AMC 10 · 2023 · #12
학년 8 algebra문제
When the roots of the polynomial
P(x)=(x−1)1(x−2)2(x−3)3⋅⋅⋅⋅(x−10)10
are removed from the number line, what remains is the union of 11 disjoint open intervals. On how many of these intervals is P(x) positive?
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AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 다항식 $P(x) = (x-1)^1 (x-2)^2 (x-3)^3 \cdots (x-10)^{10}$ 는 $1, 2, \ldots, 10$ 에서 근을 가지며 각 근의 중복도는 지수와 같습니다. 수직선에서 이 $10$ 개 점을 지우면 $11$ 개의 열린 구간이 남습니다. 그 중 $P(x) > 0$ 인 구간이 몇 개인지 구하세요.
주어진 것: $P(x) = (x-1)^1 (x-2)^2 (x-3)^3 \cdots (x-10)^{10}$; $(x-k)$ 의 지수가 정확히 $k$ ($k = 1, 2, \ldots, 10$); 열린 구간 $11$ 개: $(-\infty, 1), (1, 2), \ldots, (9, 10), (10, \infty)$; 선택지: (A) $3$, (B) $7$, (C) $6$, (D) $4$, (E) $5$
구하는 것: $P(x) > 0$ 이 되는 구간의 개수
이해
문제 재정리: 다항식 $P(x) = (x-1)^1 (x-2)^2 (x-3)^3 \cdots (x-10)^{10}$ 는 $1, 2, \ldots, 10$ 에서 근을 가지며 각 근의 중복도는 지수와 같습니다. 수직선에서 이 $10$ 개 점을 지우면 $11$ 개의 열린 구간이 남습니다. 그 중 $P(x) > 0$ 인 구간이 몇 개인지 구하세요.
주어진 것: $P(x) = (x-1)^1 (x-2)^2 (x-3)^3 \cdots (x-10)^{10}$; $(x-k)$ 의 지수가 정확히 $k$ ($k = 1, 2, \ldots, 10$); 열린 구간 $11$ 개: $(-\infty, 1), (1, 2), \ldots, (9, 10), (10, \infty)$; 선택지: (A) $3$, (B) $7$, (C) $6$, (D) $4$, (E) $5$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #5 패턴 찾기, #2 빠짐없이 나열하기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기
도구 #1(그림 그리기): $P(x)$ 의 부호는 $10$ 개 근이 표시된 수직선 위에서 자연스럽게 살아 — 수직선을 그리고 각 구간 위에 "+" 나 "-" 를 적으면 됩니다. 도구 #5(패턴 찾기) 가 핵심 지름길을 잡습니다: $(x-k)^k$ 가 $x = k$ 에서 전체 부호를 뒤집는 것은 지수 $k$ 가 홀수일 때뿐이고, 짝수 지수는 음수가 될 수 없습니다. 따라서 부호 변화는 홀수-지수 근에서만 일어납니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 는 오른쪽 끝($P(x) > 0$ 자명) 부터 왼쪽으로 $11$ 개 구간을 차례로 표시합니다. 도구 #9(더 쉬운 문제) 는 검증용: $P_3(x) = (x-1)(x-2)^2(x-3)^3$ 으로 먼저 규칙 확인 후 $10$ 개 근에 적용.
실행 — 정답: C
6.NS.C.6 단계 1 - 수직선을 그립니다.
- $10$ 개 근 $1, 2, 3, \ldots, 10$ 을 점으로 표시.
- 이 점들이 수직선을 $11$ 개의 열린 구간으로 분할합니다.
- 할 일은 각 구간 위에 $P(x)$ 의 부호를 적는 것입니다.
💡 근을 수직선 위에 올려놓으면 추상적인 부호 질문이 라벨링 연습으로 — 6학년 수직선 활용.
8.EE.A.1 단계 2 - 각 인수 $(x-k)^k$ 가 부호에 기여하는 방식을 관찰.
- 지수 $k$ 가 짝수이면 $(x-k)^k$ 는 실수의 짝수 제곱이라 항상 $\ge 0$ — $x \ne k$ 인 열린 구간에서는 항상 $> 0$.
- 즉 짝수 지수 인수는 절대 음수를 만들지 않습니다.
- 지수 $k$ 가 홀수이면 $(x-k)^k$ 는 $(x-k)$ 와 같은 부호: $x > k$ 면 양, $x < k$ 면 음.
💡 짝수 제곱은 항상 음수가 아니다 — 8학년 지수 법칙 — 그러므로 전체 부호를 바꿀 수 있는 인수는 홀수 지수뿐.
8.EE.A.1 단계 3 - 홀수 지수 근 (부호 뒤집기) 과 짝수 지수 근 (부호 고정) 을 나누어 정리.
- 홀수 $k$: $1, 3, 5, 7, 9$.
- 짝수 $k$: $2, 4, 6, 8, 10$.
- 따라서 $x$ 가 $1, 3, 5, 7, 9$ 를 지날 때 부호가 뒤집히고, $2, 4, 6, 8, 10$ 을 지날 때는 부호가 그대로.
💡 지수의 홀짝성으로 근을 분류하면 추적 리스트가 깔끔 — 도구 #2 의 정리력.
7.NS.A.2 단계 4 - 가장 오른쪽 구간에서 부호를 정한 뒤 왼쪽으로 이동.
