AMC 10 · 2023 · #21

학년 8 probability

probability-basicparitygenerating-functionscombinations-basicpattern-recognition easier-related-problempattern-recognitioncomplementary-counting ↑ 선수 지식: probability-basicparitycombinations-basic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

Each of $2023$ balls is randomly placed into one of $3$ bins. Which of the following is closest to the probability that each of the bins will contain an odd number of balls?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{2}{3}$

(B)

$frac{3}{10}$

(C)

$frac{1}{2}$

(D)

$frac{1}{3}$

(E)

$frac{1}{4}$

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 구별되는 공 $2023$ 개를 통 $3$ 개에 하나씩 균일·독립으로 무작위 배치합니다. 세 통 모두 홀수 개의 공이 들어갈 확률에 가장 가까운 선택지를 고릅니다.

주어진 것: 공 $2023$ 개, 각 공은 통 $3$ 개 중 하나에 확률 $\tfrac{1}{3}$ 로 독립 배치; $2023$ 은 홀수; 각 통 개수 $X_1 + X_2 + X_3 = 2023$; 선택지: (A) $\tfrac{2}{3}$, (B) $\tfrac{3}{10}$, (C) $\tfrac{1}{2}$, (D) $\tfrac{1}{3}$, (E) $\tfrac{1}{4}$

구하는 것: $P(\text{세 통 모두 홀수})$ 에 가장 가까운 선택지

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #16 관점 바꾸기, #3 가능성 지우기

$3^{2023}$ 경우를 직접 셀 수 없습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제) — $2023$ 대신 작은 홀수 $n = 1, 3, 5$ 로 줄이면 손으로 계산 가능. 도구 #5(패턴) 가 확률이 $\tfrac{1}{4}$ 에 빠르게 수렴함을 보여 줍니다. 도구 #16(관점 바꾸기) 가 깔끔한 대수적 확인을 제공. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기) 로 극한을 선택지에 매칭.

실행 — 정답: E

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 2.OA.C.3 단계 1

$2023$ 을 가장 작은 홀수 $n=1$ 로 대체.
공 $1$ 개와 통 $3$ 개일 때 한 통은 $1$ (홀), 나머지는 $0$ (짝).
세 통 모두 홀수는 불가능 — $P_1 = 0$.

$$n = 1: \;P_1 = 0$$

💡 2학년 '홀수·짝수 판별' — 가장 작은 경우로 홀짝 구조를 살핀다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.8 단계 2

$n=3$ 시도.
총 배치 $3^3 = 27$.
세 통 모두 홀수이려면 $(1,1,1)$ 뿐이고, 어떤 공이 어느 통에 갈지는 $3! = 6$ 가지.
따라서 $P_3 = \tfrac{6}{27} = \tfrac{2}{9} \approx 0.222$.

$$n=3:\;P_3 = \dfrac{3!}{3^3} = \dfrac{6}{27} = \dfrac{2}{9}$$

💡 7학년 '복합 사건 정리된 목록' — 작은 경우는 끝까지 셀 수 있다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.8 단계 3

$n=5$ 로 패턴을 봅니다.
$5$ 를 세 양의 홀수의 합으로 표현하면 $(1,1,3)$ 의 순열뿐.
공 $5$ 개를 크기 $1, 1, 3$ 의 그룹으로 나누고 통에 배정: $\binom{5}{1,1,3}\cdot 3 = \tfrac{5!}{1!\,1!\,3!}\cdot 3 = 20 \cdot 3 = 60$.
따라서 $P_5 = \tfrac{60}{243} = \tfrac{20}{81} \approx 0.2469$.

$$n=5:\;P_5 = \dfrac{60}{243} = \dfrac{20}{81} \approx 0.2469$$

💡 7학년 — 다음 작은 경우까지 세서 확률이 어떤 값으로 수렴하는지 본다.

#5 패턴 찾기 5.OA.B.3 단계 4

패턴 관찰: $P_1 = 0,\;P_3 \approx 0.222,\;P_5 \approx 0.247$.
값이 $\tfrac{1}{4} = 0.25$ 를 향해 아래에서 다가갑니다.
추측: 큰 홀수 $n$ 에 대해 $P_n \to \tfrac{1}{4}$.

$$P_1 = 0,\;P_3 = \tfrac{2}{9} \approx 0.222,\;P_5 = \tfrac{20}{81} \approx 0.2469 \;\nearrow\; \tfrac{1}{4}$$

💡 5학년 '패턴과 관계 분석' — 수열이 단조롭게 한 값에 다가간다.

#16 관점 바꾸기 8.EE.A.1 단계 5

$\tfrac{1}{4}$ 극한을 대칭(여집합) 논증으로 확인.
통 홀짝을 $\pm 1$ 지표로 표현하면 표준 기법(또는 $n$ 에 대한 귀납)으로 정확한 확률은 홀수 $n$ 일 때 $\tfrac{1}{4}\!\left(1 - \tfrac{1}{3^{n-1}}\right)$.
$n=2023$ 이면 보정 $\tfrac{1}{4\cdot 3^{2022}}$ 은 천문학적으로 작아 사실상 $0$.

$$P_n = \dfrac{1}{4}\!\left(1 - \dfrac{1}{3^{\,n-1}}\right)\;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;\dfrac{1}{4}$$

💡 8학년 '정수 지수' — $\tfrac{1}{3^{2022}}$ 은 $\tfrac{1}{4}$ 옆에서 무시 가능.

