AMC 10 · 2023 · #20
학년 8 geometry-3d문제
Four congruent semicircles are drawn on the surface of a sphere with radius 2, as
shown, creating a close curve that divides the surface into two congruent regions.
The length of the curve is πn. What is n?
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AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 반지름 $2$ 인 구의 표면에서 네 개의 합동인 반원이 끝점끼리 이어져 닫힌 곡선을 이루고, 이 곡선이 구의 표면을 두 개의 합동인 영역으로 나눕니다. 곡선의 총 길이가 $\pi\sqrt{n}$ 일 때 $n$ 을 구하세요.
주어진 것: 구의 반지름 $R = 2$; 곡선 = $4$ 개의 합동인 반원을 이어붙인 닫힌 고리; 고리가 구를 두 개의 합동인 영역으로 분할; 곡선의 총 길이 $= \pi\sqrt{n}$; 선택지: (A) $32$, (B) $12$, (C) $48$, (D) $36$, (E) $27$
구하는 것: $n$
이해
문제 재정리: 반지름 $2$ 인 구의 표면에서 네 개의 합동인 반원이 끝점끼리 이어져 닫힌 곡선을 이루고, 이 곡선이 구의 표면을 두 개의 합동인 영역으로 나눕니다. 곡선의 총 길이가 $\pi\sqrt{n}$ 일 때 $n$ 을 구하세요.
주어진 것: 구의 반지름 $R = 2$; 곡선 = $4$ 개의 합동인 반원을 이어붙인 닫힌 고리; 고리가 구를 두 개의 합동인 영역으로 분할; 곡선의 총 길이 $= \pi\sqrt{n}$; 선택지: (A) $32$, (B) $12$, (C) $48$, (D) $36$, (E) $27$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #1 그림 그리기, #17 공간 상상하기
총 길이는 한 반원 길이의 $4$ 배, 한 반원 길이는 $\pi$ 곱하기 반지름, 반지름은 지름의 절반 — 그리고 지름은 인접 연결점 사이의 구의 현. 그래서 (a) 네 연결점의 위치 확정, (b) 인접 두 점 사이의 현 길이 계산, (c) 반원 반지름과 호 길이로 환산, (d) 총 길이와 $n$ 으로 마무리 — 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 가 각 단계 명명. 도구 #1(그림 그리기) 으로 대원의 단면을 그리면 현이 보이고, 도구 #17(공간 상상하기) 로 네 점이 대원 위 정사각형 꼭짓점에 있음을 확인.
실행 — 정답: A
8.G.A.5 단계 1 - 네 연결점의 위치 결정.
- 곡선이 구를 두 합동인 영역으로 나누므로 최대 대칭 — 자연스러운 배치는 네 점 $A, B, C, D$ 가 구의 대원 (반지름 $R = 2$) 에 내접한 정사각형의 꼭짓점에 있는 것.
- 인접한 두 점, 예를 들어 $A$ 와 $B$ 가 한 반원으로 연결됨.
💡 두 합동 영역이라는 조건은 곡선이 $90^\circ$ 회전 후에도 동일해야 함을 뜻함 — 네 연결점이 대원 위에 균등 배치.
8.G.B.7 단계 2 - 인접 연결점 사이의 현 $AB$ 를 피타고라스 정리로 계산.
- 대원의 평면에서 $O$ 가 구의 중심이고 $OA = OB = 2$, $\angle AOB = 90^\circ$ (정사각형 인접 꼭짓점).
- 삼각형 $OAB$ 는 직각이등변삼각형.
💡 대원의 단면을 그리면 $3$ 차원 문제가 평면 직각삼각형으로 바뀜 — 피타고라스 한 줄로 현 길이 결정.
7.G.B.4 단계 3 - 현 $AB$ 를 반원의 반지름으로 환산.
- 각 반원은 $AB$ 가 지름이므로 반지름은 $AB$ 의 절반.
💡 반원의 지름 = 양 끝점을 잇는 현 — 반지름은 현의 절반.
7.G.B.4 단계 4 한 반원의 길이: 반지름 $\sqrt{2}$ 인 원 둘레의 절반, 즉 $\pi r = \pi\sqrt{2}$.
💡 $2\pi r$ 의 절반인 $\pi r$ — 반원 호의 기본 공식.
8.EE.A.2 단계 5 - 총 곡선 길이: 합동 반원 $4$ 개의 합 $= 4\pi\sqrt{2}$.
