AMC 10 · 2023 · #24

학년 8 geometry-2d

vector-parameterizationcoordinate-geometryperimeterminkowski-sumspatial-visualization physical-representationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryperimeter

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

What is the perimeter of the boundary of the region consisting of all points which can be expressed as $(2u-3w, v+4w)$ with $0\le u\le1$ , $0\le v\le1,$ and $0\le w\le1$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$10\sqrt{3}$

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $u, v, w$ 가 각각 $[0, 1]$ 을 훑을 때 점 $(2u - 3w,\;v + 4w)$ 가 그리는 영역 $R$ 의 경계 둘레를 구합니다.

주어진 것: 매개변수 $u, v, w$ 가 각각 독립적으로 $[0, 1]$; 점 $P(u, v, w) = (2u - 3w,\;v + 4w) = u(2, 0) + v(0, 1) + w(-3, 4)$; 세 방향 벡터 $\vec{a} = (2, 0)$, $\vec{b} = (0, 1)$, $\vec{c} = (-3, 4)$; 선택지: (A) $10\sqrt{3}$, (B) $13$, (C) $12$, (D) $18$, (E) $16$

구하는 것: 영역 $R$ 경계의 둘레

이해

문제 재정리: $u, v, w$ 가 각각 $[0, 1]$ 을 훑을 때 점 $(2u - 3w,\;v + 4w)$ 가 그리는 영역 $R$ 의 경계 둘레를 구합니다.

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #7 작은 문제로 쪼개기, #10 직접 만져보기

영역은 세 방향 벡터에 비율을 곱해 더한 합입니다. 도구 #1(그림) — 세 벡터 $(2, 0), (0, 1), (-3, 4)$ 를 좌표평면에 그리고 그것들이 쓸어내는 모양을 스케치. 도구 #2(빠짐없이 나열) 가 $u, v, w \in \{0, 1\}$ 의 $2^{3} = 8$ 개 모서리 상을 나열. 도구 #7(쪼개기) 가 '둘레' 를 '경계 꼭짓점 찾기' + '여섯 변 합산' 으로 분리. 도구 #10(직접 만져보기) — Minkowski 합 그림: $R$ 은 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 방향의 세 단위 선분의 합이라 변이 $\pm \vec{a}, \pm \vec{b}, \pm \vec{c}$ 쌍으로 이뤄진 육각형.

실행 — 정답: E

#10 직접 만져보기 8.G.A.1 단계 1

모양 인식.
점 $P = u(2, 0) + v(0, 1) + w(-3, 4)$ 는 세 독립 선분 $[0, (2, 0)] + [0, (0, 1)] + [0, (-3, 4)]$ 의 합.
평면에서 세 선분의 Minkowski 합은 중심대칭 육각형이며, 여섯 변은 세 방향 벡터별로 평행한 두 변씩 짝을 이룹니다.

$$R = [0, \vec{a}] + [0, \vec{b}] + [0, \vec{c}],\quad \vec{a} = (2, 0),\;\vec{b} = (0, 1),\;\vec{c} = (-3, 4)$$

💡 8학년 '평행이동과 변환' — 단위 선분 하나를 더하면 도형이 평행 이동된다; 세 번 하면 육각형 패치가 쓸린다.

#2 빠짐없이 나열하기 5.G.A.2 단계 2

$8$ 개 모서리 상 나열: $(u, v, w) \in \{0, 1\}^{3}$ 을 $P$ 에 대입.
$(0,0,0)\!\to\!(0,0)$; $(1,0,0)\!\to\!(2,0)$; $(0,1,0)\!\to\!(0,1)$; $(0,0,1)\!\to\!(-3,4)$; $(1,1,0)\!\to\!(2,1)$; $(1,0,1)\!\to\!(-1,4)$; $(0,1,1)\!\to\!(-3,5)$; $(1,1,1)\!\to\!(-1,5)$.

$$\text{모서리상}: (0,0),(2,0),(0,1),(-3,4),(2,1),(-1,4),(-3,5),(-1,5)$$

💡 5학년 '좌표평면에 점 그리기' — 여덟 점을 모두 찍고 바깥 윤곽을 본다.

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 3

외곽 육각형 식별.
점 $(0, 1)$ 과 $(-1, 4)$ 는 다른 점들의 볼록 껍질 내부에 있으므로 경계 꼭짓점은 반시계 방향 $A = (0, 0),\; B = (2, 0),\; C = (2, 1),\; D = (-1, 5),\; E = (-3, 5),\; F = (-3, 4)$.
인접 꼭짓점의 차이가 각각 $\pm \vec{a}, \pm \vec{b}, \pm \vec{c}$ 중 하나.

$$\text{육각형 꼭짓점 (반시계): } A(0,0),\;B(2,0),\;C(2,1),\;D(-1,5),\;E(-3,5),\;F(-3,4)$$

