftrightarrow 0^\circ B$; 기준 2: $350^\circ F \leftrightarrow 100^\circ B$; 구할 점: $200^\circ F \leftrightarrow ?\,^\circ B$; 선택지: (A) $33$, (B) $34.5$, (C) $36$, (D) $37.5$, (E) $39$

구하는 것: $200^\circ F$ 에 대응하는 Breadus 온도

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #8 단위 살펴보기

수직선 두 개를 — 위는 $^\circ F$, 아래는 $^\circ B$ — 위아래로 나란히 그리면 일차 대응이 한눈에 보입니다. 위 $110$ 아래 $0$, 위 $350$ 아래 $100$. 신호가 "눈금 위의 위치" 이므로 도구 #1(그림 그리기)이 첫 번째 선택입니다. 그림에서 두 가지를 곧장 읽을 수 있습니다 — $F$ 줄은 $240$ 도 분, $B$ 줄은 $100$ 도 분; 목표 $200^\circ F$ 는 왼쪽 기준에서 $90$ 도 떨어진 자리. 도구 #8(단위 살펴보기)이 검산을 맡습니다 — $^\circ B / ^\circ F$ 비율을 따라가면 마지막 수가 $^\circ B$ 단위인지 확인됩니다. 도구 #13(대수)도 되지만 그림+비율이 6학년 비율 사고 안에서 더 빠릅니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 5.G.A.1 단계 1

수평 수직선 두 개를 위아래로 그립니다.
위 $F$-줄에 $110$, $350$ 을 표시; 아래 $B$-줄에 $0$, $100$ 을 짝과 수직으로 맞춰 표시.
사이에 $200^\circ F$ 도 한 칸 찍어둡니다.

$$\begin{array}{ccc} 110\,^\circ F & 200\,^\circ F & 350\,^\circ F \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 0\,^\circ B & ?\,^\circ B & 100\,^\circ B \end{array}$$

💡 수직선 두 개를 정렬한 그림이 일차 관계의 그림 — "기울기" 라는 말 없이도 5학년 좌표 감각으로 이해할 수 있습니다.

#1 그림 그리기 4.NBT.B.4 단계 2

두 기준 사이의 길이를 읽어 둡니다.
위 $F$-범위는 $350 - 110 = 240$ 도, 아래 $B$-범위는 $100 - 0 = 100$ 도.
같은 물리적 구간이 위에선 $240$, 아래선 $100$ 처럼 보입니다.

$$\Delta F = 240, \quad \Delta B = 100$$

💡 두 번의 뺄셈으로 두 구간의 길이를 — 4학년 여러 자리 뺄셈.

#1 그림 그리기 4.NBT.B.4 단계 3

$F$-줄에서 목표 $200^\circ F$ 가 왼쪽 기준에서 얼마나 떨어져 있는지 잽니다.

$$200 - 110 = 90\,^\circ F$$

💡 수직선 위의 뺄셈 — 4학년 여러 자리 뺄셈.

#1 그림 그리기 4.NF.A.1 단계 4

일차 관계이므로 같은 비율 $\tfrac{90}{240}$ 만큼이 $B$-줄에서도 답을 줍니다.
분수를 약분.

$$\dfrac{90}{240} = \dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{8}$$

💡 같은 간격 척도는 같은 비율 위치를 공유 — 4학년 등가분수 추론.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 5

그 비율을 길이 $100$ 인 $B$-범위에 적용하고, 출발점 $0^\circ B$ 에서 잽니다.
단위 확인: $\tfrac{^\circ B}{^\circ F}$ 비율 × $^\circ F$ = $^\circ B$, 단위가 맞게 떨어집니다.

$$? = 0 + \dfrac{3}{8} \cdot 100 = \dfrac{300}{8} = 37.5\,^\circ B \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 두 척도에서 같은 비율 위치를 — 6학년 비율 사고. 단위까지 따라가면 답이 $^\circ B$ 임이 확인됩니다.