- 이를 $\pi\sqrt{n}$ 꼴로 맞추면 $n$ 결정.
💡 계수 $4$ 를 제곱근 안으로: $4\sqrt{2} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{32}$, 그래서 $\pi\sqrt{n}$ 형태에서 $n = 32$.
8.G.A.5 네 연결점의 위치 결정. 곡선이 구를 두 합동인 영역으로 나누므로 최대 대칭 — 자연스러운 배치는 네 점 $A, B, C, D$ 가 구의 대원 8.G.B.7 인접 연결점 사이의 현 $AB$ 를 피타고라스 정리로 계산. 대원의 평면에서 $O$ 가 구의 중심이고 $OA = OB = 2$, $\angle 7.G.B.4 현 $AB$ 를 반원의 반지름으로 환산. 각 반원은 $AB$ 가 지름이므로 반지름은 $AB$ 의 절반. 7.G.B.4 한 반원의 길이: 반지름 $\sqrt{2}$ 인 원 둘레의 절반, 즉 $\pi r = \pi\sqrt{2}$. 8.EE.A.2 총 곡선 길이: 합동 반원 $4$ 개의 합 $= 4\pi\sqrt{2}$. 이를 $\pi\sqrt{n}$ 꼴로 맞추면 $n$ 결정. 검토
합리성 확인: 크기 점검: 구의 대원 둘레 $2\pi R = 4\pi$ 인데 곡선 길이 $4\pi\sqrt{2} \approx 5.66\pi$ 가 그보다 큼 — 네 반원이 대원을 따라가는 게 아니라 부풀어 도는 형태이므로 자연스러움. $n = 32$ 가 정확히 일치: $(4\sqrt{2})^2 = 32$. 또 $32$ 만이 $\sqrt{2}$ 의 유리수배 형태와 들어맞는 유일한 선택지 — 기하가 강제하는 형태와 부합.
대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): $4\pi\sqrt{2} = \pi\sqrt{n}$ 에서 양변을 $\pi$ 로 나누면 $4\sqrt{2} = \sqrt{n}$, 제곱하면 $n = 16 \cdot 2 = 32$ — 같은 답 (A). 도구 #10(직접 만져보기): 반지름 $2$ 인 비치볼의 적도 위에 $4$ 개 점을 등간격으로 표시하고 인접 두 점을 반원으로 잇는 그림이 곡선 모양을 구체적으로 확인.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.G.A.5비형식적 논증으로 각의 합·외각 성질 세우기 (곡선이 구를 두 합동 영역으로 나누므로 네 연결점이 대원 위에서 $90^\circ$ 간격으로 균등 배치돼야 한다는 대칭 논증.)8.G.B.7피타고라스 정리로 직각삼각형 미지 변 구하기 (대원 평면의 직각이등변삼각형 $OAB$ ($OA = OB = 2$) 에서 현 $AB = 2\sqrt{2}$ 계산.)7.G.B.4원의 넓이와 둘레 공식 알기 (반지름 $\sqrt{2}$ 인 원 둘레의 절반인 반원 호 길이 $\pi r = \pi\sqrt{2}$ 계산.)8.EE.A.2제곱근·세제곱근 기호로 해를 표현 ($4\sqrt{2} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{32}$ 로 다시 적어 $\pi\sqrt{n}$ 형태에 맞추고 $n = 32$ 읽음.)
⭐ 대칭 조건이 네 연결점을 구의 대원에 내접한 정사각형의 꼭짓점으로 강제합니다. 대원 평면의 피타고라스 정리가 인접한 두 점 사이의 현을 $2\sqrt{2}$ 로 주므로 각 반원의 반지름은 $\sqrt{2}$, 호 길이는 $\pi\sqrt{2}$. 네 개를 합치면 $4\pi\sqrt{2} = \pi\sqrt{32}$ 이므로 $n = \textbf{(A) }32$.
⭐ 대칭 조건이 네 연결점을 구의 대원에 내접한 정사각형의 꼭짓점으로 강제합니다. 대원 평면의 피타고라스 정리가 인접한 두 점 사이의 현을 $2\sqrt{2}$ 로 주므로 각 반원의 반지름은 $\sqrt{2}$, 호 길이는 $\pi\sqrt{2}$. 네 개를 합치면 $4\pi\sqrt{2} = \pi\sqrt{32}$ 이므로 $n = \textbf{(A) }32$.