AMC 10 · 2024 · #15
학년 6 arithmetic문제
A list of 9 real numbers consists of 1, 2.2, 3.2, 5.2, 6.2, and 7, as well as x, y , and z with x ≤ y ≤ z. The range of the list is 7, and the mean and the median are both positive integers. How many ordered triples (x, y, z) are possible?
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AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $9$ 개의 실수로 된 리스트가 고정된 여섯 수 $1, 2.2, 3.2, 5.2, 6.2, 7$ 과 $x \leq y \leq z$ 인 세 실수로 이루어져 있습니다. 리스트의 범위(range)는 $7$ 이고, 평균과 중앙값이 모두 양의 정수입니다. 가능한 순서쌍 $(x, y, z)$ 의 개수를 구하세요.
주어진 것: 리스트 속 고정된 여섯 수: $1, 2.2, 3.2, 5.2, 6.2, 7$ (합 $24.8$); 나머지 세 실수 $x \leq y \leq z$; $9$ 개 수의 범위 $= 7$; 평균은 양의 정수, 중앙값(정렬했을 때 5번째 수)도 양의 정수; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) 무한히 많음
구하는 것: 네 조건을 모두 만족시키는 순서쌍 $(x, y, z)$ 의 개수
이해
문제 재정리: $9$ 개의 실수로 된 리스트가 고정된 여섯 수 $1, 2.2, 3.2, 5.2, 6.2, 7$ 과 $x \leq y \leq z$ 인 세 실수로 이루어져 있습니다. 리스트의 범위(range)는 $7$ 이고, 평균과 중앙값이 모두 양의 정수입니다. 가능한 순서쌍 $(x, y, z)$ 의 개수를 구하세요.
주어진 것: 리스트 속 고정된 여섯 수: $1, 2.2, 3.2, 5.2, 6.2, 7$ (합 $24.8$); 나머지 세 실수 $x \leq y \leq z$; $9$ 개 수의 범위 $= 7$; 평균은 양의 정수, 중앙값(정렬했을 때 5번째 수)도 양의 정수; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) 무한히 많음
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기
조건이 세 가지 (범위, 평균-정수, 중앙값-정수) 이고 리스트의 min·max 가 $\{1, 7\}$ 인지 $\{x, z\}$ 인지에 따라 경우가 네 가지로 갈립니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 "누가 min, 누가 max" 로 경우를 명시적으로 나눕니다. 그 다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 살아남는 세 경우(네 번째 경우 $\min = 1, \max = 7$ 은 범위 $6$ 이라 즉시 탈락)를 차례로 다룹니다. 각 경우 안에서 평균-정수 조건이 $x + y + z$ 의 소수 부분을 $.2$ 로 묶고, 범위 조건이 $x$ 또는 $z$ 중 하나를 결정하며, 중앙값-정수 조건이 마지막 자유 변수를 좁힙니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 마지막 필터링 — 후보가 나오면 원래 식에 다시 넣어 네 조건을 모두 확인하고 통과 못 한 것을 버립니다.
실행 — 정답: C
6.SP.B.5 단계 1 - 조건들을 대수로 옮깁니다.
- 고정된 여섯 수의 합: $1 + 2.2 + 3.2 + 5.2 + 6.2 + 7 = 24.8$.
- 평균이 양의 정수 $M$ 이 되려면 $24.8 + x + y + z = 9M$, 즉 $x + y + z \in \{2.2, 11.2, 20.2, 29.2, \dots\}$.
- 또한 위 범위 논증에서 $x \geq 0$.
💡 평균 조건이 $x + y + z$ 의 소수 부분을 $.2$ 로 고정 — 합 위에 한 줄짜리 필터.
6.EE.B.5 단계 2 - 전체 리스트의 $(\min, \max)$ 로 경우를 나눕니다.
- 네 경우 중 $\min = 1, \max = 7$ 은 범위 $6 \neq 7$ 이라 탈락; 살아남는 세 경우는 (I) $\min = 1, \max = z$ ($z > 7, x \geq 1$, 그래서 $z = 8$), (II) $\min = x, \max = 7$ ($x < 1, z \leq 7$, 그래서 $x = 0$), (III) $\min = x, \max = z$ ($0 \leq x < 1, z > 7, z = x + 7$).
💡 범위 $= 7$ 이 만들어지는 구조적 방법은 세 가지뿐 — 나열한 뒤 각각 깔끔히 처리.
