AMC 10 · 2024 · #17

학년 7 arithmetic

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type

combinations-basicpermutations-basicset-partitionsystematic-enumeration caseworkidentify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: combinations-basicpermutations-basicfactorial

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

In a race among $5$ snails, there is at most one tie, but that tie can involve any number of snails. For example, the result might be that Dazzler is first; Abby, Cyrus, and Elroy are tied for second; and Bruna is fifth. How many different results of the race are possible?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

180

(B)

361

(C)

420

(D)

431

(E)

720

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 이름이 서로 다른 다섯 마리 달팽이가 한 번의 경주를 마칩니다. 동점은 최대 한 번만 허용되며, 그 한 번의 동점에는 $2, 3, 4, 5$ 마리 중 몇 마리든 한 자리에 묶일 수 있습니다. 가능한 모든 서로 다른 결과의 수를 구하시오.

주어진 것: 구별되는 다섯 마리 달팽이; 동점이 전혀 없거나, 또는 정확히 한 번의 동점이 있고 그 동점에는 $k \in \{2, 3, 4, 5\}$ 마리가 포함됨; 동점에 포함되지 않은 나머지 달팽이는 모두 서로 다른 등수로 들어옴; 달팽이가 자리에 배정되는 방식 또는 자리의 등수가 다르면 다른 결과로 셈; 선택지: (A) $180$, (B) $361$, (C) $420$, (D) $431$, (E) $720$

구하는 것: 서로 다른 경주 결과의 총 수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

"동점은 최대 한 번" 이라는 조건이 큰 분기 — 동점의 크기 $k \in \{0, 2, 3, 4, 5\}$ ($k = 1$은 사실상 "동점 없음")에 따라 다섯 개의 깔끔한 경우로 나뉩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)에 정확히 맞아 떨어지고, 각 경우를 따로 세어 더하면 끝. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 경우의 순서를 정해 중복·누락을 막아 줍니다. 각 경우 안에서는 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)를 씁니다 — 동점인 $k$마리를 하나의 블록으로 묶으면 남는 일은 "$6 - k$개의 블록을 동점 없이 줄 세우기"뿐, 작은 계승 문제로 줄어듭니다. 어떤 $k$마리가 동점인지는 $\binom{5}{k}$ 가 결정해 줍니다.

실행 — 정답: D

#2 빠짐없이 나열하기 5.OA.A.2 단계 1

경우 분리.
동점 크기를 $k$라 하면 다섯 경우는 $k = 0$ (동점 없음)과 $k \in \{2, 3, 4, 5\}$ (크기 $k$의 동점 하나).
각 경우의 결과 수는 (동점인 달팽이를 고르는 가짓수) $\times$ (남는 블록들을 줄 세우는 가짓수).

$$\text{전체} = \underbrace{N_0}_{k=0} + N_2 + N_3 + N_4 + N_5$$

💡 작고 유한한 꼬리표($k$)로 경우를 나누는 것은 5학년 "식으로 쓰기" 단계의 가장 깔끔한 패턴입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.A.3 단계 2

경우 $k = 0$: 동점 없음.
다섯 마리가 모두 다른 등수로 들어오므로 다섯 개의 서로 다른 항목을 줄 세우는 경우의 수.

$$N_0 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$

💡 4학년 여러 단계 계산: $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$, 서로 다른 다섯 개를 한 줄로 세우는 가짓수.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.8 단계 3

경우 $k = 2$: 두 마리 동점.
먼저 동점이 될 $2$마리 선택: $\binom{5}{2} = 10$.
동점인 두 마리를 한 블록으로 묶으면 블록은 총 $4$개(쌍 + 나머지 $3$마리)이고, 동점 없이 줄 세우는 방법은 $4! = 24$.

$$N_2 = \binom{5}{2} \cdot 4! = 10 \cdot 24 = 240$$

💡 동점인 달팽이들을 한 묶음으로 만들고 남은 줄 세우기는 더 작은 문제 — 도구 #9의 "쉬운 부분 문제" 무브.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.8 단계 4

경우 $k = 3$: 세 마리 동점.
$\binom{5}{3} = 10$ 가지로 $3$마리 선택, 그 후 블록 $3$개(삼인조 + 나머지 $2$마리)를 줄 세우는 방법 $3! = 6$.

$$N_3 = \binom{5}{3} \cdot 3! = 10 \cdot 6 = 60$$

💡 같은 레시피를 더 작게: $3$마리를 고르고, 블록 $3$개를 줄 세우면 끝.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.8 단계 5

경우 $k = 4$: 네 마리 동점.
$\binom{5}{4} = 5$ 가지로 $4$마리 선택, 그 후 블록 $2$개(사인조 + 혼자 남은 $1$마리)를 줄 세우는 방법 $2! = 2$.

