AMC 10 · 2024 · #5

학년 6 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

sequences-arithmeticperfect-squaressystematic-enumeration convert-to-algebrabound-inequality-then-enumeratesystematic-enumeration ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticlinear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

In the following expression, Melanie changed some of the plus signs to minus signs:
$1+3+5+7+...+97+99$
When the new expression was evaluated, it was negative. What is the least number of plus signs that Melanie could have changed to minus signs?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1 + 3 + 5 + \cdots + 97 + 99$ (처음 $50$ 개 양의 홀수의 합) 에서 멜라니가 몇 개의 $+$ 부호를 $-$ 로 바꾸어 새 식의 값이 음수가 되게 했습니다. 부호를 바꾼 최소 개수는 몇 개일까요?

주어진 것: 원래 식: $1 + 3 + 5 + \cdots + 97 + 99$, 항은 $50$ 개; 원래 합 $S = 1 + 3 + \cdots + 99 = 50^2 = 2500$; 숫자 $x$ 의 부호를 한 번 뒤집으면 전체 합은 $-2x$ 만큼 변함 ($+x \to -x$); 선택지: (A) $14$, (B) $15$, (C) $16$, (D) $17$, (E) $18$

구하는 것: 새 합이 음수가 되기 위해 멜라니가 바꿔야 하는 부호의 최소 개수

이해

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #16 관점 바꾸기

도구 #13(대수로 바꾸기) 으로 "$+$ 를 $-$ 로 바꾼다" 라는 말을 깔끔한 식으로 옮깁니다 — 숫자 $x$ 의 부호 한 번을 뒤집으면 원래 합 $S = 2500$ 에서 $2x$ 가 깎이므로, 새 합 $= 2500 - 2 \cdot (\text{뒤집힌 수들의 합})$ 이고 이게 $< 0$ 이려면 뒤집은 수들의 합이 $1250$ 보다 커야 합니다. 도구 #16(관점 바꾸기) 은 전략적 통찰 — "몇 번 뒤집지?" 대신 "한 번에 얼마나 줄일 수 있지?" 로 시선을 옮기면 답은 "큰 수부터 뒤집기". 도구 #6(추측하고 확인하기) 은 마지막 마무리 — $k = 14, 15$ 두 후보를 닫힌 식에 직접 넣어 확인합니다.

실행 — 정답: B

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.3 단계 1

원래 합을 계산합니다.
처음 $50$ 개 양의 홀수의 합은 $50^2 = 2500$ 으로 잘 알려진 항등식 ($1 + 3 + \cdots + (2n-1) = n^2$).
앞뒤 짝짓기로도 확인: $1 + 99 = 100$, $3 + 97 = 100$, $\ldots$, $25$ 쌍 $\times 100 = 2500$.

$$S = 1 + 3 + 5 + \cdots + 99 = 50^2 = 2500$$

💡 첫째와 마지막을 짝지어 ($1 + 99 = 100$) 안쪽으로 들어가는 것은 등차수열 합을 동치 식으로 바꾸는 6학년 "동치 식 만들기" 기법 그대로입니다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.2 단계 2

부호 한 번 뒤집기의 효과를 식으로 정리합니다.
$+x$ 를 $-x$ 로 바꾸면 합은 $(-x) - (+x) = -2x$ 만큼 줄어듭니다.
멜라니가 뒤집은 수들의 합을 $F$ 라 하면 새 합은 $2500 - 2F$.

$$S_{\text{new}} = 2500 - 2F, \quad F = \sum_{\text{뒤집힌}} x$$

💡 "뒤집힌 수들의 합" 을 문자 $F$ 로 두는 순간 말이 식으로 정리됩니다 — 6학년 "문자가 수를 대신한다" 그대로.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.8 단계 3

"새 합이 음수" 조건을 $F$ 에 대한 부등식으로 옮깁니다.

$$2500 - 2F < 0 \;\Longleftrightarrow\; F > 1250$$

💡 "엄격히 $0$ 미만" 을 뒤집힌 수들의 합에 대한 "$F > 1250$" 부등식으로 바꾸는 것은 6학년 "$x > c$ 형태의 부등식" 단계입니다.

