AMC 10 · 2024 · #4

학년 6 arithmetic

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Position-in-Cycle Lookup

sequences-arithmeticmodular-arithmeticpattern-recognition pattern-recognitionidentify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticmodular-arithmeticmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Balls numbered 1, 2, 3, ... are deposited in 5 bins, labeled A, B, C, D, and E, using the following procedure. Ball 1 is deposited in bin A, and balls 2 and 3 are deposited in bin B. The next 3 balls are deposited in bin C, the next 4 in bin D, and so on, cycling back to bin A after balls are deposited in bin E. (For example, balls numbered 22, 23, ..., 28 are deposited in bin B at step 7 of this process.) In which bin is ball 2024 deposited?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1, 2, 3, \ldots$ 번 공을 통 $A, B, C, D, E$ 에 순환적으로 넣습니다. $k$ 단계에서는 공 $k$ 개를 한 통에 넣고, 통은 $1$ 단계 $A$, $2$ 단계 $B$, $\ldots$, $5$ 단계 $E$, $6$ 단계 다시 $A$ 순으로 사용합니다. $2024$ 번 공은 어느 통에 들어갈까요?

주어진 것: $k$ 단계에서는 정확히 공 $k$ 개를 넣음; 통 순서는 $A, B, C, D, E$ 의 반복 — $k$ 단계는 $((k-1) \bmod 5) + 1$ 번째 통; $k$ 단계까지 누적 공 개수는 $T_k = 1 + 2 + \cdots + k = \tfrac{k(k+1)}{2}$ (삼각수); 선택지: (A) $A$, (B) $B$, (C) $C$, (D) $D$, (E) $E$

구하는 것: $2024$ 번 공이 들어가는 통 ($A$ ~ $E$)

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

두 가지 패턴이 겹쳐 있는 문제입니다. 패턴 1: $k$ 단계까지 누적 공 개수는 삼각수 $T_k = \tfrac{k(k+1)}{2}$ — 도구 #5(패턴 찾기) 로 $k = 1, 2, 3$ 의 누적 $1, 3, 6, 10, \ldots$ 에서 곧장 보입니다. 패턴 2: $k$ 단계의 통은 $k \bmod 5$ 에만 달려 있습니다. 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 $\sqrt{2 \cdot 2024} \approx 64$ 부근의 $k$ 를 시험해 빠르게 좁힙니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 는 작은 $k$ 부터 손으로 더해 삼각수 공식을 얻는 데 씁니다.

실행 — 정답: D

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.EE.A.2 단계 1

누적 공 개수의 규칙을 찾습니다.
$1$ 단계 후 $1$ 개, $2$ 단계 후 $1+2 = 3$ 개, $3$ 단계 후 $1+2+3 = 6$ 개, $4$ 단계 후 $10$ 개 — 삼각수 $T_k = \tfrac{k(k+1)}{2}$ 입니다.

$$T_k = 1 + 2 + \cdots + k = \tfrac{k(k+1)}{2}$$

💡 $k = 1, 2, 3, 4$ 를 손으로 더해 보면 닫힌 식이 곧 보입니다 — 6학년 "문자가 수를 대신하는 식" 그대로.

#6 추측하고 확인하기 5.NBT.B.5 단계 2

$2024$ 번 공이 들어가는 단계를 어림합니다.
$\tfrac{k(k+1)}{2} \approx 2024$ 에서 $k(k+1) \approx 4048$, 그래서 $k \approx \sqrt{4048} \approx 63.6$.
그 양쪽 정수를 시험합니다.

$$k(k+1) \approx 4048 \;\Rightarrow\; k \approx 63 \text{ 또는 } 64$$

💡 $63^2 = 3969$, $64^2 = 4096$ 으로 양옆을 묶으면 $k$ 가 $63$ 과 $64$ 사이임이 보입니다 — 5학년 다자릿수 곱셈으로 어림이 가능.

#6 추측하고 확인하기 5.NBT.B.5 단계 3

$k = 63$ 과 $k = 64$ 를 직접 확인합니다.
$T_{63} = \tfrac{63 \cdot 64}{2} = 63 \cdot 32 = 2016$, 그래서 $63$ 단계까지 공 $1$ $\sim$ $2016$ 번이 들어갑니다.
그다음 $64$ 단계에서는 $2017$ $\sim$ $T_{64} = \tfrac{64 \cdot 65}{2} = 2080$ 번 공이 한 통에 들어갑니다.

$$T_{63} = 2016, \quad T_{64} = 2080, \quad 2017 \leq 2024 \leq 2080$$

💡 다자릿수 곱셈 두 번이면 $2024$ 번 공이 들어갈 단계를 정확히 짚을 수 있습니다 — 5학년 곱셈 능숙도면 충분.

