AMC 8 · 2008 · #12

학년 6 arithmetic

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Numeric Operation Tree

sequences-geometricfraction-multiplicationpattern-recognition pattern-recognitionsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: fraction-multiplicationpattern-recognition

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

A ball is dropped from a height of $3$ meters. On its first bounce it rises to a height of $2$ meters. It keeps falling and bouncing to $\frac{2}{3}$ of the height it reached in the previous bounce. On which bounce will it not rise to a height of $0.5$ meters?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 공을 $3$ m 높이에서 떨어뜨립니다. 첫 번째 튕김에서는 $2$ m 까지 올라가고, 그 다음부터는 매 튕김마다 직전 튕김 높이의 $\tfrac{2}{3}$ 만큼만 올라갑니다. 처음으로 $0.5$ m 에 도달하지 못하는 튕김은 몇 번째 튕김일까요?

주어진 것: 떨어뜨린 높이: $3$ m (이건 튕김이 아니라 낙하); 첫 번째 튕김 높이: $2$ m; 그 다음 튕김은 직전 튕김의 $\tfrac{2}{3}$ 만큼 올라감; 비교 기준 높이: $0.5$ m; 선택지: (A) $3$, (B) $4$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $7$

구하는 것: 높이가 $0.5$ m 보다 작아지는 첫 튕김 번호 $n$

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #2 목록 만들기

매 튕김이 직전 튕김의 $\tfrac{2}{3}$ 배라는 같은 규칙을 따르므로, 높이는 등비 패턴입니다. 도구 #5(패턴 찾기)로 "매번 $\tfrac{2}{3}$ 곱하기"라는 규칙을 잡고, 도구 #2(목록 만들기)로 그 규칙을 한 단계씩 적용해 분수로 정확히 적어 내려갑니다. 확인할 단계가 다섯에서 여섯 줄뿐이라 부등식을 푸는 것보다 목록 쪽이 더 빠릅니다.

실행 — 정답: C

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

패턴을 식으로 적습니다.
$n$ 번째 튕김 높이를 $h_n$ 이라 하면, "매 튕김은 직전 튕김의 $\tfrac{2}{3}$"이라는 규칙은 $h_{n+1} = \tfrac{2}{3} h_n$, 시작은 $h_1 = 2$ 입니다.

$$h_1 = 2, \quad h_{n+1} = \dfrac{2}{3}\, h_n$$

💡 4학년 "주어진 규칙대로 수 패턴 만들기" 그대로 — 여기서는 매번 $\tfrac{2}{3}$ 을 곱하는 규칙.

#2 목록 만들기 5.NF.B.4 단계 2

높이를 차례로 적습니다.
반올림 오차 없이 $0.5 = \tfrac{1}{2}$ 과 비교할 수 있도록 분수 그대로 계산합니다.

$$h_1 = 2, \;\; h_2 = \dfrac{2}{3} \cdot 2 = \dfrac{4}{3}, \;\; h_3 = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{9}, \;\; h_4 = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{8}{9} = \dfrac{16}{27}, \;\; h_5 = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{16}{27} = \dfrac{32}{81}$$

💡 5학년 "분수끼리 곱하기": 매 단계에서 분자에는 $2$, 분모에는 $3$ 을 곱합니다.

#2 목록 만들기 4.NF.A.2 단계 3

각 높이를 $\tfrac{1}{2}$ 과 비교합니다.
분수 $\tfrac{a}{b}$ 가 $\tfrac{1}{2}$ 보다 작다는 것은 $2a < b$ 와 같습니다.

$h_3: 2 \cdot 8 = 16 > 9$, 따라서 $\dfrac{8}{9} > \dfrac{1}{2}$. $\quad h_4: 2 \cdot 16 = 32 > 27$, 따라서 $\dfrac{16}{27} > \dfrac{1}{2}$. $\quad h_5: 2 \cdot 32 = 64$ 와 $81$ 비교, $64 < 81$ 이므로 $\dfrac{32}{81} < \dfrac{1}{2}$.

💡 4학년 "분모가 다른 두 분수 비교" — 교차곱셈으로 확인.