[1] #1 5.G.A.1 수평 수직선 두 개를 위아래로 그립니다. 위 $F$-줄에 $110$, $350$ 을 표시; 아래 $B$-줄에 $0$, $100$ 을 짝과 수직으

[2] #1 4.NBT.B.4 두 기준 사이의 길이를 읽어 둡니다. 위 $F$-범위는 $350 - 110 = 240$ 도, 아래 $B$-범위는 $100 - 0 = 100$ 도

[3] #1 4.NBT.B.4 $F$-줄에서 목표 $200^\circ F$ 가 왼쪽 기준에서 얼마나 떨어져 있는지 잽니다.

[4] #1 4.NF.A.1 일차 관계이므로 같은 비율 $\tfrac{90}{240}$ 만큼이 $B$-줄에서도 답을 줍니다. 분수를 약분.

[5] #8 6.RP.A.3 그 비율을 길이 $100$ 인 $B$-범위에 적용하고, 출발점 $0^\circ B$ 에서 잽니다. 단위 확인: $\tfrac{^\circ B}{

검토

합리성 확인: 세 가지 빠른 점검. (1) 크기: $200$ 은 $110$ 에서 $350$ 까지의 대략 $\tfrac{3}{8}$, 그러므로 답도 $0$ 에서 $100$ 까지의 대략 $\tfrac{3}{8}$ 즉 $37$ 또는 $38$ 근처 — (D) $37.5$ 와 잘 맞습니다. (2) 끝점: 공식에 $110^\circ F$ 를 대입하면 $\tfrac{3}{8} \cdot 0 = 0^\circ B$ ✓, $350^\circ F$ 를 대입하면 $0 + \tfrac{240}{240} \cdot 100 = 100^\circ B$ ✓. (3) 다른 선택지 제거: $33, 34.5, 36, 39$ 는 각각 잘못된 기준 사용(예: $33$ 은 $110^\circ F$ 의 이동을 빠뜨리고 $200$ 을 $\tfrac{1}{3} \cdot 100$ 으로 잘못 계산한 결과).

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): $B = m F + b$ 라는 일차식. 두 기준에서 $0 = 110m + b$, $100 = 350 m + b$. 빼면 $100 = 240 m$, 즉 $m = \tfrac{5}{12}$, $b = -\tfrac{5}{12} \cdot 110 = -\tfrac{275}{6}$. 따라서 $B(200) = \tfrac{5}{12} \cdot 200 - \tfrac{275}{6} = \tfrac{1000}{12} - \tfrac{550}{12} = \tfrac{450}{12} = 37.5$. 같은 답이지만 일 더 많음 — 그림+비율 경로의 이점이 그대로 드러납니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.G.A.1 수직인 두 수직선으로 좌표계 만들기 ($F$- 와 $B$- 척도를 위아래로 정렬한 두 수직선을 그려, 일차 대응을 기하적으로 읽어내는 데 사용.)
4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈 능숙히 하기 ($350 - 110 = 240$, $100 - 0 = 100$, $200 - 110 = 90$ 의 뺄셈으로 구간 길이와 $F$-축에서 목표의 위치를 구하는 데 사용.)
4.NF.A.1 분수 $\tfrac{a}{b}$ 가 $\tfrac{n a}{n b}$ 와 같음을 설명하기 ($\tfrac{90}{240}$ 을 $\tfrac{9}{24}$, $\tfrac{3}{8}$ 로 약분하는 — 등가분수 축약.)
6.RP.A.3 비율·비례를 사용해 실생활·수학 문제 해결하기 ($F$-축에서의 비율 위치 $\tfrac{3}{8}$ 을 $B$-축에서도 같은 비율 위치로 옮기고, $B$ 범위 $100$ 을 $\tfrac{3}{8}$ 배 해 $37.5^\circ B$ 를 얻는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 비율 사고만 알면 풀 수 있어요 — 두 척도를 나란히 놓고 $200^\circ F$ 가 전체의 $\tfrac{3}{8}$ 자리임을 본 다음, Breadus 척도의 $100$ 에서도 같은 $\tfrac{3}{8}$ 을 잡으면 됩니다.