#5 패턴 찾기 4.OA.B.4 단계 4

$5$ 개 통의 순환에서 $64$ 단계가 쓰는 통을 찾기 위해 $64 \bmod 5$ 를 계산합니다.
$64 = 12 \cdot 5 + 4$ 이므로 나머지는 $4$.

$$64 = 12 \cdot 5 + 4 \;\Rightarrow\; 64 \equiv 4 \pmod{5}$$

💡 통이 $5$ 개씩 반복되므로 어느 통인지는 단계 수를 $5$ 로 나눈 나머지에만 달려 있습니다 — 4학년 "인수와 배수" 단계의 계산.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 5

나머지를 통 이름으로 옮깁니다.
나머지 $1$ = $A$, $2$ = $B$, $3$ = $C$, $4$ = $D$, $0$ (또는 $5$) = $E$.
따라서 $64$ 단계의 통은 $D$ 이고 $2024$ 번 공도 그 통에 들어갑니다.

$$64 \equiv 4 \pmod{5} \;\Longrightarrow\; \text{통 } D \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 $A, B, C, D, E$ 가 반복되는 패턴에서 통을 골라내는 것은 4학년 "규칙을 따라 패턴 만들기" 그대로.

[1] #9 6.EE.A.2 누적 공 개수의 규칙을 찾습니다. $1$ 단계 후 $1$ 개, $2$ 단계 후 $1+2 = 3$ 개, $3$ 단계 후 $1+2+3 = 6$ 개,

[2] #6 5.NBT.B.5 $2024$ 번 공이 들어가는 단계를 어림합니다. $\tfrac{k(k+1)}{2} \approx 2024$ 에서 $k(k+1) \approx

[3] #6 5.NBT.B.5 $k = 63$ 과 $k = 64$ 를 직접 확인합니다. $T_{63} = \tfrac{63 \cdot 64}{2} = 63 \cdot 32 =

[4] #5 4.OA.B.4 $5$ 개 통의 순환에서 $64$ 단계가 쓰는 통을 찾기 위해 $64 \bmod 5$ 를 계산합니다. $64 = 12 \cdot 5 + 4$ 이

[5] #5 4.OA.C.5 나머지를 통 이름으로 옮깁니다. 나머지 $1$ = $A$, $2$ = $B$, $3$ = $C$, $4$ = $D$, $0$ (또는 $5$) =

검토

합리성 확인: 주어진 예로 교차 확인. 문제 본문에 $22, 23, \ldots, 28$ 번 공이 $7$ 단계에서 통 $B$ 에 들어간다고 했습니다. $7 \equiv 2 \pmod 5$ 라 통은 $B$ — 일치. 그리고 $T_6 = 21, T_7 = 28$ 이라 $7$ 단계는 $22$ $\sim$ $28$ 번 공을 담당 — 이것도 일치. 같은 논리로 $T_{64} = 2080$ 과 $64 \bmod 5 = 4$ 가 $2024$ 번 공의 통을 $D$ 로 확정해 (D) 와 맞습니다.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기): $2024$ 부근의 삼각수 체크포인트를 적어 둡니다. $T_{60} = 1830, T_{61} = 1891, T_{62} = 1953, T_{63} = 2016, T_{64} = 2080$. $2024$ 는 $T_{63}$ 을 넘어 $64$ 단계에 들어가고, $64 \bmod 5 = 4$ 라 통은 $D$ — 같은 답 (D).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.B.4 1-100 범위 자연수의 모든 인수쌍 구하기; 주어진 한 자리 수의 배수인지 판단하기 ($64 = 12 \cdot 5 + 4$ 임을 알아내 $64 \bmod 5 = 4$ 를 계산하고, $5$ 개 통 순환의 어디에 도달했는지 확인하는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙에 따라 수나 도형의 패턴 만들기 ($A, B, C, D, E$ 가 반복되는 통 순환에서 나머지에 해당하는 통을 읽어내는 데 사용.)
5.NBT.B.5 다자릿수 자연수의 곱셈을 능숙하게 수행하기 ($T_{63} = 63 \cdot 32 = 2016$, $T_{64} = 32 \cdot 65 = 2080$ 을 계산해 $2024$ 번 공의 단계를 $64$ 로 좁히는 데 사용.)
6.EE.A.2 문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (삼각수 공식 $T_k = \tfrac{k(k+1)}{2}$ 을 문자식으로 쓰고 $k = 63, 64$ 에 대입해 계산하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "문자식"($T_k = \tfrac{k(k+1)}{2}$)과 4학년 "나머지"만 알면, $64$ 단계가 통 $D$ 임을 짚어낼 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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