#16 관점 바꾸기 6.EE.A.3 단계 4

관점 바꾸기: 부호 뒤집기 횟수를 최소화하려면 각 뒤집기가 합을 가장 많이 깎아야 합니다.
즉 가장 큰 홀수 $99, 97, 95, \ldots$ 부터 욕심껏 뒤집습니다.
$k$ 개의 최대 홀수는 $101 - 2k$ 부터 $99$ 까지의 등차수열이고, 합은 $\tfrac{k}{2}(99 + (101 - 2k)) = k(100 - k)$.

$$k \text{ 번 뒤집기의 최대 합} = 99 + 97 + \cdots + (101 - 2k) = k(100 - k)$$

💡 "가장 적은 횟수로 가장 큰 효과를" 라는 극단 원리 — 등차수열 합 공식은 6학년 동치식 정리에 해당합니다.

#6 추측하고 확인하기 5.NBT.B.5 단계 5

$k(100 - k) > 1250$ 을 만족하는 가장 작은 $k$ 를 경계 부근 두 값으로 확인합니다.

$k = 14: \; 14 \cdot 86 = 1204 \not> 1250 \quad\text{(실패)}$ $\qquad$ $k = 15: \; 15 \cdot 85 = 1275 > 1250 \quad\text{(성공)} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$

💡 두 자리 수 곱셈 두 번이면 임계값을 깔끔히 가릅니다 — 5학년 다자릿수 곱셈으로 충분합니다.

[1] #13 6.EE.A.3 원래 합을 계산합니다. 처음 $50$ 개 양의 홀수의 합은 $50^2 = 2500$ 으로 잘 알려진 항등식 ($1 + 3 + \cdots + (

[2] #13 6.EE.A.2 부호 한 번 뒤집기의 효과를 식으로 정리합니다. $+x$ 를 $-x$ 로 바꾸면 합은 $(-x) - (+x) = -2x$ 만큼 줄어듭니다. 멜라

[3] #13 6.EE.B.8 "새 합이 음수" 조건을 $F$ 에 대한 부등식으로 옮깁니다.

[4] #16 6.EE.A.3 관점 바꾸기: 부호 뒤집기 횟수를 최소화하려면 각 뒤집기가 합을 가장 많이 깎아야 합니다. 즉 가장 큰 홀수 $99, 97, 95, \ldots

[5] #6 5.NBT.B.5 $k(100 - k) > 1250$ 을 만족하는 가장 작은 $k$ 를 경계 부근 두 값으로 확인합니다.

검토

합리성 확인: $k = 15$ 의 뒤집기를 직접 검증합니다. 가장 큰 홀수 $71, 73, \ldots, 99$ 의 $15$ 개를 뒤집으면 그들의 합 $1275$ 만큼이 양에서 음으로 옮겨가 새 합은 $2500 - 2 \cdot 1275 = -50 < 0$. 정말로 음수가 됩니다. $k = 14$ 의 가장 효율적인 뒤집기 ($73, 75, \ldots, 99$) 의 합은 $1204$ 라 새 합은 $2500 - 2 \cdot 1204 = 92 > 0$ — 불가능. 그래서 최소값은 정확히 $15$, (B) 와 일치.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 을 닫힌 식 없이 그대로 사용: 가장 큰 홀수부터 $99 + 97 + 95 + \cdots$ 를 누적해 $1250$ 을 처음 넘는 순간을 찾습니다. $14$ 개 ($73$ 까지) 의 누적 합은 $1204 < 1250$, $71$ 을 더하면 $1275 > 1250$. 그래서 $15$ 번째 뒤집기에서 임계점을 넘어 답은 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.NBT.B.5 다자릿수 자연수의 곱셈을 능숙하게 수행하기 ($14 \cdot 86 = 1204$, $15 \cdot 85 = 1275$ 를 계산해 $k(100 - k) > 1250$ 을 만족하는 최소 $k$ 를 찾는 데 사용.)
6.EE.A.2 문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (뒤집힌 수들의 합을 문자 $F$ 로 두고 새 합을 $2500 - 2F$ 로 표현하는 데 사용.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 적용해 동치인 식 만들기 ($S = 50^2 = 2500$ 을 $1 + 99, 3 + 97, \ldots$ 짝짓기로 유도하고, $99 + 97 + \cdots + (101 - 2k) = k(100 - k)$ 의 등차수열 합 식을 만드는 데 사용.)
6.EE.B.8 $x > c$ 또는 $x < c$ 형태의 부등식을 쓰고 수직선에 나타내기 ("새 합이 음수" 라는 조건을 뒤집힌 수들의 합에 대한 부등식 $F > 1250$ 으로 옮기는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 부등식("새 합이 음수" 를 $F > 1250$ 으로 옮기기)과 5학년 다자릿수 곱셈만 알면, 큰 홀수부터 뒤집어서 $15$ 번에서 경계를 넘긴다는 게 보여요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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