AMC 10 · 2023 · #5

학년 6 arithmetic

linear-equations-one-varmean-median-mode-rangesystems-of-equations identify-subproblemswork-backwardsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Maddy and Lara see a list of numbers written on a blackboard. Maddy adds $3$ to each number in the list and finds that the sum of her new numbers is $45$ . Lara multiplies each number in the list by $3$ and finds that the sum of her new numbers is also $45$ . How many numbers are written on the blackboard?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 수의 목록의 합을 $S$, 개수를 $n$ 이라 합시다. 각 수에 $3$ 을 더한 새 목록의 합이 $45$ (Maddy). 각 수에 $3$ 을 곱한 새 목록의 합도 $45$ (Lara). $n$ 을 구하세요.

주어진 것: 원래 수들의 합을 $S$, 개수를 $n$ 이라 둠; Maddy 의 새 합: $S + 3n = 45$; Lara 의 새 합: $3S = 45$; 선택지: (A) $10$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $8$, (E) $9$

구하는 것: $n$ — 칠판에 적힌 수의 개수

이해

주어진 것: 원래 수들의 합을 $S$, 개수를 $n$ 이라 둠; Maddy 의 새 합: $S + 3n = 45$; Lara 의 새 합: $3S = 45$; 선택지: (A) $10$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $8$, (E) $9$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #11 거꾸로 풀기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

문제 한 문단에 두 정보가 묶여 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 분리: (가) Lara 정보만으로 원래 합 $S$ 를, (나) Maddy 정보로 "몇 개를 더해 그 차이가 났는지" $n$ 을 알아냅니다. (가)는 도구 #11(거꾸로 풀기) — Lara 의 합은 원래 합을 *세 배*한 것이므로 $3$ 으로 나누면 원래로 돌아갑니다. 도구 #9(더 쉬운 문제)로 "$\{5, 5, 5\}$ 라면?" 같은 작은 경우를 떠올려 구조를 확인합니다. 정통 대수(#13)도 되지만, 두 번의 한 단계 역연산이면 충분.

실행 — 정답: A

#11 거꾸로 풀기 3.OA.B.5 단계 1

Lara 정보만 사용.
각 수를 $3$ 배 하면 총합도 $3$ 배.
따라서 $3 \times (\text{원래 합}) = 45$.
거꾸로 풀어 $3$ 으로 나눕니다.

$$3S = 45 \;\Rightarrow\; S = \dfrac{45}{3} = 15$$

💡 Lara 의 $\times 3$ 은 한 번의 나눗셈으로 원래로 복원 — 3학년 곱셈·나눗셈 역연산.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.2 단계 2

이제 Maddy 정보.
$n$ 개의 수 각각에 $3$ 을 더하면 총합은 $3n$ 만큼 증가.
따라서 Maddy 의 새 합은 $S + 3n$, 그리고 그것이 $45$.

$$S + 3n = 45$$

💡 "$n$ 개에 각각 $+3$" $=$ 총 $3n$ 증가 — 6학년 식 표현.

#11 거꾸로 풀기 6.EE.B.7 단계 3

단계 1 에서 얻은 $S = 15$ 를 대입하고, 빼서 $3n$ 만 남깁니다.

$$15 + 3n = 45 \;\Rightarrow\; 3n = 30$$

💡 원래 합을 빼고 나면 Maddy 가 늘린 $30$ 은 순수히 "수당 $+3$" 의 누적.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.B.6 단계 4

$3$ 으로 나눠 $n$ 을 구합니다.
칠판에는 $10$ 개의 수가 적혀 있고, 답은 (A).

$$n = \dfrac{30}{3} = 10 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 수당 $+3$ 이 $30$ 이 되었다면 $30 \div 3 = 10$ 개 — 3학년 "미지의 곱하는 수 찾기".

[1] #11 3.OA.B.5 Lara 정보만 사용. 각 수를 $3$ 배 하면 총합도 $3$ 배. 따라서 $3 \times (\text{원래 합}) = 45$. 거꾸로 풀어

[2] #7 6.EE.A.2 이제 Maddy 정보. $n$ 개의 수 각각에 $3$ 을 더하면 총합은 $3n$ 만큼 증가. 따라서 Maddy 의 새 합은 $S + 3n$, 그

[3] #11 6.EE.B.7 단계 1 에서 얻은 $S = 15$ 를 대입하고, 빼서 $3n$ 만 남깁니다.

[4] #7 3.OA.B.6 $3$ 으로 나눠 $n$ 을 구합니다. 칠판에는 $10$ 개의 수가 적혀 있고, 답은 (A).

검토

합리성 확인: 역대입. 합 $15$ 인 $10$ 개 — 예를 들어 모두 $1.5$ — 를 떠올립니다. Lara 는 각각에 $3$ 을 곱해 $4.5$ 가 열 개, 합 $45$ ✓. Maddy 는 각각에 $3$ 을 더해 $4.5$ 가 열 개, 합 $45$ ✓. 두 정보 모두 일관 — (A) $n = 10$ 이 맞음.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기). Lara 식 $3S = 45$ 는 $n$ 과 무관하게 $S = 15$ 를 고정. 각 후보 $n \in \{5, 6, 8, 9, 10\}$ 에 대해 $S + 3n = 15 + 3n \stackrel{?}{=} 45$ 검사: $n=5 \to 30$, $n=6 \to 33$, $n=8 \to 39$, $n=9 \to 42$, $n=10 \to 45$ ✓ — 답 (A).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

3.OA.B.5 연산의 성질을 곱셈·나눗셈 전략으로 활용 (각 수를 $3$ 배 하면 합도 $3$ 배가 되는 성질을 이용해 원래 합을 한 번의 나눗셈으로 복원.)
3.OA.B.6 나눗셈을 미지의 인수 찾기로 이해 ($3n = 30$ 에서 $n = 30 \div 3 = 10$ 으로 인수를 복원.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식 쓰고 읽고 계산 (Maddy 의 새 합을 $S + 3n$ 이라는 하나의 식으로 표현.)
6.EE.B.7 $px = q$ 형태의 방정식을 세우고 풀어 실생활 문제 해결 ($15 + 3n = 45$ 을 풀어 $n = 10$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 식·방정식 사고만 알면 풀 수 있어요 — Lara 정보가 원래 합을 $15$ 로 못 박고, Maddy 의 늘어난 $30$ 은 "수당 $+3$" 이므로 수의 개수는 $10$ 개!