AMC 8 · 2002 · #2

학년 4 number-theorycounting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

linear-diophantinesystematic-enumerationparitybound-inequality-then-enumerate systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticparity

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

How many different combinations of $5 bills and$ 2 bills can be used to make a total of $17? Order does not matter in this problem.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $\$5$ 지폐와 $\$2$ 지폐만 사용해서 정확히 $\$17$ 을 만드는 서로 다른 방법이 몇 가지인지 세는 문제입니다. 두 방법은 각 지폐 장수가 같으면 같은 방법으로 봅니다 (순서는 따지지 않습니다).

주어진 것: 사용할 수 있는 지폐: $\$5$ 와 $\$2$; 만들 금액: $\$17$; 각 지폐의 장수는 $0$ 이상의 정수; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $6$

구하는 것: 합이 정확히 $\$17$ 이 되는 $(\$5 \text{ 장수}, \$2 \text{ 장수})$ 쌍의 개수

이해

주어진 것: 사용할 수 있는 지폐: $\$5$ 와 $\$2$; 만들 금액: $\$17$; 각 지폐의 장수는 $0$ 이상의 정수; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $6$

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #6 추측과 확인

$\$5$ 지폐의 장수는 $0, 1, 2, 3$ 중 하나밖에 될 수 없습니다. $4 \times 5 = 20$ 이라서 네 장이면 이미 $17$ 을 넘기 때문이죠. 후보가 단 네 가지라 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 모든 경우를 금방 확인할 수 있습니다. 각 경우마다 도구 #6(추측과 확인) 으로 "$\$5$ 를 빼고 남은 돈이 $\$2$ 의 배수인가?" 라는 같은 질문을 던지면 됩니다. "예" 라고 답한 경우의 수만 세면 끝입니다 — 대수나 정수론 없이도 풀립니다.

실행 — 정답: A

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 1

$\$5$ 지폐를 최대 몇 장 쓸 수 있는지부터 정합니다. 한 장당 $\$5$ 가 빠지니, 네 장이면 $\$20$ 으로 이미 $\$17$ 을 넘습니다.
그러니 $\$5$ 장수는 $0, 1, 2, 3$ 중 하나, 즉 네 가지 경우뿐입니다.

$4 \times 5 = 20 > 17 \;\Rightarrow\; \$5 \text{ 장수} \in \{0, 1, 2, 3\}$

💡 "조합이 몇 가지냐" 라는 문제에서는 먼저 더 적게 쓸 수 있는 쪽 — 여기서는 $\$5$ — 의 범위부터 묶어 탐색을 짧게 만듭니다.

#6 추측과 확인 4.OA.B.4 단계 2

각 경우마다 남은 금액을 구한 뒤, 그 금액을 $\$2$ 지폐로 정확히 지불할 수 있는지 확인합니다. 남은 금액이 짝수($2$ 의 배수) 일 때만 가능합니다.

$\begin{array}{c|c|c} \$5 \text{ 장수} & \text{남은 금액} & \$2 \text{ 장수} \\ \hline 0 & 17 & 17 \div 2 = 8.5 \;\text{(불가)} \\ 1 & 12 & 12 \div 2 = 6 \;\text{(가능)} \\ 2 & 7 & 7 \div 2 = 3.5 \;\text{(불가)} \\ 3 & 2 & 2 \div 2 = 1 \;\text{(가능)} \end{array}$

💡 남은 금액이 짝수면 $\$2$ 지폐로 항상 채울 수 있고, 홀수면 절대 채울 수 없습니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 3

"가능" 으로 표시된 줄을 셉니다.
$\$5$ 한 장 + $\$2$ 여섯 장, 그리고 $\$5$ 세 장 + $\$2$ 한 장.
정확히 두 가지 조합입니다.

$$(1, 6): 5 + 12 = 17 \;\checkmark \quad (3, 1): 15 + 2 = 17 \;\checkmark \;\Rightarrow\; 2 \text{ 가지} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 표를 만들고 나면 "가능" 줄만 세면 답이 나옵니다.

[1] #2 4.OA.A.3 $\$5$ 지폐를 최대 몇 장 쓸 수 있는지부터 정합니다. 한 장당 $\$5$ 가 빠지니, 네 장이면 $\$20$ 으로 이미 $\$17$ 을 넘

[2] #6 4.OA.B.4 각 경우마다 남은 금액을 구한 뒤, 그 금액을 $\$2$ 지폐로 정확히 지불할 수 있는지 확인합니다. 남은 금액이 짝수($2$ 의 배수) 일 때

[3] #2 4.OA.A.3 "가능" 으로 표시된 줄을 셉니다. $\$5$ 한 장 + $\$2$ 여섯 장, 그리고 $\$5$ 세 장 + $\$2$ 한 장. 정확히 두 가지

검토

합리성 확인: 두 조합이 정말 $\$17$ 인지 확인합니다. $1 \times 5 + 6 \times 2 = 5 + 12 = 17$, $3 \times 5 + 1 \times 2 = 15 + 2 = 17$. 둘 다 맞습니다. 또한 패턴으로도 확인할 수 있어요: $\$5$ 를 뺀 남은 금액이 짝수여야 하고 $17$ 은 홀수이므로, $\$5$ 장수는 홀수여야 합니다 (홀수 $-$ 홀수 $=$ 짝수). ${0,1,2,3}$ 중 홀수는 $1$ 과 $3$ — 정확히 두 가지로 답 (A) 와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기): 합 $\$17$ 은 홀수이고, $\$2$ 지폐는 항상 짝수 금액을 더합니다. 그러므로 $\$5$ 지폐들이 만든 금액이 홀수여야 하고, 이는 $\$5$ 장수가 홀수여야 한다는 뜻입니다. $\{0, 1, 2, 3\}$ 의 홀수는 $1$ 과 $3$, 두 경우 모두 남은 금액이 짝수라서 $\$2$ 로 채울 수 있습니다 ($\$12 = 6 \times \$2$, $\$2 = 1 \times \$2$). 합 $2$ 가지로 (A) 가 확정됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 자연수 다단계 문장제 풀기 ($\$5 \text{ 장수} \in \{0,1,2,3\}$ 인 경우들을 나열하고, 각 경우의 남은 금액을 계산해 $\$17$ 을 정확히 만드는 경우의 수를 세는 데 사용.)
4.OA.B.4 자연수의 인수쌍을 모두 찾고 배수를 인식하기 (각 남은 금액에 대해 "$2$ 의 배수인가?" 를 확인 — $\$2$ 지폐로 정확히 채울 수 있는지 판단하는 핵심 검사.)

⭐ "조합이 몇 가지냐" 라는 문제에서는 먼저 더 적게 쓰는 쪽의 범위부터 정해 보세요 — 여기선 $\$5$ 지폐가 $0, 1, 2, 3$ 장 중 하나뿐입니다. 그 짧은 목록을 훑으면서 남은 금액을 확인하면 답이 바로 나옵니다: $2$ 가지, (A).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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