AMC 10 · 2024 · #7
학년 6 number-theory문제
What is the remainder when 72024+72025+72026 is divided by 19?
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AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $7^{2024} + 7^{2025} + 7^{2026}$ 을 $19$ 로 나눈 나머지를 구하세요.
주어진 것: 지수가 연속한 세 거듭제곱: $2024$, $2025$, $2026$; 세 거듭제곱의 합을 $19$ 로 나눔; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $7$, (D) $11$, (E) $18$
구하는 것: $0 \le r < 19$ 인 나머지 $r$
이해
문제 재정리: $7^{2024} + 7^{2025} + 7^{2026}$ 을 $19$ 로 나눈 나머지를 구하세요.
주어진 것: 지수가 연속한 세 거듭제곱: $2024$, $2025$, $2026$; 세 거듭제곱의 합을 $19$ 로 나눔; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $7$, (D) $11$, (E) $18$
계획
주요 도구: #13 대수로 바꾸기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
세 항이 공통으로 $7^{2024}$ 를 가지므로 대수의 첫 수는 공통인수를 묶어내 괄호 안 $1 + 7 + 7^2$ 를 살펴보는 것입니다. 이는 도구 #13(대수로 바꾸기)의 가장 깔끔한 형태 — 수의 합이 곱으로 바뀌고, 각 인수의 나눗셈 가능성을 하나씩 따로 확인할 수 있게 됩니다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 나머지 문제를 둘로 가릅니다 — $1 + 7 + 49 = 57$ 을 계산하고, $57$ 이 $19$ 로 나누어떨어지는지 확인. 그렇다면 $7^{2024}$ 의 값과 관계없이 전체가 $19$ 의 배수가 되어 나머지는 $0$.
실행 — 정답: A
6.EE.A.3 단계 1 - 모든 항에서 가장 작은 지수의 거듭제곱 $7^{2024}$ 를 묶어냅니다.
- $7^{2025} = 7^{2024} \cdot 7$, $7^{2026} = 7^{2024} \cdot 7^2$ 을 쓰면 세 항의 합이 단일 곱으로 바뀝니다.
💡 공통인수를 빼내 복잡한 세 항을 하나로 만드는 것은 6학년 "분배법칙으로 동치식 만들기" 그대로입니다.
6.EE.A.1 단계 2 - 쪼개기 A: 괄호 안을 계산합니다.
- 안쪽 산수가 손으로 풀 만큼 작습니다.
💡 $7^2 = 49$ 를 넣고 더하기만 — 6학년 "자연수 지수가 있는 수식 계산" 에 해당.
4.OA.B.4 단계 3 - 쪼개기 B: $57$ 이 $19$ 의 배수인지 확인합니다.
- $19 \times 3$ 을 시험하면 정확히 $57$, 즉 $57 = 3 \times 19$.
💡 $57 = 3 \times 19$ 를 알아채는 것이 4학년 "약수쌍·배수" 지식 — 이 문제 전체가 이 한 사실에 달려 있어요.
6.NS.B.4 단계 4 - $57$ 의 인수분해를 다시 끼워 넣습니다.
- 이제 $19$ 가 전체 식의 인수로 드러나므로, 합 전체가 $19$ 의 배수이고 나머지는 $0$.
💡 $19$ 가 인수인 수는 $19$ 로 나누면 나머지가 $0$ — 6학년 "~의 배수" 의 기본 의미.
6.EE.A.3 모든 항에서 가장 작은 지수의 거듭제곱 $7^{2024}$ 를 묶어냅니다. $7^{2025} = 7^{2024} \cdot 7$, $7^{202 6.EE.A.1 쪼개기 A: 괄호 안을 계산합니다. 안쪽 산수가 손으로 풀 만큼 작습니다. 4.OA.B.4 쪼개기 B: $57$ 이 $19$ 의 배수인지 확인합니다. $19 \times 3$ 을 시험하면 정확히 $57$, 즉 $57 = 3 \times 6.NS.B.4 $57$ 의 인수분해를 다시 끼워 넣습니다. 이제 $19$ 가 전체 식의 인수로 드러나므로, 합 전체가 $19$ 의 배수이고 나머지는 $0$. 검토
합리성 확인: 모듈러 산수로 교차 확인합시다. $7^2 = 49 = 2 \times 19 + 11$ 이므로 $7^2 \equiv 11 \pmod{19}$. 그러면 $7^3 \equiv 7 \cdot 11 = 77 = 4 \times 19 + 1$, 즉 $7^3 \equiv 1 \pmod{19}$. 연속한 세 거듭제곱 $7^{2024}, 7^{2025}, 7^{2026}$ 은 $\{7^a, 7^a \cdot 7, 7^a \cdot 7^2\}$ 의 꼴이고, 그 합은 $7^a(1 + 7 + 49) = 7^a \cdot 57 \equiv 7^a \cdot 0 = 0 \pmod{19}$. 답 (A) 와 동일.
대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기): 먼저 $1 + 7 + 7^2 \pmod{19}$ 가 $57 \equiv 0$ 임을 보면, 같은 괄호 인수가 시작 지수와 관계없이 늘 나타난다는 사실이 보입니다. 따라서 모든 $k \ge 0$ 에 대해 $7^k + 7^{k+1} + 7^{k+2}$ 가 $19$ 의 배수 — "모든 $k$ 에서 나머지가 항상 $0$" 이라는 패턴이 답 (A) 를 확정해 줍니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.EE.A.3연산의 성질을 적용해 동치인 식 만들기 (세 항에서 공통 거듭제곱 $7^{2024}$ 를 묶어내 합을 $7^{2024}(1 + 7 + 7^2)$ 의 곱 형태로 바꾸는 데 사용.)6.EE.A.1자연수 지수가 있는 수식 쓰고 계산하기 (괄호 안 $1 + 7 + 7^2 = 1 + 7 + 49 = 57$ 의 계산.)4.OA.B.4약수쌍 구하기와 배수 인식 ($57 = 3 \times 19$ 라는 약수쌍을 인식해 $19$ 가 합 전체의 인수임을 확인.)6.NS.B.4두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 ($19$ 를 인수로 가진 수는 $19$ 로 나눈 나머지가 $0$ 이라는 "$19$ 의 배수" 의 정의를 사용.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 인수분해만 알면 풀 수 있어요 — 공통 거듭제곱을 묶어내고 작은 나머지가 $19$ 로 나누어떨어지는지만 확인하면 거대한 거듭제곱을 계산할 필요가 전혀 없습니다!
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 인수분해만 알면 풀 수 있어요 — 공통 거듭제곱을 묶어내고 작은 나머지가 $19$ 로 나누어떨어지는지만 확인하면 거대한 거듭제곱을 계산할 필요가 전혀 없습니다!
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