AMC 8 · 2000 · #23

학년 6 arithmetic

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Set Inclusion-Exclusion: Solve for Missing Region

mean-median-mode-rangeset-partitionfraction-arithmeticmulti-digit-arithmetic identify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangefraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

There is a list of seven numbers. The average of the first four numbers is $5$ , and the average of the last four numbers is $8$ . If the average of all seven numbers is $6\frac{4}{7}$ , then the number common to both sets of four numbers is

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$5\frac{3}{7}$

(B)

(C)

$6\frac{4}{7}$

(D)

(E)

$7\frac{3}{7}$

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 수 $7$ 개가 한 줄로 놓여 있습니다. 앞의 $4$ 개의 평균은 $5$, 뒤의 $4$ 개의 평균은 $8$, 전체 $7$ 개의 평균은 $6\frac{4}{7}$ 입니다. 앞 묶음과 뒤 묶음에는 정확히 한 개의 수가 겹쳐 있습니다 (양쪽에 모두 들어 있는 수). 그 겹치는 수를 구하세요.

주어진 것: 수는 모두 $7$ 개; 앞 $4$ 개의 평균 $= 5$; 뒤 $4$ 개의 평균 $= 8$; 전체 $7$ 개의 평균 $= 6\tfrac{4}{7}$; 선택지: (A) $5\tfrac{3}{7}$, (B) $6$, (C) $6\tfrac{4}{7}$, (D) $7$, (E) $7\tfrac{3}{7}$

구하는 것: 앞 $4$ 개 묶음과 뒤 $4$ 개 묶음에 모두 들어 있는 한 개의 수

이해

계획

주요 도구: #11 변하지 않는 것 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 바꾸기

수 $7$ 개를 하나하나 알 필요는 없습니다 — 합만 알면 됩니다. 도구 #11 (변하지 않는 것 찾기) 의 신호죠. 전체 $7$ 개의 합은 어떻게 묶어 세어도 같은 값입니다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로 바꾸기) 가 짝을 이룹니다 — 미지수 $7$ 개 대신 세 개의 합 (앞 $4$ 의 합, 뒤 $4$ 의 합, 전체 $7$ 의 합) 으로 문제를 바꾸세요. 앞 $4$ 합과 뒤 $4$ 합을 더하면 겹치는 수만 두 번 세어지므로, (앞 $4$ 합) $+$ (뒤 $4$ 합) $-$ (전체 $7$ 합) $=$ 겹치는 수. 변수도, 방정식도 필요 없습니다.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 문제로 바꾸기 6.SP.B.5 단계 1

각 평균을 합으로 바꿉니다.
평균 공식: 합 $=$ 평균 $\times$ 개수.
앞 $4$, 뒤 $4$, 전체 $7$ 에 각각 적용합니다.

$$\text{앞 4 합} = 4 \times 5 = 20, \quad \text{뒤 4 합} = 4 \times 8 = 32, \quad \text{전체 7 합} = 7 \times 6\tfrac{4}{7} = 7 \cdot 6 + 4 = 46$$

💡 합은 평균보다 다루기 쉽습니다. 한 번 바꿔 두면 나머지는 단순한 산술입니다.

#11 변하지 않는 것 찾기 6.EE.A.3 단계 2

두 묶음의 합을 더할 때 각 수가 몇 번 세어지는지 셉니다.
앞 $4$ 합은 $1, 2, 3, 4$ 번 수를 덮고, 뒤 $4$ 합은 $4, 5, 6, 7$ 번 수를 덮습니다.
더하면 $1, 2, 3, 5, 6, 7$ 번 수는 한 번씩, 겹치는 $4$ 번 수는 두 번 세어집니다.

$$\text{앞 4 합} + \text{뒤 4 합} = 20 + 32 = 52 = (\text{전체 7 합}) + (\text{겹치는 수})$$

💡 $7$ 자리 중 $4$ 개짜리 묶음이 두 개라면 정확히 한 개가 양쪽에 들어갑니다. 그것이 불변량입니다 — 두 합의 총합 $=$ 전체 합 $+$ 겹치는 수 한 개분.

