AMC 10 · 2023 · #19

학년 7 geometry-2d

geometric-probabilityarea-rectanglessymmetry-argumentprobability-basic easier-related-problemidentify-subproblemssymmetry-argument ↑ 선수 지식: geometric-probabilityarea-rectangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Sonya the frog chooses a point uniformly at random lying within the square
$[0, 6]$ $\times$ $[0, 6]$ in the coordinate plane and hops to that point. She then randomly
chooses a distance uniformly at random from $[0, 1]$ and a direction uniformly at
random from {north, south, east, west}. All of her choices are independent. She now
hops the distance in the chosen direction. What is the probability that she lands
outside the square?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{1}{6}$

(B)

$frac{1}{12}$

(C)

$frac{1}{4}$

(D)

$frac{1}{10}$

(E)

$frac{1}{9}$

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 개구리 Sonya 가 정사각형 $[0, 6] \times [0, 6]$ 위에서 균등분포로 점 $(X, Y)$ 를 고른 뒤, 거리 $D$ 를 $[0, 1]$ 에서 균등분포로, 방향을 N, S, E, W 중 균등하게 고르고 그 방향으로 $D$ 만큼 뜁니다. 도착지가 정사각형 밖일 확률을 구하세요.

주어진 것: $(X, Y)$ 는 $[0, 6] \times [0, 6]$ 에서 균등분포; $D$ 는 $[0, 1]$ 에서 균등분포; 방향은 $\{$N, S, E, W$\}$ 에서 균등, 모두 독립; 한 번의 점프는 한 좌표를 $\pm D$ 만큼 바꿈; 선택지: (A) $\tfrac{1}{6}$, (B) $\tfrac{1}{12}$, (C) $\tfrac{1}{4}$, (D) $\tfrac{1}{10}$, (E) $\tfrac{1}{9}$

구하는 것: $P(\text{Sonya 가 }6\times 6\text{ 정사각형 밖에 도착})$

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기

네 방향을 한꺼번에 계산하면 지저분하지만 대칭이 간단히 줄여 줍니다. 도구 #9(더 쉬운 문제) — 북쪽 한 방향의 조건부 확률만 구한 뒤 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 과 전 확률 법칙으로 전체 확률을 회복. 도구 #1(그림 그리기) 이 결정적: $(Y, D)$ 직사각형을 그리고 $Y + D > 6$ 을 칠하면 작은 직각삼각형 — 넓이를 눈으로 읽으면 끝.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.7 단계 1

대칭으로 한 방향만 보면 충분.
정사각형과 네 방향이 $90^\circ$ 회전 대칭이므로 $P(\text{out}\mid\text{N}) = P(\text{out}\mid\text{S}) = P(\text{out}\mid\text{E}) = P(\text{out}\mid\text{W}) =: p$.
전 확률 법칙으로 $P(\text{out}) = \tfrac{1}{4}(p + p + p + p) = p$ — 전체 확률이 한 방향 조건부 확률과 같음.

$$P(\text{out}) = \sum_{\text{dir}} \tfrac{1}{4}\,P(\text{out}\mid\text{dir}) = p$$

💡 동일한 네 가지를 각각 $\tfrac{1}{4}$ 가중치로 더하면 한 가지가 그대로 — 대칭이 네 경우를 한 경우로 만듦.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.7 단계 2

한 방향 문제를 $2$ 차원 기하확률 문제로 환원.
북쪽 점프 조건에서 새 위치는 $(X, Y + D)$.
$X$ 는 변하지 않고 $D \le 1$ 이므로 $x$ 좌표는 $[0, 6]$ 에 그대로.
정사각형을 벗어나는 조건은 $Y + D > 6$.
즉 $p = P(Y + D > 6)$, $Y \sim U[0, 6]$, $D \sim U[0, 1]$, 독립.

$$p = P(Y + D > 6),\ Y \sim U[0, 6],\ D \sim U[0, 1]$$

💡 북쪽 점프 시 정사각형을 벗어나는 건 $y$ 좌표뿐 — 출발지가 윗변에서 $1$ 이내일 때만 가능.