#3 가능성 지우기 4.NF.C.7 단계 6

가장 가까운 선택지 선택.
$P_{2023} \approx \tfrac{1}{4} = 0.25$.
선택지 $\tfrac{2}{3}, \tfrac{3}{10}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}$ 중 가장 가까운 것은 $\tfrac{1}{4}$, 즉 (E).

$$P_{2023} \approx \tfrac{1}{4} \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 4학년 '소수 비교' — $0.25\ldots$ 를 선택지에 맞춥니다.

[1] #9 2.OA.C.3 $2023$ 을 가장 작은 홀수 $n=1$ 로 대체. 공 $1$ 개와 통 $3$ 개일 때 한 통은 $1$ (홀), 나머지는 $0$ (짝). 세

[2] #9 7.SP.C.8 $n=3$ 시도. 총 배치 $3^3 = 27$. 세 통 모두 홀수이려면 $(1,1,1)$ 뿐이고, 어떤 공이 어느 통에 갈지는 $3! = 6$

[3] #9 7.SP.C.8 $n=5$ 로 패턴을 봅니다. $5$ 를 세 양의 홀수의 합으로 표현하면 $(1,1,3)$ 의 순열뿐. 공 $5$ 개를 크기 $1, 1, 3$

[4] #5 5.OA.B.3 패턴 관찰: $P_1 = 0,\;P_3 \approx 0.222,\;P_5 \approx 0.247$. 값이 $\tfrac{1}{4} = 0.2

[5] #16 8.EE.A.1 $\tfrac{1}{4}$ 극한을 대칭(여집합) 논증으로 확인. 통 홀짝을 $\pm 1$ 지표로 표현하면 표준 기법(또는 $n$ 에 대한 귀납)

[6] #3 4.NF.C.7 가장 가까운 선택지 선택. $P_{2023} \approx \tfrac{1}{4} = 0.25$. 선택지 $\tfrac{2}{3}, \tfrac

검토

합리성 확인: 세 가지 점검 통과. (1) 작은 경우 확률 $0, \tfrac{2}{9}, \tfrac{20}{81}$ 가 공식 $\tfrac{1}{4}(1 - 1/3^{n-1})$ 과 정확히 일치: $n=3$ 에서 $\tfrac{1}{4}(1 - \tfrac{1}{9}) = \tfrac{2}{9}$, $n=5$ 에서 $\tfrac{1}{4}(1 - \tfrac{1}{81}) = \tfrac{20}{81}$. (2) 극한 $\tfrac{1}{4}$ 의 직관: 세 통 개수의 $2^3 = 8$ 가지 홀짝 패턴 중 (홀,홀,홀) 은 $1$ 개라 단순 기준선은 $\tfrac{1}{8}$ 이지만, 합이 홀수임을 조건으로 두면 표본공간이 절반이 되어 두 배가 되어 $\tfrac{1}{4}$. (3) $0.25$ 는 다른 선택지 $\tfrac{3}{10}=0.3$ (차 $0.05$), $\tfrac{1}{3}\approx 0.333$ (차 $0.083$) 보다 (E) 에 가장 가깝다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기) 직접: 각 통 개수를 $2023$ 개의 지표 변수의 합으로 쓰고, $\big(\tfrac{1}{3}(1 + \omega^a + \omega^{-a})\big)^{2023}$ 의 패리티 단위근 전개 상수항을 추출 — 작은 경우 사다리를 거치지 않고 같은 공식에 도달.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

2.OA.C.3 사물의 개수가 홀수인지 짝수인지 판별 (통의 개수 홀짝을 인식하고, 홀수 합($2023$)에서는 세 통이 모두 짝수일 수 없음을 추론.)
4.NF.C.7 소수 둘째 자리까지 두 소수의 크기 비교 (계산된 확률 ($\approx 0.25$) 을 각 선택지와 비교해 가장 가까운 것을 선택.)
5.OA.B.3 두 규칙으로 수 패턴을 만들고 관계 분석 ($P_1, P_3, P_5, \ldots$ 가 어떤 값으로 단조 수렴하는 패턴을 관찰.)
7.SP.C.8 정리된 목록·표·모의실험으로 복합 사건의 확률 구하기 ($n=3$ 과 $n=5$ 의 경우 유리한 배치의 수를 다항계수로 계산.)
8.EE.A.1 정수 지수의 성질을 알고 적용 ($\tfrac{1}{3^{2022}}$ 이 무시할 만큼 작음을 인식하고 $P_{2023} \approx \tfrac{1}{4}$ 결론.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 지수 직관만 있으면 풀려요 — 공 $2023$ 개 대신 $n = 1, 3, 5$ 로 줄여 보면 확률이 $0, \tfrac{2}{9}, \tfrac{20}{81}, \ldots$ 로 $\tfrac{1}{4}$ 을 향해 올라갑니다. 일반 공식 $\tfrac{1}{4}(1 - 1/3^{n-1})$ 의 보정이 $n=2023$ 에서 너무 작아, 가장 가까운 선택지는 (E) $\tfrac{1}{4}$.