6.SP.B.5 단계 3 - 경우 I: $z = 8$, $1 \leq x \leq y \leq 8$.
- 합 $x + y + z = x + y + 8 \geq 10$ 이라 $x + y + 8 \in \{11.2, 20.2\}$ (가능한 평균값.
- $29.2$ 는 $y \leq 8$ 이라 불가).
- 부분 경우 $x + y = 3.2$ 는 $1 \leq x \leq 1.6$ 인데 정렬한 리스트가 $1, x, y, 2.2, 3.2, \dots$ 로 시작해 중앙값 $3.2$ — 정수 아님, 탈락.
- 부분 경우 $x + y = 12.2$, $1 \leq x \leq y \leq 8$ 은 $4.2 \leq x \leq 6.1$.
💡 가능한 두 합을 모두 시험 — 하나는 중앙값에서 탈락, 다른 하나는 $x$ 를 짧은 구간으로 좁힘.
6.SP.B.5 단계 4 - 경우 I 계속.
- 정렬된 리스트는 $1, 2.2, 3.2, \dots$ 로 시작.
- 4번째 항은 $\min(x, 5.2)$, 5번째 (중앙값) 가 따라옵니다.
- $4.2 \leq x \leq 5.2$ 이면 중앙값 $5.2$ — 정수 아님.
- $5.2 < x \leq 6.1$ 이면 5번째 항이 $x$ 자신이라 $x$ 가 $(5.2, 6.1]$ 의 양의 정수여야 함: $x = 6$ 뿐.
- 그러면 $y = 12.2 - 6 = 6.2$.
- 순서쌍: $(6, 6.2, 8)$.
- 검증: 정렬 $\{1, 2.2, 3.2, 5.2, 6, 6.2, 6.2, 7, 8\}$, 중앙값 $6$, 평균 $45/9 = 5$, 범위 $7$.
- 네 조건 모두 만족.
💡 정렬된 리스트에 중앙값 조건을 끼워 넣으면 이 부분 경우에서는 $x = 6$ 만 살아남습니다.
6.SP.B.5 단계 5 - 경우 II: $x = 0$, $0 \leq y \leq z \leq 7$.
- 합 $y + z \in \{2.2, 11.2\}$ ($y, z \leq 7$ 이라 더 큰 값은 불가).
- 부분 경우 $y + z = 2.2$ 는 정렬 리스트가 $0, y, 1, \dots$ 로 시작해 중앙값 $2.2$ — 탈락.
- 부분 경우 $y + z = 11.2$ 는 $4.2 \leq y \leq 5.6$.
- 정렬은 $0, 1, 2.2, 3.2, \dots$ 로 시작, 5번째 항 $\min(y, 5.2)$ 가 정수여야 하므로 $y \geq 4.2$ 에서 $y = 5$ 뿐.
- 그러면 $z = 6.2$.
- 순서쌍: $(0, 5, 6.2)$.
- 검증: 정렬 $\{0, 1, 2.2, 3.2, 5, 5.2, 6.2, 6.2, 7\}$, 중앙값 $5$, 평균 $36/9 = 4$, 범위 $7$.
- 유효.
💡 경우 I 과 같은 구조 — 중앙값 식이 $y$ 를 좁은 구간 안의 정수로 강제.
6.SP.B.5 단계 6 - 경우 III: $z = x + 7$, $0 \leq x < 1$.
- 정렬 리스트는 $x, 1, 2.2, 3.2, \dots$ 로 시작, 5번째 항(중앙값) 은 $y > 3.2$ 이면 $\min(y, 5.2)$ (아니면 중앙값 $3.2$, 정수 아님).
- 즉 $y$ 는 $(3.2, 5.2]$ 의 정수, $y \in \{4, 5\}$.
- 평균 조건: $24.8 + 2x + y + 7 = 9M$, 즉 $31.8 + 2x + y = 9M$.
- $y = 4$ 면 $35.8 + 2x = 9M$, $M = 4$ 일 때 $x = 0.1$.
- $y = 5$ 면 $36.8 + 2x = 9M$, $M = 4$ 일 때 $x = -0.4 < 0$, $M = 5$ 일 때 $x = 4.1 \not< 1$ — 둘 다 실패.
💡 $y$ 의 정수 후보 둘을 평균 식에 각각 대입 — 한쪽은 정상적인 $x$ 를 주고 다른쪽은 안 됨.