#5 패턴 찾기 6.NS.C.7 단계 4

기준에 처음 못 미치는 튕김을 고릅니다.
$1$ 번부터 $4$ 번까지는 모두 $0.5$ m 이상이지만, $5$ 번 튕김은 $\tfrac{32}{81} \approx 0.395$ m 로 $0.5$ m 보다 낮습니다.
따라서 처음으로 기준에 도달하지 못하는 튕김은 $5$ 번입니다.

$h_n < 0.5$ 인 첫 $n$ 은 $n = 5 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$

💡 6학년 "유리수의 순서 비교" — 목록에서 $0.5$ 아래로 내려가는 첫 번째 줄을 그대로 읽기.

[1] #5 4.OA.C.5 패턴을 식으로 적습니다. $n$ 번째 튕김 높이를 $h_n$ 이라 하면, "매 튕김은 직전 튕김의 $\tfrac{2}{3}$"이라는 규칙은 $h

[2] #2 5.NF.B.4 높이를 차례로 적습니다. 반올림 오차 없이 $0.5 = \tfrac{1}{2}$ 과 비교할 수 있도록 분수 그대로 계산합니다.

[3] #2 4.NF.A.2 각 높이를 $\tfrac{1}{2}$ 과 비교합니다. 분수 $\tfrac{a}{b}$ 가 $\tfrac{1}{2}$ 보다 작다는 것은 $2a <

[4] #5 6.NS.C.7 기준에 처음 못 미치는 튕김을 고릅니다. $1$ 번부터 $4$ 번까지는 모두 $0.5$ m 이상이지만, $5$ 번 튕김은 $\tfrac{32}{

검토

합리성 확인: 소수로 점검: $h_1 = 2$, $h_2 \approx 1.333$, $h_3 \approx 0.889$, $h_4 \approx 0.593$, $h_5 \approx 0.395$. 매 튕김마다 약 $33\%$ 씩 줄어들고, $h_4 \approx 0.593$ 에서 $h_5 \approx 0.395$ 로 넘어가면서 $0.5$ 선을 통과하는 것이 자연스럽습니다. 번호 매김도 맞습니다 — $3$ m 낙하는 튕김이 아니고, $2$ m 까지 오른 것이 $1$ 번 튕김이므로 다섯 번째 반동이 $5$ 번 튕김, 즉 선택지 (C) 입니다.

대안 접근: 도구 #3(식 세우기): 일반항은 $h_n = 2 \cdot \left(\tfrac{2}{3}\right)^{n-1}$. $2 \cdot \left(\tfrac{2}{3}\right)^{n-1} < \tfrac{1}{2}$, 즉 $\left(\tfrac{2}{3}\right)^{n-1} < \tfrac{1}{4}$ 인 가장 작은 $n$ 을 찾으면 됩니다. $\tfrac{2}{3}$ 의 거듭제곱: $\tfrac{2}{3}, \tfrac{4}{9}, \tfrac{8}{27}, \tfrac{16}{81}$. $\tfrac{16}{81}$ 이 $\tfrac{1}{4} = \tfrac{20.25}{81}$ 보다 처음 작아지므로 $n - 1 = 4$, 즉 $n = 5$ 로 다시 (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 패턴 만들기 (문제의 "매 튕김은 직전 튕김의 $\tfrac{2}{3}$" 을 점화식 $h_{n+1} = \tfrac{2}{3} h_n$ 으로 옮겨 다음 높이를 차례로 만들어내는 데 사용.)
5.NF.B.4 분수와 자연수, 분수와 분수의 곱셈 (각 튕김 높이를 직전 높이에 $\tfrac{2}{3}$ 을 곱해 분수 그대로 정확히 계산하는 데 사용.)
4.NF.A.2 분모가 다른 두 분수의 크기 비교 (각 $h_n$ 이 $\tfrac{1}{2}$ 보다 큰지 작은지를 교차곱셈으로 판정해 반올림 오차를 피하는 데 사용.)
6.NS.C.7 유리수의 순서와 절댓값 이해 (목록에서 처음으로 $0.5$ m 기준 아래로 내려가는 튕김을 찾는 데 사용.)

⭐ 매 단계가 같은 분수만큼 줄어들 때는 식보다 목록이 빠릅니다 — $\tfrac{2}{3}$ 을 곱해 가며 $\tfrac{1}{2}$ 과 비교하고, 처음으로 작아진 줄에서 멈추면 됩니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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