#11 변하지 않는 것 찾기 6.EE.B.7 단계 3

겹치는 수를 구합니다.
두 합을 더한 $52$ 는 전체 합 $46$ 에 겹치는 수 한 개분이 더해진 값이므로 빼면 됩니다.

$$\text{겹치는 수} = 52 - 46 = 6 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 두 번 세어진 양이 바로 같은 수들을 두 가지 방식으로 잰 차이입니다.

[1] #9 6.SP.B.5 각 평균을 합으로 바꿉니다. 평균 공식: 합 $=$ 평균 $\times$ 개수. 앞 $4$, 뒤 $4$, 전체 $7$ 에 각각 적용합니다.

[2] #11 6.EE.A.3 두 묶음의 합을 더할 때 각 수가 몇 번 세어지는지 셉니다. 앞 $4$ 합은 $1, 2, 3, 4$ 번 수를 덮고, 뒤 $4$ 합은 $4, 5,

[3] #11 6.EE.B.7 겹치는 수를 구합니다. 두 합을 더한 $52$ 는 전체 합 $46$ 에 겹치는 수 한 개분이 더해진 값이므로 빼면 됩니다.

검토

합리성 확인: 겹치는 수 $6$ 이 양쪽 묶음 모두에 어울리는지 봅시다. 앞 $4$ 의 평균은 $5$ 라서 그 안의 수들은 $5$ 근처, 뒤 $4$ 의 평균은 $8$ 이라서 그 안의 수들은 $8$ 근처. 양쪽에 공통으로 들어가는 수는 $5$ 와 $8$ 사이 어딘가가 자연스럽고, $6$ 이 정확히 그 범위 안에 있습니다. 검산: $7 \times 6\tfrac{4}{7} = 46$, $20 + 32 - 6 = 46$ 으로 정확히 일치. 선택지 (A) $5\tfrac{3}{7}$ 와 (E) $7\tfrac{3}{7}$ 는 위 계산에서 산술이 맞지 않으므로 자연스럽게 제외됩니다.

대안 접근: 도구 #4 (변수 도입하기) 로 대수적으로 풀 수도 있습니다. 일곱 수를 $a_1, a_2, \dots, a_7$, 겹치는 수를 $d = a_4$ 라 하면 $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 20$, $a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 32$. 더하면 $a_1 + a_2 + a_3 + 2a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 52$. 전체 합 $a_1 + \cdots + a_7 = 46$ 을 빼면 $a_4 = 6$. 같은 답 (B), 같은 발상, 기호만 더 많을 뿐입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.SP.B.5 관측 개수와 중심 측도 등을 포함한 수치 자료 요약 (평균의 정의 (합 $\div$ 개수) 를 이용해 주어진 세 평균을 세 합으로 변환: $20$, $32$, $46$.)
6.EE.A.3 연산 성질을 이용해 동치인 식 만들기 ((앞 $4$ 합) $+$ (뒤 $4$ 합) 이 겹치는 수만 두 번 세고 나머지는 한 번씩 센다는 것을 이용해 (전체 $7$ 합) $+$ (겹치는 수) 와 같다는 식을 얻는 데 사용.)
6.EE.B.7 $x + p = q$ 꼴의 일차방정식을 세우고 풀어 실제·수학 문제 해결하기 ($46 + \text{겹치는 수} = 52$ 를 풀어 겹치는 수가 $6$ 임을 구하는 데 사용.)

⭐ 평균을 합으로 바꾸면 $20, 32, 46$. $20$ 과 $32$ 를 더할 때 겹치는 수만 두 번 세어지므로 $52 - 46 = 6$ 이 바로 그 겹치는 수입니다. 답은 (B).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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