AMC 10 · 2023 · #17

학년 8 geometry-3d

space-diagonal-formulasystems-of-equationssurface-areavolume-rectangular-prismvieta-formulas identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: systems-of-equationssurface-area

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

A rectangular box $\mathcal{P}$ has distinct edge lengths $a$ , $b$ , and $c$ . The sum of the lengths of all $12$ edges of $\mathcal{P}$ is $13$ , the areas of all $6$ faces of $\mathcal{P}$ is $\frac{11}{2}$ , and the volume of $\mathcal{P}$ is $\frac{1}{2}$ . What is the length of the longest interior diagonal connecting two vertices of $\mathcal{P}$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$~\frac{3}{8}$

(C)

$~\frac{9}{8}$

(D)

$~\frac{9}{4}$

(E)

$~\frac{3}{2}$

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 서로 다른 모서리 길이 $a, b, c$ 를 갖는 직육면체에서, 모서리 $12$ 개의 길이 합은 $13$, 면 $6$ 개의 넓이 합은 $\tfrac{11}{2}$, 부피는 $\tfrac{1}{2}$ 입니다. 가장 긴 내부 대각선(공간 대각선)의 길이를 구하세요.

주어진 것: $12$ 개 모서리 합: $4(a+b+c) = 13$; $6$ 개 면 넓이 합: $2(ab+bc+ca) = \tfrac{11}{2}$; 부피: $abc = \tfrac{1}{2}$; 선택지: (A) $2$, (B) $\tfrac{3}{8}$, (C) $\tfrac{9}{8}$, (D) $\tfrac{9}{4}$, (E) $\tfrac{3}{2}$

구하는 것: 공간 대각선 $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #8 단위 살펴보기

개별 모서리 값은 필요 없고 대칭합 $s_1=a+b+c$, $s_2=ab+bc+ca$ 만 있으면 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 가 세 계단으로 분리: (a) 주어진 총합에서 $s_1, s_2$ 읽기, (b) $(s_1)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2s_2$ 항등식으로 제곱합 구하기, (c) 피타고라스 정리의 $3$ 차원 확장으로 공간 대각선 길이 산출. 도구 #13(대수로 바꾸기) 이 항등식 처리, 도구 #8(단위 살펴보기) 가 결과가 길이임을 확인.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.4 단계 1

쪼개기 A: 두 대칭합 추출.
직육면체에는 각 길이의 모서리가 $4$ 개씩 있어 $12$ 모서리 합이 $4(a+b+c)=13$, 즉 $a+b+c=\tfrac{13}{4}$.
각 종류의 면 ($ab, bc, ca$) 이 $2$ 개씩 있어 표면적이 $2(ab+bc+ca)=\tfrac{11}{2}$.

$$a+b+c=\dfrac{13}{4},\quad 2(ab+bc+ca)=\dfrac{11}{2}$$

💡 직육면체의 표면적과 모서리 총합은 그 자체로 $a, b, c$ 의 두 대칭합 — 우리가 필요한 정보가 이미 주어진 셈.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.A.2 단계 2

쪼개기 B: 합의 제곱 항등식으로 $a^2+b^2+c^2$ 구하기.
항등식 $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)$ 를 통해 제곱합을 직접 분리합니다.
부피 $abc=\tfrac{1}{2}$ 는 사용하지 않음 — 미끼 정보.

$$a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca) = \left(\dfrac{13}{4}\right)^2 - \dfrac{11}{2} = \dfrac{169}{16} - \dfrac{88}{16} = \dfrac{81}{16}$$

💡 $a+b+c$ 를 제곱하면 각 $a^2, b^2, c^2$ 가 한 번씩, 교차항 $ab, bc, ca$ 가 두 번씩 — 빼야 할 항이 깔끔히 보임.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3

쪼개기 C: 공간 대각선 길이 $d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$ ($3$ 차원 피타고라스 정리) 에 $a^2+b^2+c^2 = \tfrac{81}{16}$ 대입.

$$d = \sqrt{\dfrac{81}{16}} = \dfrac{9}{4} \;\Rightarrow\; \textbf{(D) }\dfrac{9}{4}$$

💡 공간 대각선은 한 면의 대각선과 남은 한 변을 다리로 하는 직각삼각형의 빗변 — 피타고라스를 두 번 적용하면 $d^2 = a^2+b^2+c^2$.