- $x > 10$ 일 때 모든 $(x - k) > 0$ 이므로 $(x-k)^k > 0$, 따라서 $P(x) > 0$.
- 이제 왼쪽으로 가면서 홀수 지수 근에서만 부호를 뒤집습니다.
💡 부호가 자명한 구석에서 시작 (모두 양수의 곱) 해서 부호를 운반 — 7학년 부호 곱셈 추론.
8.EE.A.1 단계 5 3단계의 뒤집기/유지 규칙을 적용해 오른쪽에서 왼쪽으로 라벨을 적습니다.
💡 각 근을 지날 때마다 뒤집기 또는 유지 한 번씩. 체계적 나열로 빠뜨림 방지.
8.EE.A.1 단계 6 - "+" 가 적힌 구간을 셈: $(10, \infty), (9, 10), (6, 7), (5, 6), (2, 3), (1, 2)$.
- 총 $6$ 개.
💡 선택지 (C) $= 6$ 과 매칭 — 객관식 마무리.
6.NS.C.6 수직선을 그립니다. $10$ 개 근 $1, 2, 3, \ldots, 10$ 을 점으로 표시. 이 점들이 수직선을 $11$ 개의 열린 구간으로 분 8.EE.A.1 각 인수 $(x-k)^k$ 가 부호에 기여하는 방식을 관찰. 지수 $k$ 가 짝수이면 $(x-k)^k$ 는 실수의 짝수 제곱이라 항상 $\ge 8.EE.A.1 홀수 지수 근 (부호 뒤집기) 과 짝수 지수 근 (부호 고정) 을 나누어 정리. 홀수 $k$: $1, 3, 5, 7, 9$. 짝수 $k$: $2 7.NS.A.2 가장 오른쪽 구간에서 부호를 정한 뒤 왼쪽으로 이동. $x > 10$ 일 때 모든 $(x - k) > 0$ 이므로 $(x-k)^k > 0$, 따 8.EE.A.1 3단계의 뒤집기/유지 규칙을 적용해 오른쪽에서 왼쪽으로 라벨을 적습니다. 8.EE.A.1 "+" 가 적힌 구간을 셈: $(10, \infty), (9, 10), (6, 7), (5, 6), (2, 3), (1, 2)$. 총 $6$ 개 검토
합리성 확인: 교대 패턴 점검. 왼쪽 끝 $(-\infty, 1)$ 부터 시작해 오른쪽으로 가면서 부호를 적으면 $- \to + \to + \to - \to - \to + \to + \to - \to - \to + \to +$ ($1, 3, 5, 7, 9$ 에서만 뒤집힘, 나머지는 유지). "+" 개수 $= 6$ 으로 같은 결과. 표본점 검증: $x = 1.5$ 에서 $(0.5)^1 > 0$, $(-0.5)^2 > 0$, $(-1.5)^3 < 0$, $(-2.5)^5 < 0$, $(-3.5)^7 < 0$, $(-4.5)^9 < 0$ — 음수 인수 4 개 (짝수 개) $\times$ 양수 인수 들 $= P(1.5) > 0$. $(1, 2)$ 가 양수인 결과와 일치.
대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제): $P_2(x) = (x-1)(x-2)^2$ 부터. 근 $1, 2$, 구간 $3$ 개. 오른쪽에서 부호 쓸기: $(2, \infty) +$; $2$ 통과 (짝수, 유지) $\to (1, 2) +$; $1$ 통과 (홀수, 뒤집) $\to (-\infty, 1) -$. 양수 구간 $2$ 개. 다음 $P_3(x) = (x-1)(x-2)^2(x-3)^3$: $(3, \infty) +$; $3$ 뒤집 $\to (2, 3) -$; $2$ 유지 $\to (1, 2) -$; $1$ 뒤집 $\to (-\infty, 1) +$. 양수 $2$ 개. 패턴 확인: 답은 "홀수 지수 근만이 교대를 지배" 하는 "+" 개수. $n = 10$ ($5$ 개 홀수 근) 에서 $6$. 일치.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.NS.C.6유리수를 수직선 위의 한 점으로 이해하기 ($10$ 개 근을 수직선에 올려놓고 $11$ 개 열린 구간을 만들어 분류 대상을 시각화.)8.EE.A.1정수 지수의 성질을 알고 적용하기 ("짝수 지수 → 음수 아님, 홀수 지수 → 밑의 부호 보존" 으로 부호 추적을 홀수-지수 근만으로 축소.)7.NS.A.2유리수의 곱셈/나눗셈 이해와 확장 ($(10, \infty)$ 에서 모든 인수가 양수 → $P > 0$ 으로 기준을 잡고 부호를 전파.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "짝수 제곱은 음수가 아니다" 만 알면 풀 수 있어요 — 그 법칙 하나로 홀수 지수 근 ($1, 3, 5, 7, 9$) 만 부호를 뒤집고, 수직선을 오른쪽에서 왼쪽으로 훑으면 양수 구간이 정확히 $6$ 개.
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "짝수 제곱은 음수가 아니다" 만 알면 풀 수 있어요 — 그 법칙 하나로 홀수 지수 근 ($1, 3, 5, 7, 9$) 만 부호를 뒤집고, 수직선을 오른쪽에서 왼쪽으로 훑으면 양수 구간이 정확히 $6$ 개.