AMC 10 · 2023 · #4

학년 5 geometry-2d

area-rectanglesunit-conversiondecimal-arithmetic dimensional-analysisidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglesunit-conversion

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문제

Jackson's paintbrush makes a narrow strip with a width of $6.5$ millimeters. Jackson has enough paint to make a strip $25$ meters long. How many square centimeters of paper could Jackson cover with paint?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

162,500

(B)

162.5

(C)

1,625

(D)

1,625,000

(E)

16,250

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 붓 자국의 너비는 $6.5$ mm 이고, 잭슨이 가진 페인트로는 길이 $25$ m 의 띠를 칠할 수 있습니다. 칠할 수 있는 종이의 넓이를 $\text{cm}^2$ 단위로 구하세요.

주어진 것: 띠의 너비: $6.5$ mm; 띠의 길이: $25$ m; 띠 모양은 직사각형 (너비 일정); 선택지: (A) $162{,}500$, (B) $162.5$, (C) $1{,}625$, (D) $1{,}625{,}000$, (E) $16{,}250$

구하는 것: 칠할 수 있는 종이의 넓이 ($\text{cm}^2$)

이해

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #1 그림 그리기

이 문제의 함정은 전부 단위. 도구 #8(단위 살펴보기)이 핵심 — 길이와 너비를 모두 센티미터로 통일한 뒤에야 $\text{cm}^2$ 가 안전하게 나옵니다. 선택지가 의도적으로 $10$ 배씩 흩어져 있어서($162.5$, $1{,}625$, $16{,}250$, $162{,}500$, $1{,}625{,}000$) $10$ 배 실수가 곧장 오답이 됩니다. 도구 #1 로 가늘고 긴 직사각형을 슥슥 그려 두면 어느 쪽이 가로·세로인지, 그리고 "가로 × 세로" 공식이 떠오릅니다.

실행 — 정답: C

#8 단위 살펴보기 5.MD.A.1 단계 1

너비를 mm 에서 cm 로 환산.
$10$ mm $= 1$ cm 이므로 $10$ 으로 나눕니다.

$$6.5 \text{ mm} = \dfrac{6.5}{10} \text{ cm} = 0.65 \text{ cm}$$

💡 작은 단위(mm) → 큰 단위(cm) — 수는 작아집니다. 5학년 단위 환산.

#8 단위 살펴보기 5.MD.A.1 단계 2

길이를 m 에서 cm 로 환산.
$1$ m $= 100$ cm 이므로 $100$ 을 곱합니다.

$$25 \text{ m} = 25 \times 100 \text{ cm} = 2500 \text{ cm}$$

💡 큰 단위(m) → 작은 단위(cm) — 수는 커집니다.

#1 그림 그리기 4.MD.A.3 단계 3

너비 $0.65$ cm, 길이 $2500$ cm 의 가늘고 긴 직사각형을 그립니다.
넓이는 가로 × 세로.

$$\text{넓이} = 2500 \times 0.65 \text{ cm}^2$$

💡 직사각형 넓이 = 가로 × 세로 — 4학년 공식.

#8 단위 살펴보기 5.NBT.B.7 단계 4

곱셈.
깔끔하게 — $0.65 = \frac{65}{100}$ 로 바꾸면 $2500 \times 0.65 = 2500 \times \frac{65}{100} = 25 \times 65$.
그리고 $25 \times 65 = 25 \times (60 + 5) = 1500 + 125 = 1625$.

$$2500 \times 0.65 = 25 \times 65 = 1625 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 $0.65$ 를 $\frac{65}{100}$ 로 쪼개면 소수 곱셈이 깨끗한 자연수 곱셈으로 — 5학년.

[1] #8 5.MD.A.1 너비를 mm 에서 cm 로 환산. $10$ mm $= 1$ cm 이므로 $10$ 으로 나눕니다.

[2] #8 5.MD.A.1 길이를 m 에서 cm 로 환산. $1$ m $= 100$ cm 이므로 $100$ 을 곱합니다.

[3] #1 4.MD.A.3 너비 $0.65$ cm, 길이 $2500$ cm 의 가늘고 긴 직사각형을 그립니다. 넓이는 가로 × 세로.

[4] #8 5.NBT.B.7 곱셈. 깔끔하게 — $0.65 = \frac{65}{100}$ 로 바꾸면 $2500 \times 0.65 = 2500 \times \frac{6

검토

합리성 확인: 크기 점검. $25$ m × $6.5$ mm 띠는 대략 $25 \text{ m} \times \tfrac{1}{150}\text{ m} \approx 0.16$ $\text{m}^2$. $1\text{ m}^2 = 10{,}000$ $\text{cm}^2$ 이므로 약 $1{,}600$ $\text{cm}^2$ — $1{,}625$ 와 같은 범위. (C) 가 맞고, 다른 선택지는 모두 $10$ 의 거듭제곱만큼 빗나간 값.

대안 접근: 도구 #15(다르게 정리하기): 전부 mm 로 통일 — 너비 $6.5$ mm, 길이 $25{,}000$ mm, 넓이 $6.5 \times 25{,}000 = 162{,}500$ $\text{mm}^2$. 그리고 $1$ $\text{cm}^2 = 100$ $\text{mm}^2$ 이므로 $100$ 으로 나누면 $1{,}625$ $\text{cm}^2$ — 같은 답. 이 경로는 (A) $162{,}500$ 이 왜 함정 선택지인지도 자연스럽게 드러냅니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.MD.A.3 직사각형의 넓이·둘레 공식 실생활 적용 (직사각형 띠에 "넓이 = 가로 × 세로" 공식을 적용하는 데 사용.)
5.MD.A.1 같은 체계 내 단위 환산 ($6.5$ mm $\to 0.65$ cm, $25$ m $\to 2500$ cm 로 변환하는 데 사용.)
5.NBT.B.7 백분의 자리까지의 소수의 사칙연산 ($2500 \times 0.65$ 을 $25 \times 65 = 1625$ 로 계산하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 5학년 단위 환산만 알면 풀 수 있어요 — 가로·세로를 모두 cm 로 맞춘 뒤 $2500 \times 0.65$ 만 하면 $1{,}625$ cm$^2$ 가 나옵니다.