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 3

$(Y, D)$ 표본공간을 $6 \times 1$ 직사각형으로 그림.
직선 $Y + D = 6$ 은 점 $(Y, D) = (5, 1)$ 에서 들어가 $(6, 0)$ 에서 나옴.
호의 조건 $\{Y + D > 6\}$ 은 직사각형 오른쪽 아래 모서리의 작은 직각삼각형 — 꼭짓점 $(5, 1)$, $(6, 1)$, $(6, 0)$, 두 변의 길이는 각각 $1$.

$$\text{삼각형 넓이} = \tfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \tfrac{1}{2}$$

💡 직사각형과 직선 $Y + D = 6$ 을 그리면 호의 영역이 곧장 보임 — 두 변이 $1$ 인 직각삼각형.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.7 단계 4

기하확률 계산.
전체 표본공간의 넓이는 $6 \cdot 1 = 6$.
따라서 $p = (\tfrac{1}{2})/6 = \tfrac{1}{12}$.
1 단계에서 $P(\text{out}) = p = \tfrac{1}{12}$.

$$P(\text{out}) = \dfrac{1/2}{6} = \dfrac{1}{12} \;\Rightarrow\; \textbf{(B) }\dfrac{1}{12}$$

💡 두 변수가 독립 균등이면 확률 = 넓이 — 호의 넓이를 전체 넓이로 나누면 답.

[1] #9 7.SP.C.7 대칭으로 한 방향만 보면 충분. 정사각형과 네 방향이 $90^\circ$ 회전 대칭이므로 $P(\text{out}\mid\text{N}) = P

[2] #7 7.SP.C.7 한 방향 문제를 $2$ 차원 기하확률 문제로 환원. 북쪽 점프 조건에서 새 위치는 $(X, Y + D)$. $X$ 는 변하지 않고 $D \le

[3] #1 6.G.A.1 $(Y, D)$ 표본공간을 $6 \times 1$ 직사각형으로 그림. 직선 $Y + D = 6$ 은 점 $(Y, D) = (5, 1)$ 에서 들

[4] #7 7.SP.C.7 기하확률 계산. 전체 표본공간의 넓이는 $6 \cdot 1 = 6$. 따라서 $p = (\tfrac{1}{2})/6 = \tfrac{1}{12}

검토

합리성 확인: 크기 점검: 위험 띠는 각 변에서 폭 $1$ 단위 ($D \le 1$). 띠의 총 넓이는 최대 $4 \cdot (6 \cdot 1) = 24/36$ 인데, 탈출하려면 띠에 있고 $D$ 도 충분히 커야 하므로 훨씬 작아짐. 답 $\tfrac{1}{12} \approx 0.083$ 은 그럴듯 — 작지만 미미하지 않음. 삼각형 확인: $(5,1), (6,1), (6,0)$ 의 두 변 길이 $1$, 넓이 $\tfrac{1}{2}$. 비율 $\tfrac{1/2}{6} = \tfrac{1}{12}$ — 선택지 (B) 와 일치.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) — 직접 적분: $p = \int_0^6 \int_0^1 \mathbf{1}_{y + d > 6}\,\tfrac{1}{6}\,\tfrac{1}{1}\,dd\,dy = \tfrac{1}{6}\int_5^6 (1 - (6 - y))\,dy = \tfrac{1}{6}\int_5^6 (y - 5)\,dy = \tfrac{1}{6} \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{12}$. 같은 답 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.7 확률 모델을 세워 사건의 확률 구하기 ($Y, D$ 를 독립 균등분포로 모델링, 대칭으로 네 방향을 한 방향으로 환원, 호의 넓이/전체 넓이 비율로 기하확률을 읽음.)
6.G.A.1 삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이를 합성으로 구하기 (호의 영역 $\{(Y, D) : Y + D > 6\} \cap [0,6] \times [0,1]$ 이 두 변이 $1$ 인 직각삼각형 (넓이 $\tfrac{1}{2}$) 임을 식별.)

⭐ 회전 대칭에 의해 전체 탈출 확률은 임의의 한 방향 (예: 북쪽) 조건부 확률과 같습니다. 북쪽 점프에서는 $y$ 좌표만 문제가 되므로 $(Y, D)$ 의 $6 \times 1$ 직사각형 위에서 $Y + D > 6$ 영역을 그리면 두 변이 $1$ 인 직각삼각형 (넓이 $\tfrac{1}{2}$) 이 나옵니다. 전체 넓이 $6$ 으로 나누면 $\textbf{(B) }\tfrac{1}{12}$.