AMC 10 · 2023 · #7
학년 7 geometry-2d문제
Square ABCD is rotated 20∘ clockwise about its center to obtain square EFGH, as shown below. What is the degree measure of ∠EAB?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 두 합동인 정사각형 $ABCD$ 와 $EFGH$ 가 중심 $O$ 를 공유합니다. $EFGH$ 는 $ABCD$ 를 시계 방향으로 $20^\circ$ 회전한 결과입니다. $\angle EAB$ 의 크기를 구하세요.
주어진 것: 정사각형 $ABCD$ 와 그 회전 상 $EFGH$ 가 중심 $O$ 를 공유; 회전각은 시계 방향 $20^\circ$; 그림에 표시된 대응: $E$ 는 $A$ 의 회전 상, $F$ 는 $B$ 의 상, ...; 선택지: (A) $24^\circ$, (B) $35^\circ$, (C) $30^\circ$, (D) $32^\circ$, (E) $20^\circ$
구하는 것: 꼭짓점 $A$ 에서의 각 $\angle EAB$ 의 크기
이해
문제 재정리: 두 합동인 정사각형 $ABCD$ 와 $EFGH$ 가 중심 $O$ 를 공유합니다. $EFGH$ 는 $ABCD$ 를 시계 방향으로 $20^\circ$ 회전한 결과입니다. $\angle EAB$ 의 크기를 구하세요.
주어진 것: 정사각형 $ABCD$ 와 그 회전 상 $EFGH$ 가 중심 $O$ 를 공유; 회전각은 시계 방향 $20^\circ$; 그림에 표시된 대응: $E$ 는 $A$ 의 회전 상, $F$ 는 $B$ 의 상, ...; 선택지: (A) $24^\circ$, (B) $35^\circ$, (C) $30^\circ$, (D) $32^\circ$, (E) $20^\circ$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
이 문제는 그림이 전부입니다. 도구 #1(그림 그리기)이 알려주는 것 — 공통 중심 $O$ 를 찍고 선분 $OA$ (대각선 $AC$ 위), $OE$ 를 더 그립니다. 그 한 번의 추가로 정점각 $20^\circ$ 인 이등변삼각형 $\triangle OAE$ 가 모습을 드러냅니다 ($OA = OE$ 가 회전 덕분에 자동). 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 그 뒤를 받습니다 — 목표 $\angle EAB$ 를 $\angle OAE$ (이등변삼각형의 밑각) 에서 $\angle OAB$ (정사각형 꼭짓각의 반) 를 뺀 것으로 분해. 두 조각을 따로 구하고 빼면 끝. 대수는 필요 없고, 이등변삼각형 밑각, 삼각형 내각 합, 대각선의 꼭짓각 이등분 — 이 세 사실만 씁니다.
실행 — 정답: B
4.G.A.1 단계 1 - 공통 중심 $O$ 를 찍고 선분 $OA$, $OE$, $OB$ 를 그어 넣습니다.
- $A, O, C$ 는 한 직선 위 (원 정사각형의 대각선) 이고, $\angle AOE$ 는 회전각 그대로 $20^\circ$ 입니다.
- 이 그림은 $OA = OE$ 인 이등변삼각형 $\triangle OAE$ 와, 대각선 $AC$ 에 의해 반으로 갈리는 정사각형의 꼭짓각 $\angle DAB = 90^\circ$ 를 동시에 보여줍니다.
💡 회전 중심과 두 같은 반지름을 그어 숨어 있던 이등변삼각형을 드러냄 — 4학년 선분·각 그리기.
7.G.B.5 단계 2 - $\triangle OAE$ 에 삼각형 내각 합을 적용합니다.
- $OA = OE$ 이므로 두 밑각은 같습니다: $\angle OAE = \angle OEA$.
- 정점각 $\angle AOE = 20^\circ$ 와 함께 세 각의 합이 $180^\circ$.
💡 삼각형 각 합과 이등변삼각형의 밑각 성질 — 7학년 각도 추론.
4.G.A.2 단계 3 - 정사각형의 대각선은 각 $90^\circ$ 꼭짓각을 정확히 반으로 가릅니다.
- 그래서 $OA$ 는 $\angle DAB$ 를 이등분하고, $\angle OAB$ 는 $90^\circ$ 의 절반입니다.
💡 정사각형 대각선이 꼭짓각을 이등분한다는 사실 — 4학년 도형 성질.
