AMC 10 · 2023 · #13

학년 8 geometry-2d

absolute-valuecoordinate-geometrysymmetry-argumentarea-rectangles symmetry-argumentcaseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: absolute-valuecoordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

What is the area of the region in the coordinate plane defined by

$| | x | - 1 | + | | y | - 1 | \le 1$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $(x, y)$ 평면에서 $\bigl|\,|x| - 1\,\bigr| + \bigl|\,|y| - 1\,\bigr| \le 1$ 을 만족하는 영역의 넓이를 구하세요.

주어진 것: 영역 $R = \{(x, y) : \bigl|\,|x|-1\,\bigr| + \bigl|\,|y|-1\,\bigr| \le 1\}$; $|x|$ 와 $|y|$ 바깥에 절댓값이 한 번 더 (이중 절댓값); 선택지: (A) $2$, (B) $8$, (C) $4$, (D) $15$, (E) $12$

구하는 것: 영역 $R$ 의 넓이

이해

문제 재정리: $(x, y)$ 평면에서 $\bigl|\,|x| - 1\,\bigr| + \bigl|\,|y| - 1\,\bigr| \le 1$ 을 만족하는 영역의 넓이를 구하세요.

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

도구 #1(그림 그리기): 좌표평면 위 영역이므로 스케치가 대수보다 빠릅니다. 도구 #9(더 쉬운 문제): 맨얼굴 부등식 $|x| + |y| \le 1$ 은 익숙한 기울인 단위 정사각형 (다이아몬드, 넓이 $2$) — 이걸 사분면마다 하나씩 짓는 것이 이중 절댓값을 전개하는 것보다 훨씬 쉽습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): $f(\pm x, \pm y) = f(x, y)$ 대칭으로 "Q1 넓이 $\times 4$" 로 분리. Q1 내부에서는 $|x - 1| + |y - 1| \le 1$ — $(1, 1)$ 중심의 기울인 단위 정사각형 — 한 번만 계산해 4 를 곱하면 끝. 도구 #3(가능성 지우기): 선택지 ($2, 4, 8, 12, 15$) 가 서로 큰 배수 차이라 Q1 넓이가 $2$ 임을 알면 유일한 답은 $8$.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.1 단계 1

대칭성 포착.
$x$ 를 $-x$ 로 바꾸어도 $|x|$ 가 그대로이므로 부등식 전체가 변하지 않음.
$y \mapsto -y$ 도 마찬가지.
따라서 $R$ 은 두 축 모두에 대해 대칭 — 네 사분면의 조각이 서로 합동입니다.

$$f(x,y) = \bigl|\,|x|-1\,\bigr| + \bigl|\,|y|-1\,\bigr|; \; f(-x,y) = f(x,-y) = f(x,y)$$

💡 축에 대한 반사는 강체 운동이라 $f$ 를 보존 — 8학년 반사 성질.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.NS.A.1 단계 2

제 1사분면 ($x, y \ge 0$) 으로 한정.
이때 $|x| = x$, $|y| = y$ 라서 부등식이 $|x - 1| + |y - 1| \le 1$ 로 줄어듭니다.

$$\text{Q1 내: } |x - 1| + |y - 1| \le 1$$

💡 Q1 에서는 바깥 절댓값을 "$x \ge 0 \Rightarrow |x| = x$" 로 벗겨내 이중 부등식이 한 겹 다이아몬드 부등식으로 — 도구 #9 의 단순화.

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 3

Q1 영역 스케치.
경계 $|x - 1| + |y - 1| = 1$ 은 $(1, 1)$ 중심의 기울인 정사각형 (택시 거리 단위원).
네 꼭짓점은 $|x-1|, |y-1|$ 중 하나가 $1$, 다른 하나가 $0$ 인 점: $(1 \pm 1, 1)$ 과 $(1, 1 \pm 1)$, 즉 $(0, 1), (2, 1), (1, 0), (1, 2)$.
네 점 모두 닫힌 제1사분면 ($x, y \ge 0$) 안 — 다이아몬드가 통째로 Q1 안에 들어 있음.

$$\text{꼭짓점: } (0, 1), (2, 1), (1, 0), (1, 2)$$

💡 꼭짓점 네 개만 찍으면 다이아몬드가 한눈에 — 6학년 좌표평면 다각형.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4

Q1 넓이 계산.
기울인 정사각형의 대각선은 $y = 1$ 위 ($(0,1) \to (2,1)$, 길이 $2$) 와 $x = 1$ 위 ($(1,0) \to (1,2)$, 길이 $2$).
마름모/정사각형 넓이 공식 $\tfrac{1}{2} d_1 d_2$ 적용.

$$\text{넓이}_{Q1} = \tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$$

💡 마름모 대각선 곱 공식 — 6학년 다각형 넓이.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.1 단계 5

네 사분면에 대해 4 배.
Q2, Q3, Q4 의 조각은 Q1 의 다이아몬드를 축에 대해 반사한 것으로, $(\pm 1, \pm 1)$ 중심의 기울인 정사각형 네 개 — 각 사분면 내부에 있어 서로 겹치지 않음.
총 넓이 $4 \times 2 = 8$.

$$\text{넓이}(R) = 4 \cdot \text{넓이}_{Q1} = 4 \cdot 2 = 8$$

💡 겹치지 않는 합동 사본 네 개 — 넓이 합산 — 8학년 강체 운동으로 결합.

