AMC 8 · 2002 · #4

학년 4 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

digit-constraintsplace-valuepattern-recognitionsystematic-enumeration systematic-enumerationpattern-recognition ↑ 선수 지식: place-valuemulti-digit-arithmetic

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문제

The year 2002 is a palindrome (a number that reads the same from left to right as it does from right to left). What is the product of the digits of the next year after 2002 that is a palindrome?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $2002$ 는 앞에서 읽으나 뒤에서 읽으나 같은 수, 즉 회문(回文)입니다. $2002$ 이후에 나오는 가장 가까운 회문 연도를 찾고, 그 네 자리 숫자를 모두 곱한 값을 구하세요.

주어진 것: 회문은 왼쪽에서 읽은 것과 오른쪽에서 읽은 것이 같은 수; $2002$ 는 $4$ 자리 회문 연도; $2002$ 보다 큰 회문 연도 중 가장 작은 것을 찾는다; 선택지: (A) $0$, (B) $4$, (C) $9$, (D) $16$, (E) $25$

구하는 것: 다음 회문 연도의 네 자리 숫자를 모두 곱한 값

이해

계획

주요 도구: #5 규칙 찾기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기

$4$ 자리 회문은 항상 ABBA 꼴입니다 — 천의 자리 숫자와 일의 자리 숫자가 같고, 백의 자리 숫자와 십의 자리 숫자가 같다는 뜻이죠. 도구 #5(규칙 찾기)가 바로 이 모양을 잡아냅니다. 모양만 정해지면 마무리는 도구 #6(추측하고 확인하기)이 합니다 — $2002$ 와 가깝게 두기 위해 A는 $2$ 로 유지하고, B 의 다음 값만 시험해 보면 됩니다.

실행 — 정답: B

#5 규칙 찾기 4.NBT.A.2 단계 1

$4$ 자리 회문의 모양을 먼저 적습니다.
천의 자리를 A, 백의 자리를 B 라 하면, 십의 자리도 B 여야 하고 일의 자리도 A 여야 하므로 연도는 ABBA 로 읽힙니다.

$$\text{회문 연도} = \overline{ABBA}$$

💡 각 자리에는 자리값이 있고, 회문 규칙은 일의 자리를 천의 자리에, 십의 자리를 백의 자리에 묶어 줍니다.

#5 규칙 찾기 4.NBT.A.2 단계 2

$2002$ 를 그 모양에 맞춰 봅니다.
천의 자리가 $2$ 이므로 A $= 2$, 백의 자리가 $0$ 이므로 B $= 0$.
십의 자리($0$)와 일의 자리($2$)도 ABBA 규칙과 일치합니다.

$$2002 = \overline{ABBA},\; A = 2,\; B = 0$$

💡 $2002$ 를 ABBA 로 읽어 두면 어떤 값부터 올려야 할지 한눈에 보입니다.

#6 추측하고 확인하기 4.NBT.A.2 단계 3

$2002$ 와 가깝게 두려면 A 는 $2$ 그대로 두고, B 만 다음 값으로 올려 봅니다.
A 를 $3$ 으로 바꾸면 가장 작은 회문이 $3003$ 까지 튀어버려 너무 멀어집니다.
그래서 B 를 $0$ 에서 $1$ 로 올려 결과를 확인합니다.

$$A = 2,\; B = 1 \;\Rightarrow\; \overline{ABBA} = 2112$$

💡 B 를 $1$ 만큼 올리면 연도는 백의 자리·십의 자리에서 각각 $1$ 씩 늘어 $110$ 만큼 커지므로, A 를 그대로 두는 한 가장 작은 도약입니다.

#5 규칙 찾기 3.OA.C.7 단계 4

$2112$ 의 네 자리 숫자를 모두 곱합니다.

$$2 \times 1 \times 1 \times 2 = 4 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $1$ 을 곱해도 값이 변하지 않으므로, 결국 $2 \times 2$ 만 남습니다.

[1] #5 4.NBT.A.2 $4$ 자리 회문의 모양을 먼저 적습니다. 천의 자리를 A, 백의 자리를 B 라 하면, 십의 자리도 B 여야 하고 일의 자리도 A 여야 하므로

[2] #5 4.NBT.A.2 $2002$ 를 그 모양에 맞춰 봅니다. 천의 자리가 $2$ 이므로 A $= 2$, 백의 자리가 $0$ 이므로 B $= 0$. 십의 자리($0$

[3] #6 4.NBT.A.2 $2002$ 와 가깝게 두려면 A 는 $2$ 그대로 두고, B 만 다음 값으로 올려 봅니다. A 를 $3$ 으로 바꾸면 가장 작은 회문이 $30

[4] #5 3.OA.C.7 $2112$ 의 네 자리 숫자를 모두 곱합니다.

검토

합리성 확인: $2112$ 가 정말 회문인지 확인합니다 — 뒤에서 읽어도 $2112$, 같은 수입니다. 또 $2002$ 와 $2112$ 사이에 다른 회문이 없는지 봅니다. $2$ 로 시작하는 회문은 모두 $\overline{2BB2}$ 꼴이고 B 가 $0$ 과 $1$ 사이에서 가질 수 있는 값은 정확히 그 둘뿐이므로 $2002$ 와 $2112$ 사이에 끼어드는 회문은 없습니다. 마지막으로 $2 \times 1 \times 1 \times 2 = 4$ 가 선택지 (B) 와 일치하고, 함정 $0, 9, 16, 25$ 는 각각 $2020$, $2332$, $2222$, $2552$ 를 답으로 잘못 골랐을 때 나오는 값입니다 — 어느 것도 $2002$ 다음 회문은 아닙니다.

대안 접근: 도구 #2(체계적으로 나열하기): $2003$ 부터 한 해씩 올려가며 숫자를 뒤집어 봅니다. $2003 \to 3002$ (X), $2004 \to 4002$ (X), $\ldots$, $2112 \to 2112$ (O). 처음으로 일치하는 해가 $2112$ 이고, 그 자리 숫자를 곱하면 $4$. 규칙으로 푸는 것보다는 느리지만 모든 후보를 직접 확인하므로 빠뜨릴 일이 없습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.A.2 다자리 자연수를 십진 표기·이름·전개식으로 읽고 쓰기 ($4$ 자리 연도에서 각 자리의 자리값을 알아채고 ABBA 회문 모양에 맞춰 $2112$ 를 다음 회문 연도로 찾는 데 사용.)
3.OA.C.7 $100$ 이내의 곱셈·나눗셈을 능숙하게 수행하기 (네 자리 숫자의 곱 $2 \times 1 \times 1 \times 2 = 4$ 를 계산하는 데 사용.)

⭐ $4$ 자리 회문은 언제나 ABBA 모양이라, $2002$ 다음 회문은 가운데 자리 숫자만 한 칸 올리면 나옵니다 — 그래서 $2112$, 그 자리 숫자를 곱하면 $4$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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