$$N_4 = \binom{5}{4} \cdot 2! = 5 \cdot 2 = 10$$

💡 블록 두 개만 남으니 "어느 블록이 먼저" 한 가지 선택만 남습니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.8 단계 6

경우 $k = 5$: 다섯 마리 전원 동점.
$\binom{5}{5} = 1$, 블록 $1$개를 줄 세우는 방법 $1! = 1$.

$$N_5 = \binom{5}{5} \cdot 1! = 1 \cdot 1 = 1$$

💡 전원 동점: 거대한 한 블록, 가능한 결과는 단 하나.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 7

다섯 경우의 결과를 모두 더합니다.

$$\text{전체} = 120 + 240 + 60 + 10 + 1 = 431 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 서로 배반인 다섯 경우를 더하는 4학년 여러 자리 덧셈 — 중복을 신경 쓸 필요가 없습니다.

[1] #2 5.OA.A.2 경우 분리. 동점 크기를 $k$라 하면 다섯 경우는 $k = 0$ (동점 없음)과 $k \in \{2, 3, 4, 5\}$ (크기 $k$의 동점

[2] #9 4.OA.A.3 경우 $k = 0$: 동점 없음. 다섯 마리가 모두 다른 등수로 들어오므로 다섯 개의 서로 다른 항목을 줄 세우는 경우의 수.

[3] #9 7.SP.C.8 경우 $k = 2$: 두 마리 동점. 먼저 동점이 될 $2$마리 선택: $\binom{5}{2} = 10$. 동점인 두 마리를 한 블록으로 묶으

[4] #9 7.SP.C.8 경우 $k = 3$: 세 마리 동점. $\binom{5}{3} = 10$ 가지로 $3$마리 선택, 그 후 블록 $3$개(삼인조 + 나머지 $2$

[5] #9 7.SP.C.8 경우 $k = 4$: 네 마리 동점. $\binom{5}{4} = 5$ 가지로 $4$마리 선택, 그 후 블록 $2$개(사인조 + 혼자 남은 $1

[6] #9 7.SP.C.8 경우 $k = 5$: 다섯 마리 전원 동점. $\binom{5}{5} = 1$, 블록 $1$개를 줄 세우는 방법 $1! = 1$.

[7] #7 4.NBT.B.4 다섯 경우의 결과를 모두 더합니다.

검토

합리성 확인: 동점 크기에 따른 경우들은 정의상 서로 배반(한 번의 경주에 동점 크기는 하나)이므로 합의 법칙이 그대로 적용됩니다. 작은 경우로 점검: $k = 5$ 는 명백히 $1$가지. $k = 4$ 는 동점이 아닌 한 마리를 $5$가지로 고른 뒤, 그 한 마리가 사인조보다 앞이거나 뒤이거나 $2$가지 → $5 \cdot 2 = 10$ 일치. 총 $431$ 은 (D). 상한 점검: 동점 제한이 전혀 없는 "순서있는 분할"의 수는 더 크지만(소위 ordered Bell number), 단지 "동점 없음"만이라면 $5! = 120$. $431$ 은 $720$ 인 (E)보다 충분히 아래라 직관과 부합합니다.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) 시각: "$n$마리 달팽이를 동점 없음 또는 한 번의 동점으로 줄 세우는 가짓수"는 $a(n) = n! + \sum_{k=2}^{n} \binom{n}{k}(n-k+1)!$ 입니다. $n = 5$ 를 대입하면 $120 + 240 + 60 + 10 + 1 = 431$ 로 같은 답. 패턴 시각은 든든하지만 위의 경우 나눔이 더 빠릅니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

5.OA.A.2 수의 계산을 기록하는 식 쓰기 (총수를 동점 크기에 따른 다섯 배반 경우의 합 $N_0 + N_2 + N_3 + N_4 + N_5$ 로 식화.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 자연수 다단계 문장제 풀기 (동점이 없는 경우 $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 을 계산.)
7.SP.C.8 정리된 목록·표·시뮬레이션을 이용한 복합 사건의 경우의 수 (각 동점 크기 $k$에 대해 $\binom{5}{k}$ (동점인 달팽이 선택) 곱하기 $(6-k)!$ (블록 줄 세우기) 로 경우의 수를 세는 데 사용.)
4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈 (다섯 경우의 결과 $120 + 240 + 60 + 10 + 1 = 431$ 을 더하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년의 "경우 나눠 세기" — 동점 크기별로 나눈 뒤 (누가 동점인지) $\times$ (블록을 어떻게 세우는지) 를 곱해 더하기 — 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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