💡 6학년 '주어진 꼭짓점으로 다각형 그리기' — 여섯 점이 육각형 윤곽, 두 점은 내부 장식.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.8 단계 4

각 변 길이 계산: $AB = (2,0) - (0,0) = \vec{a}$, 길이 $|\vec{a}| = 2$.
$BC = (2,1) - (2,0) = \vec{b}$, 길이 $1$.
$CD = (-1,5) - (2,1) = (-3, 4) = \vec{c}$, 길이 $\sqrt{9 + 16} = 5$.
$DE = -\vec{a}$ 길이 $2$.
$EF = -\vec{b}$ 길이 $1$.
$FA = -\vec{c}$ 길이 $5$.

$$|\vec{a}| = 2,\;|\vec{b}| = 1,\;|\vec{c}| = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$$

💡 8학년 '좌표 거리에 피타고라스' — $(-3, 4)$ 는 고전적 $3$-$4$-$5$ 삼각형, $|\vec{c}| = 5$.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.D.8 단계 5

여섯 변 합산.
각 방향이 양·음으로 두 번씩 등장하므로 둘레 $= 2(|\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}|) = 2(2 + 1 + 5) = 2 \cdot 8 = 16$.

$$\text{둘레} = 2(2 + 1 + 5) = 16 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 3학년 '둘레는 변 길이의 합' — 변 여섯 개, 세 길이가 각각 두 번.

[1] #10 8.G.A.1 모양 인식. 점 $P = u(2, 0) + v(0, 1) + w(-3, 4)$ 는 세 독립 선분 $[0, (2, 0)] + [0, (0, 1)]

[2] #2 5.G.A.2 $8$ 개 모서리 상 나열: $(u, v, w) \in \{0, 1\}^{3}$ 을 $P$ 에 대입. $(0,0,0)\!\to\!(0,0)$;

[3] #1 6.G.A.3 외곽 육각형 식별. 점 $(0, 1)$ 과 $(-1, 4)$ 는 다른 점들의 볼록 껍질 내부에 있으므로 경계 꼭짓점은 반시계 방향 $A = (0

[4] #7 8.G.B.8 각 변 길이 계산: $AB = (2,0) - (0,0) = \vec{a}$, 길이 $|\vec{a}| = 2$. $BC = (2,1) - (2,

[5] #7 3.MD.D.8 여섯 변 합산. 각 방향이 양·음으로 두 번씩 등장하므로 둘레 $= 2(|\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}|) = 2(2

검토

합리성 확인: 닫힌 회로 검증: $A \to B$ ($\vec{a}$) $\to C$ ($\vec{b}$) $\to D$ ($\vec{c}$) $\to E$ ($-\vec{a}$) $\to F$ ($-\vec{b}$) $\to A$ ($-\vec{c}$). 순 변위는 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - \vec{a} - \vec{b} - \vec{c} = \vec{0}$, 다각형이 닫힘 확인. 내부 두 점 $(0, 1)$, $(-1, 4)$ 는 매개변수가 하나·둘만 $1$ 인 모서리에 해당 — 방향 벡터들이 그 점들을 바깥으로 밀어내지 못해 내부에 묻힘. 둘레 $16$ 이 선택지 (E).

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기): 일반 사실 — 평면에서 서로 평행하지 않은 선분 $\vec{v}_{1}, \ldots, \vec{v}_{k}$ 의 Minkowski 합(존노톱)의 둘레는 $2(|\vec{v}_{1}| + \cdots + |\vec{v}_{k}|)$. 여기 $(2, 0), (0, 1), (-3, 4)$ 가 쌍쌍이 비평행이므로 둘레 $= 2(2 + 1 + 5) = 16$ — 한 줄 계산.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

3.MD.D.8 다각형의 둘레 관련 실생활·수학 문제 풀이 (여섯 변 길이를 더해 둘레를 구함.)
5.G.A.2 제1사분면 좌표평면에 점을 그려 문제 표현 (여덟 모서리 상을 좌표평면에 찍기.)
6.G.A.3 주어진 꼭짓점으로 좌표평면에 다각형 그리기 (찍은 점들에서 외곽 육각형 $ABCDEF$ 의 윤곽을 그리기.)
8.G.A.1 회전·반사·평행이동의 성질을 실험으로 확인 (영역이 세 단위 선분의 Minkowski 합 — 각 선분이 이전 도형을 평행이동해 육각형을 쓸어낸다 — 임을 인식.)
8.G.B.8 피타고라스 정리로 좌표평면 두 점 사이 거리 구하기 (사선 변의 길이 $|\vec{c}| = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ 계산.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 피타고라스만 있으면 풀려요 — 영역은 세 단위 선분 $(2,0), (0,1), (-3,4)$ 을 더해 만든 육각형이라, 여섯 변이 그 세 길이의 짝을 이룹니다. 길이 $2, 1, 5$ 가 각각 두 번이므로 둘레 $= 2(2+1+5) = 16$, 선택지 (E).