#3 가능성 지우기 6.G.A.1 단계 6

선택지와 매칭: $8$ 은 (B).
나머지 ($2, 4, 12, 15$) 는 흔한 함정 — $2$ 는 4 배 잊음, $4$ 는 두 번만 곱함, $12, 15$ 는 과다.

$$\text{넓이} = 8 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 일치하는 선택지 고르기 — 객관식 마무리.

[1] #7 8.G.A.1 대칭성 포착. $x$ 를 $-x$ 로 바꾸어도 $|x|$ 가 그대로이므로 부등식 전체가 변하지 않음. $y \mapsto -y$ 도 마찬가지.

[2] #9 7.NS.A.1 제 1사분면 ($x, y \ge 0$) 으로 한정. 이때 $|x| = x$, $|y| = y$ 라서 부등식이 $|x - 1| + |y - 1|

[3] #1 6.G.A.3 Q1 영역 스케치. 경계 $|x - 1| + |y - 1| = 1$ 은 $(1, 1)$ 중심의 기울인 정사각형 (택시 거리 단위원). 네 꼭짓점

[4] #7 6.G.A.1 Q1 넓이 계산. 기울인 정사각형의 대각선은 $y = 1$ 위 ($(0,1) \to (2,1)$, 길이 $2$) 와 $x = 1$ 위 ($(1,

[5] #7 8.G.A.1 네 사분면에 대해 4 배. Q2, Q3, Q4 의 조각은 Q1 의 다이아몬드를 축에 대해 반사한 것으로, $(\pm 1, \pm 1)$ 중심의

[6] #3 6.G.A.1 선택지와 매칭: $8$ 은 (B). 나머지 ($2, 4, 12, 15$) 는 흔한 함정 — $2$ 는 4 배 잊음, $4$ 는 두 번만 곱함,

검토

합리성 확인: 머릿속 그림 검증: $R$ 은 $(\pm 1, \pm 1)$ 중심의 기울인 정사각형 네 개, 각 사각형의 꼭짓점은 중심에서 축 방향으로 $1$ 떨어져 있음. "기울인 한 변" 길이가 $\sqrt{2}$ 이므로 넓이 $(\sqrt{2})^2 = 2$, 네 개 = $8$. 경계점 표본 검증: $(0, 1)$ 에서 $|0-1| + |1-1| = 1$ — 경계 위. $(0.5, 1)$ 에서 $|0.5-1| + 0 = 0.5 \le 1$ — 내부. $(0, 2.5)$ 에서 $|0-1| + |2.5-1| = 1 + 1.5 = 2.5 \not\le 1$ — 외부. 네 다이아몬드 그림과 일관.

대안 접근: 도구 #10(직접 만져보기) 와 "좌표 평행이동": Q1 에서 $u = x - 1, v = y - 1$ 로 두면 영역이 $|u| + |v| \le 1$ — 단위 택시 공, 넓이 $2$. $\pm x, \pm y$ 대칭으로 총 넓이 $4 \times 2 = 8$. 꼭짓점 계산 없이 치환만으로 같은 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.1 회전·반사·평행이동의 성질을 실험으로 확인 (축 반사가 영역을 보존함을 인식해 네 사분면 조각이 합동임을 보이는 데 사용.)
7.NS.A.1 유리수의 덧셈/뺄셈 이해와 확장 (Q1 에서 $x \ge 0 \Rightarrow |x| = x$ 로 바깥 절댓값을 벗기는 데 사용.)
6.G.A.3 꼭짓점 좌표가 주어진 다각형을 좌표평면에 그리기 (Q1 다이아몬드의 네 꼭짓점 $(0, 1), (2, 1), (1, 0), (1, 2)$ 를 좌표평면에 표시.)
6.G.A.1 삼각형·특수 사각형의 넓이를 합성/분할로 구하기 (마름모 넓이 공식 $\tfrac{1}{2} d_1 d_2$ 로 Q1 다이아몬드의 넓이 $2$ 를 구하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "반사는 도형을 보존한다" 만 알면 풀 수 있어요 — 네 사분면 각각이 똑같은 기울인 정사각형 (넓이 $2$) 하나씩을 담고 있어 총 넓이는 $8$ 입니다.