AMC 8 · 2003 · #2

학년 4 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

prime-numbersprime-factorizationparitydivisibility-rules systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: primality-testmultiples

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문제

Which of the following numbers has the smallest prime factor?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다섯 수 $55, 57, 58, 59, 61$ 중에서, 가장 작은 소인수가 가장 작은 수는 무엇일까요? 즉, 각 수의 소인수 중 가장 작은 것을 찾고, 그 값들끼리 비교해서 제일 작은 쪽을 고르는 문제입니다.

주어진 것: 후보 다섯 수: $55, 57, 58, 59, 61$; 수의 크기가 아니라, 각 수의 "가장 작은 소인수" 끼리 비교한다; 선택지: (A) $55$, (B) $57$, (C) $58$, (D) $59$, (E) $61$

구하는 것: 다섯 수 중에서 가장 작은 소인수를 가진 수

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #5 패턴 찾기

후보가 다섯 개뿐인 객관식 문제이므로 도구 #3(가능성 지우기)가 가장 자연스럽습니다. 작은 소수부터 차례로 시험하면 됩니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 그 시험을 더 빠르게 만듭니다 — 가장 작은 소수는 $2$ 이고, "$2$ 로 나누어떨어진다" $=$ "짝수다" 라는 패턴을 쓰면 한눈에 후보를 훑을 수 있죠. 짝수인 후보가 하나라도 있으면 그게 곧 답입니다. $2$ 보다 작은 소인수는 있을 수 없으니까요.

실행 — 정답: C

#5 패턴 찾기 4.OA.B.4 단계 1

소수를 작은 것부터 적어 둡니다.
어떤 수든 가질 수 있는 가장 작은 소인수는 $2$ 입니다.
다음은 $3$, 그다음은 $5$ 순서이지요.
그러니 "가장 작은 소인수" 를 찾으려면 $2$ 부터 점검하면 됩니다.

$$\text{소수 순서: } 2, 3, 5, 7, 11, \ldots$$

💡 소수의 순서를 알면 문제가 "$2$ 부터 차례로 확인하기" 라는 짧은 체크리스트로 바뀝니다.

#3 가능성 지우기 3.OA.D.9 단계 2

각 후보가 $2$ 의 배수인지 확인합니다.
$2$ 의 배수는 일의 자리가 $0, 2, 4, 6, 8$ 인 짝수입니다.
후보들의 일의 자리를 봅시다: $55, 57, 58, 59, 61$ 의 일의 자리는 $5, 7, 8, 9, 1$.
짝수인 것은 $58$ 하나뿐입니다.

$$55, 57, 59, 61 \text{ 은 홀수}; \quad 58 \text{ 은 짝수}$$

💡 짝수·홀수 판정은 가장 빠른 배수 판정법입니다 — 일의 자리 한 번만 보면 끝납니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 3

"가장 작은 소수" 규칙으로 마무리합니다.
$58$ 은 $2$ 로 나누어떨어지므로 $58$ 의 가장 작은 소인수는 $2$ 입니다.
나머지 네 수는 홀수이므로 그 소인수는 적어도 $3$ 이상입니다.
$2$ 보다 작은 소수는 없으니 $58$ 이 이깁니다.

$$58 = 2 \times 29 \;\Rightarrow\; 58 \text{ 의 가장 작은 소인수} = 2 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 한 후보가 "가능한 가장 작은 소수" 를 찍으면 탐색은 거기서 끝납니다 — 그보다 작은 답은 존재할 수 없으니까요.

[1] #5 4.OA.B.4 소수를 작은 것부터 적어 둡니다. 어떤 수든 가질 수 있는 가장 작은 소인수는 $2$ 입니다. 다음은 $3$, 그다음은 $5$ 순서이지요. 그러

[2] #3 3.OA.D.9 각 후보가 $2$ 의 배수인지 확인합니다. $2$ 의 배수는 일의 자리가 $0, 2, 4, 6, 8$ 인 짝수입니다. 후보들의 일의 자리를 봅시

[3] #3 4.OA.B.4 "가장 작은 소수" 규칙으로 마무리합니다. $58$ 은 $2$ 로 나누어떨어지므로 $58$ 의 가장 작은 소인수는 $2$ 입니다. 나머지 네 수

검토

합리성 확인: 다섯 수의 가장 작은 소인수를 각각 구해 확인해 봅시다. $55 = 5 \times 11$, 가장 작은 소인수 $5$. $57 = 3 \times 19$, 가장 작은 소인수 $3$. $58 = 2 \times 29$, 가장 작은 소인수 $2$. $59$ 는 소수, 가장 작은 소인수 $59$. $61$ 도 소수, 가장 작은 소인수 $61$. $\{5, 3, 2, 59, 61\}$ 중 최소는 $2$, 그 주인은 $58$. 따라서 답 (C) 가 맞습니다.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기): 각 수의 인수분해를 적어 가장 작은 소수를 읽어냅니다. $55: 5 \cdot 11$; $57: 3 \cdot 19$; $58: 2 \cdot 29$; $59: \text{소수}$; $61: \text{소수}$. 가장 작은 소인수만 모아 비교하면 $5, 3, 2, 59, 61$, 최솟값은 $2$ 로 $58$ 이 답. 역시 (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.B.4 $1$ 부터 $100$ 사이 자연수의 인수쌍을 모두 찾고, 주어진 수가 소수인지 합성수인지 판정하기 ("소인수" 의 정의와 소수 순서가 $2, 3, 5, \ldots$ 라는 사실을 사용해, 가장 작은 소인수 탐색을 $2$ 부터 시작.)
3.OA.D.9 덧셈·곱셈표 등에서 산술 패턴을 찾아 연산의 성질로 설명하기 (짝수·홀수 패턴 ($2$ 의 배수 판정) 으로 후보 다섯 수를 한눈에 훑어 $2$ 를 소인수로 갖는 수를 찾기.)

⭐ 가장 작은 소수는 $2$ 입니다. "가장 작은 소인수" 를 묻는 문제에서는 먼저 짝수가 있는지부터 보세요. 짝수가 하나라도 있으면 그 수가 곧 답 — 여기서는 $58$ 만 짝수라서 답은 (C).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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