4.MD.C.7 단계 4 - 그림에서 $A$ 의 시선으로 보면 $E$ 가 $O$ 와 $B$ 사이에 놓이므로, $\angle EAB = \angle OAE - \angle OAB$.
- 두 값을 빼서 답을 얻습니다.
💡 한 점에서 만나는 각의 덧셈·뺄셈 — 4학년 각의 가산성.
4.G.A.1 공통 중심 $O$ 를 찍고 선분 $OA$, $OE$, $OB$ 를 그어 넣습니다. $A, O, C$ 는 한 직선 위 (원 정사각형의 대각선) 이 7.G.B.5 $\triangle OAE$ 에 삼각형 내각 합을 적용합니다. $OA = OE$ 이므로 두 밑각은 같습니다: $\angle OAE = \angl 4.G.A.2 정사각형의 대각선은 각 $90^\circ$ 꼭짓각을 정확히 반으로 가릅니다. 그래서 $OA$ 는 $\angle DAB$ 를 이등분하고, $\an 4.MD.C.7 그림에서 $A$ 의 시선으로 보면 $E$ 가 $O$ 와 $B$ 사이에 놓이므로, $\angle EAB = \angle OAE - \angle O 검토
합리성 확인: 세 가지 점검. (1) 크기 어림: $20^\circ$ 회전이라면 $A$ 의 시선이 대각선 자리에서 살짝 비껴난 정도이므로 $\angle EAB$ 는 $45^\circ$ 보다 조금 작아야 — $35^\circ$ 가 들어맞습니다. (2) 양 끝 점검: 회전이 $0^\circ$ 면 공식이 $\angle OAE - \angle OAB = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$ — 정확히 $\angle CAB$, 자연스러움. 회전이 $90^\circ$ (정확히 1/4 회전) 면 $E = D$ 가 되어 $\angle EAB = 90^\circ$ — 역시 일치. (3) 오답 식별: (E) $20^\circ$ 는 회전각 그대로 두는 함정, (A) $24^\circ$, (C) $30^\circ$, (D) $32^\circ$ 는 대각선 이등분을 빠뜨리거나 $20^\circ$ 를 $2$ 로 나누는 등의 실수에서 나옵니다.
대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) — 좌표 사용: $O$ 를 원점에 두고 변의 길이를 $\sqrt{2}$ 로 잡아 $A = (-1, 1), B = (1, 1)$. $A$ 를 $-20^\circ$ 회전하면 $E = (-\cos 20^\circ - \sin 20^\circ, \cos 20^\circ - \sin 20^\circ)$. 벡터 $\vec{AE}$ 와 $\vec{AB}$ 의 내적으로 $\angle EAB$ 를 구하면 같은 $35^\circ$ 가 나오지만, 삼각함수 항등식이 줄줄이 따라옵니다 — 그림+뺄셈 경로가 훨씬 짧습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
4.G.A.1점, 직선, 선분, 반직선, 각 그리기와 도형 안에서 식별하기 (공통 중심 $O$ 에서 선분 $OA$, $OE$ 를 더 그어, 그림 속에 숨은 이등변삼각형을 드러내는 데 사용.)4.G.A.2평행·수직선 유무에 따라 2차원 도형 분류하기 (정사각형의 대각선이 $90^\circ$ 꼭짓각을 이등분한다는 성질로 $\angle OAB = 45^\circ$ 를 얻는 데 사용.)4.MD.C.7각의 크기가 가산임을 인식하고 덧셈·뺄셈 문제 해결 (꼭짓점 $A$ 에 모이는 각들을 더하고 빼서 $\angle EAB = \angle OAE - \angle OAB$ 로 계산.)7.G.B.5보각·여각·맞꼭지각·인접각에 관한 사실 사용하기 (이등변삼각형의 밑각이 같다는 사실과 삼각형 내각 합을 결합해 $\angle OAE = 80^\circ$ 를 도출.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 각도 사실만 알면 풀 수 있어요 — 중심을 찍고 회전이 만들어 준 이등변삼각형을 찾아 밑각 $80^\circ$ 를 구한 다음, 정사각형 대각선이 꼭짓각을 반으로 가르는 $45^\circ$ 를 빼면 $35^\circ$.
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 각도 사실만 알면 풀 수 있어요 — 중심을 찍고 회전이 만들어 준 이등변삼각형을 찾아 밑각 $80^\circ$ 를 구한 다음, 정사각형 대각선이 꼭짓각을 반으로 가르는 $45^\circ$ 를 빼면 $35^\circ$.