AMC 10 · 2023 · #3

학년 7 geometry-2d

area-circlesinteger-pythagorean-triplesratio-proportionsimilar-figures identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlesinteger-pythagorean-triples

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

A $3-4-5$ right triangle is inscribed in circle $A$ , and a $5-12-13$ right triangle is inscribed in circle $B$ . What is the ratio of the area of circle $A$ to the area of circle $B$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{9}{25}$

(B)

$frac{1}{9}$

(C)

$frac{1}{5}$

(D)

$frac{25}{169}$

(E)

$frac{4}{25}$

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $3$-$4$-$5$ 직각삼각형이 원 $A$ 에 내접하고, $5$-$12$-$13$ 직각삼각형이 원 $B$ 에 내접합니다. $\frac{\text{원 } A \text{의 넓이}}{\text{원 } B \text{의 넓이}}$ 를 구하세요.

주어진 것: 원 $A$ 안의 삼각형: 변의 길이 $3, 4, 5$ 인 직각삼각형; 원 $B$ 안의 삼각형: 변의 길이 $5, 12, 13$ 인 직각삼각형; 각 삼각형은 *내접* — 세 꼭짓점이 모두 원 위에 있음; 선택지: (A) $\frac{9}{25}$, (B) $\frac{1}{9}$, (C) $\frac{1}{5}$, (D) $\frac{25}{169}$, (E) $\frac{4}{25}$

구하는 것: 두 원의 넓이의 비

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

도구 #1 로 각 원에 직각삼각형을 빠르게 그려 보면 핵심이 한눈에 — 직각 꼭짓점이 원 위에 있고 빗변은 원 한쪽 끝에서 반대쪽 끝까지 곧장 가로지릅니다. 따라서 빗변 $=$ 지름. 그 사실이 보이는 순간 문제는 도구 #7 로 세 개의 작은 문제로 쪼개집니다: (가) 각 지름 읽기, (나) 각 넓이를 지름으로 쓰기, (다) 비를 만들어 약분. 분수 제곱 한 번 외에는 무거운 대수가 필요 없습니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 1

원 $A$ 에 $3$-$4$-$5$ 삼각형을 그려 봅니다.
직각은 가장 긴 변의 맞은편에 위치.
원에 내접하는 직각의 마주보는 변은 항상 지름이라는 사실 — 빗변 $5$ 가 원 $A$ 의 지름.

$$d_A = 5$$

💡 원 위에 삼각형을 그리면 빗변이 원의 한쪽에서 반대쪽까지 곧장 — 그게 바로 지름.

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 2

원 $B$ 에 $5$-$12$-$13$ 삼각형도 똑같이 — 같은 "내접 직각 $\Rightarrow$ 빗변 지름" 근거로 빗변 $13$ 이 원 $B$ 의 지름.

$$d_B = 13$$

💡 같은 그림 근거를 다른 직각삼각형에 적용 — 또 빗변이 지름.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 3

각 넓이를 지름으로 표현.
$r = d/2$ 이므로 $\pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.
비를 만들면 $\pi$ 와 $4$ 가 약분되고 지름의 비의 제곱만 남음.

$$\dfrac{\text{넓이}_A}{\text{넓이}_B} = \dfrac{\pi d_A^2/4}{\pi d_B^2/4} = \left(\dfrac{d_A}{d_B}\right)^2$$

💡 두 원의 넓이를 비교할 때 중요한 것은 지름의 비뿐 — $\pi$ 와 $4$ 는 양쪽에 똑같이 있음.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.1 단계 4

두 지름을 대입해 제곱.

$$\left(\dfrac{5}{13}\right)^2 = \dfrac{25}{169} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 $\frac{5}{13}$ 의 제곱은 분자·분모를 각각 제곱 — 6학년 지수 규칙.

[1] #1 7.G.B.4 원 $A$ 에 $3$-$4$-$5$ 삼각형을 그려 봅니다. 직각은 가장 긴 변의 맞은편에 위치. 원에 내접하는 직각의 마주보는 변은 항상 지름이

[2] #1 7.G.B.4 원 $B$ 에 $5$-$12$-$13$ 삼각형도 똑같이 — 같은 "내접 직각 $\Rightarrow$ 빗변 지름" 근거로 빗변 $13$ 이 원

[3] #7 7.G.B.4 각 넓이를 지름으로 표현. $r = d/2$ 이므로 $\pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$. 비를 만들면

[4] #7 6.EE.A.1 두 지름을 대입해 제곱.

검토

합리성 확인: 크기 점검. 지름 $5$ vs 지름 $13$ — 원 $A$ 가 원 $B$ 보다 훨씬 작으니 비는 $1$ 보다 한참 작아야 함. $\frac{25}{169} \approx 0.148$ 로 부합. 선택지 중 $\frac{1}{4}$ 미만은 (B) $\frac{1}{9} \approx 0.111$, (C) $\frac{1}{5} = 0.2$, (D) $\frac{25}{169} \approx 0.148$, (E) $\frac{4}{25} = 0.16$ — 지름 비의 제곱과 정확히 맞는 것은 (D) 뿐.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): 반지름을 직접 — $r_A = 5/2$, $r_B = 13/2$. 넓이는 $\pi (5/2)^2 = \frac{25\pi}{4}$, $\pi (13/2)^2 = \frac{169\pi}{4}$. 비는 $\frac{25\pi/4}{169\pi/4} = \frac{25}{169}$ — 같은 답이지만 계산이 조금 더 길어집니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.A.1 자연수 지수가 포함된 수치식 쓰고 계산하기 (지름 비를 제곱해 $\left(\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{25}{169}$ 을 구하는 데 사용.)
7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식 알기 (각 원의 넓이를 $\frac{\pi d^2}{4}$ 로 적고 넓이의 비를 만드는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 원 넓이 공식만 알면 풀 수 있어요 — 직각삼각형의 빗변이 곧 원의 지름이므로, 넓이 비는 그냥 $\left(\tfrac{5}{13}\right)^2$ 입니다.