#8 단위 살펴보기 5.MD.A.1 단계 4

단위 확인: $a+b+c$ 는 길이 단위, $(a+b+c)^2$ 와 $2(ab+bc+ca)$ 는 모두 길이$^2$ (넓이).
차이 $a^2+b^2+c^2$ 도 넓이 단위, 마지막에 제곱근을 씌우면 다시 길이 단위 — 대각선의 단위와 일치.

$$[\text{길이}]^2 - [\text{길이}]^2 = [\text{길이}]^2,\ \sqrt{[\text{길이}]^2} = [\text{길이}]$$

💡 단위를 따라가면 실수가 바로 잡힘 — 대각선은 반드시 길이 단위로 떨어져야 함.

[1] #7 6.G.A.4 쪼개기 A: 두 대칭합 추출. 직육면체에는 각 길이의 모서리가 $4$ 개씩 있어 $12$ 모서리 합이 $4(a+b+c)=13$, 즉 $a+b+c

[2] #13 8.EE.A.2 쪼개기 B: 합의 제곱 항등식으로 $a^2+b^2+c^2$ 구하기. 항등식 $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)

[3] #7 8.G.B.7 쪼개기 C: 공간 대각선 길이 $d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$ ($3$ 차원 피타고라스 정리) 에 $a^2+b^2+c^2 = \tf

[4] #8 5.MD.A.1 단위 확인: $a+b+c$ 는 길이 단위, $(a+b+c)^2$ 와 $2(ab+bc+ca)$ 는 모두 길이$^2$ (넓이). 차이 $a^2+b^

검토

합리성 확인: 크기 점검: $a+b+c = 3.25$, 각 모서리가 대략 $1$ 정도라면 공간 대각선은 한 모서리보다는 길고 $a+b+c$ 보다는 짧아야 함. 답 $\tfrac{9}{4}=2.25$ 는 $\sim 1$ 과 $3.25$ 사이에 깔끔히 들어옴. 또 $\left(\tfrac{9}{4}\right)^2 = \tfrac{81}{16}$ 이 우리 중간값과 정확히 일치. 부피 $abc=\tfrac{1}{2}$ 는 한 번도 쓰이지 않았는데, 대각선이 $s_1, s_2$ 만으로 결정되니 당연.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기): 각 선택지를 $d$ 후보로 보고 $d^2 = a^2+b^2+c^2$ 인지 확인. (D) 시험: $d^2 = \tfrac{81}{16}$. 식 $(a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca) = \tfrac{169}{16} - \tfrac{88}{16} = \tfrac{81}{16}$ 과 일치하므로 (D). 개별 $a, b, c$ 를 안 풀어도 같은 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.G.A.4 전개도로 $3$ 차원 도형 표현하고 표면적 구하기 (주어진 총합을 $4(a+b+c) = 13$ 과 $2(ab+bc+ca) = \tfrac{11}{2}$ 의 두 대칭합으로 읽는 데 사용.)
8.EE.A.2 제곱근·세제곱근 기호로 해를 표현 ($(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)$ 항등식으로 $a^2+b^2+c^2$ 를 분리한 뒤 $\sqrt{\tfrac{81}{16}} = \tfrac{9}{4}$ 계산에 사용.)
8.G.B.7 피타고라스 정리로 직각삼각형 미지 변 구하기 ($3$ 차원 피타고라스 $d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$ 로 공간 대각선을 모서리의 함수로 표현.)
5.MD.A.1 같은 단위 체계 안의 측정 단위 변환 (길이/넓이 단위를 식 전반에 추적하여 답이 길이임을 확인.)

⭐ 개별 모서리 $a, b, c$ 를 풀 필요가 없어요. 총합에서 $a+b+c=\tfrac{13}{4}$ 와 $2(ab+bc+ca)=\tfrac{11}{2}$ 를 읽고, 항등식 $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)$ 가 $a^2+b^2+c^2 = \tfrac{81}{16}$ 을 줍니다. 공간 대각선은 $\sqrt{\tfrac{81}{16}} = \textbf{(D) }\tfrac{9}{4}$ — 부피는 미끼 정보였습니다.