6.SP.B.5 단계 7 - 경우 III 후보 검증.
- 순서쌍: $(0.1, 4, 7.1)$.
- 정렬: $\{0.1, 1, 2.2, 3.2, 4, 5.2, 6.2, 7, 7.1\}$, 중앙값 $4$, 평균 $(24.8 + 11.2)/9 = 36/9 = 4$, 범위 $7.1 - 0.1 = 7$.
- 네 조건 모두 만족.
- 모든 경우 합산: 유효 순서쌍 $3$ 개.
💡 세 경우, 세 생존자 — 답이 경우 분석에서 그대로 떨어집니다.
6.SP.B.5 조건들을 대수로 옮깁니다. 고정된 여섯 수의 합: $1 + 2.2 + 3.2 + 5.2 + 6.2 + 7 = 24.8$. 평균이 양의 정수 $M 6.EE.B.5 전체 리스트의 $(\min, \max)$ 로 경우를 나눕니다. 네 경우 중 $\min = 1, \max = 7$ 은 범위 $6 \neq 7$ 이 6.SP.B.5 경우 I: $z = 8$, $1 \leq x \leq y \leq 8$. 합 $x + y + z = x + y + 8 \geq 10$ 이라 $x 6.SP.B.5 경우 I 계속. 정렬된 리스트는 $1, 2.2, 3.2, \dots$ 로 시작. 4번째 항은 $\min(x, 5.2)$, 5번째 (중앙값) 가 6.SP.B.5 경우 II: $x = 0$, $0 \leq y \leq z \leq 7$. 합 $y + z \in \{2.2, 11.2\}$ ($y, z \le 6.SP.B.5 경우 III: $z = x + 7$, $0 \leq x < 1$. 정렬 리스트는 $x, 1, 2.2, 3.2, \dots$ 로 시작, 5번째 항 6.SP.B.5 경우 III 후보 검증. 순서쌍: $(0.1, 4, 7.1)$. 정렬: ${0.1, 1, 2.2, 3.2, 4, 5.2, 6.2, 7, 7.1 검토
합리성 확인: 세 순서쌍이 각각 범위 $7$ 이 실현되는 서로 다른 구조에 대응합니다 — 새 max 가 $z = 8$ 인 경우, 새 min 이 $x = 0$ 인 경우, 양쪽이 모두 새 값 ($x = 0.1$, $z = 7.1$) 인 경우. 이 대칭성이 경우 분석이 빠짐없음을 뒷받침합니다. 또한 검증된 세 순서쌍 각각의 평균($5, 4, 4$) 과 중앙값($6, 5, 4$) 이 모두 달라 진짜로 별개의 해임을 확인. 답 (C) $= 3$ 이 맞습니다.
대안 접근: 도구 #1(그림 그리기)을 수직선에 적용: 고정된 여섯 수를 수직선 위에 찍고 $x \leq y \leq z$ 를 세 슬라이더로 봅니다. 범위 조건은 슬라이더 하나만 $7$ 보다 오른쪽, 하나만 $1$ 보다 왼쪽으로 빠질 수 있게 하고, 중앙값(5번째 자리) 은 몇 개의 정수 위치 중 하나여야 합니다. $y$ 가 차지하는 정렬 자리를 $\min(y, 5.2)$ 또는 홀로 있는 정수로 시각화하면 $y \in \{4, 5, 6\}$ 만이 정수 중앙값을 만들 수 있다는 사실이 바로 보입니다 — 우리가 대수로 걸어간 경로와 정확히 일치. 같은 세 순서쌍이 나옵니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.SP.B.5관측 개수와 중심·산포 측정값으로 수치 자료를 요약하기 (평균·중앙값·범위를 $x + y + z$, 정렬된 5번째 항, $\max - \min$ 에 대한 대수 조건으로 옮기는 데 사용 — 6학년 통계 요약.)6.EE.B.5방정식·부등식을 푼다는 것은 값을 찾는 과정임을 이해 ($\{x, 1\}$ 중 누가 min, $\{z, 7\}$ 중 누가 max 인지로 경우를 나눈 뒤 각 일차 범위 식을 푸는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "평균·중앙값·범위" 정의와 꼼꼼한 경우 나누기만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "평균·중앙값·범위" 정의와 꼼꼼한 경우 나누기만 알면 풀 수 있어요!
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