AMC 8 · 2009 · #16

학년 4 counting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

factorssystematic-enumerationpermutations-basicdigit-constraints systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: factorsmulti-digit-arithmetic

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문제

How many $3$ -digit positive integers have digits whose product equals $24$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $100$ 부터 $999$ 까지의 세 자리 양의 정수 중에서, 세 자리 숫자를 모두 곱한 값이 $24$ 가 되는 수가 몇 개인지 세는 문제입니다.

주어진 것: 수는 정확히 $3$ 자리 (백·십·일의 자리); 세 자리 숫자의 곱이 $24$; 각 자리 숫자는 $\{0, 1, 2, \dots, 9\}$ 중 하나; 선택지: (A) $12$, (B) $15$, (C) $18$, (D) $21$, (E) $24$

구하는 것: 자리 숫자의 곱이 $24$ 인 세 자리 양의 정수의 개수

이해

문제 재정리: $100$ 부터 $999$ 까지의 세 자리 양의 정수 중에서, 세 자리 숫자를 모두 곱한 값이 $24$ 가 되는 수가 몇 개인지 세는 문제입니다.

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

"몇 개인가" 라는 질문에 후보 집합이 유한 (세 자리 수 $900$ 개) 하다는 점은 도구 #2(빠짐없이 나열하기)의 전형적인 신호입니다. 그런데 $900$ 개를 모두 훑는 건 비효율적이므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 단계로 나눕니다 — (a) 곱이 $24$ 가 되는 자리 숫자 묶음 $\{a, b, c\}$ 을 모두 찾고, (b) 각 묶음에서 만들 수 있는 서로 다른 세 자리 수의 개수를 셉니다. (a) 에서는 $a \le b \le c$ 순서 규칙으로, (b) 에서는 "작은 수부터" 순서 규칙으로 도구 #2 를 적용하면 누락도 중복도 없습니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.C.7 단계 1

먼저 $0$ 을 제외합니다.
한 자리라도 $0$ 이면 곱이 $0$ 이 되어 $24$ 가 되지 않으므로, 모든 자리 숫자는 $1$ 부터 $9$ 사이여야 합니다.
이것으로 "백의 자리는 $0$ 이 아니다" 조건도 자연스럽게 해결됩니다.

$a, b, c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, $\; a \cdot b \cdot c = 24$

💡 "$0$ 을 곱하면 $0$" 이라는 3학년 곱셈 사실 하나로 후보 숫자 범위가 즉시 좁아집니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 2

곱이 $24$ 가 되는 자리 숫자 묶음 $\{a, b, c\}$ ($a \le b \le c$) 을 모두 찾습니다.
가장 작은 숫자 $a$ 를 기준으로, 각 $a$ 에 대해 $b \cdot c = 24 / a$ ($b \le c$) 을 만족하는 자리 숫자 쌍 $(b, c)$ 를 나열합니다.

$a = 1$: $b \cdot c = 24 \Rightarrow (3, 8), (4, 6)$\\$a = 2$: $b \cdot c = 12 \Rightarrow (2, 6), (3, 4)$\\$a = 3$: $b \cdot c = 8$ 인데 $b \ge 3$ 이면 $b \cdot c \ge 9$ — 불가능\\묶음: $\{1, 3, 8\}, \{1, 4, 6\}, \{2, 2, 6\}, \{2, 3, 4\}$

💡 "가장 작은 수부터" 라는 순서 규칙으로 나열하는 것은 4학년 "인수쌍 모두 찾기" 를 두 번 적용하는 것과 같습니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 3

서로 다른 세 숫자로 이루어진 묶음마다, 자리를 바꿔 만들 수 있는 세 자리 수를 "작은 수부터" 순서로 모두 적어 봅니다.
세 숫자가 모두 다르면 묶음마다 $6$ 개가 나옵니다.

$\{1, 3, 8\}$: $138, 183, 318, 381, 813, 831 \Rightarrow 6$ 개\\$\{1, 4, 6\}$: $146, 164, 416, 461, 614, 641 \Rightarrow 6$ 개\\$\{2, 3, 4\}$: $234, 243, 324, 342, 423, 432 \Rightarrow 6$ 개

💡 세 숫자가 모두 다를 때 백의 자리에 올 숫자 ($3$ 가지) $\times$ 십의 자리 ($2$ 가지) $\times$ 일의 자리 ($1$ 가지) $= 6$ — 직접 나열해 봐도 정확히 $6$ 개입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 4

$\{2, 2, 6\}$ 처럼 같은 숫자가 있는 묶음은 두 $2$ 의 자리를 바꿔도 같은 수이므로, 나열이 더 짧습니다.
$6$ 이 어느 자리에 가는가만 따지면 됩니다.

$\{2, 2, 6\}$: $226, 262, 622 \Rightarrow 3$ 개

💡 같은 숫자가 있으면 "혼자인 숫자 ($6$) 가 어느 자리에 오는가" 만 결정하면 되므로 $3$ 자리 $\to$ $3$ 개.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 5

각 묶음에서 나온 개수를 모두 더해 최종 답을 구합니다.

$$6 + 6 + 6 + 3 = 21 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 경우별로 나눠 푼 답을 모아서 합치는 것이 도구 #7 의 마무리 동작입니다.

[1] #7 3.OA.C.7 먼저 $0$ 을 제외합니다. 한 자리라도 $0$ 이면 곱이 $0$ 이 되어 $24$ 가 되지 않으므로, 모든 자리 숫자는 $1$ 부터 $9$ 사

[2] #2 4.OA.B.4 곱이 $24$ 가 되는 자리 숫자 묶음 $\{a, b, c\}$ ($a \le b \le c$) 을 모두 찾습니다. 가장 작은 숫자 $a$ 를

[3] #2 4.OA.A.3 서로 다른 세 숫자로 이루어진 묶음마다, 자리를 바꿔 만들 수 있는 세 자리 수를 "작은 수부터" 순서로 모두 적어 봅니다. 세 숫자가 모두 다

[4] #2 4.OA.A.3 $\{2, 2, 6\}$ 처럼 같은 숫자가 있는 묶음은 두 $2$ 의 자리를 바꿔도 같은 수이므로, 나열이 더 짧습니다. $6$ 이 어느 자리에

[5] #7 4.OA.A.3 각 묶음에서 나온 개수를 모두 더해 최종 답을 구합니다.

검토

합리성 확인: 세 자리 수는 총 $900$ 개인데, 그중 $21$ 개가 조건을 만족합니다. 약 $2.3\%$ 수준으로, "자리 숫자의 곱이 정확히 $24$" 라는 꽤 까다로운 조건치고는 그럴듯한 비율입니다. $a \le 3$ 까지만 봐도 ($a = 3$ 이면 $bc = 8, b \ge 3$ 이라 모순) 모든 묶음이 나오므로 빠뜨린 경우는 없고, $21$ 은 선택지 (D) 와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)을 선택지에 적용해 봅시다. 세 숫자가 모두 다른 묶음은 항상 $6$ 개를 기여하고, $\{2, 2, 6\}$ 묶음만 $3$ 개를 기여합니다. 따라서 총합은 "$6$ 의 배수 $+ 3$" 형태가 되어 일의 자리가 $1$ 또는 $3$ 이 되어야 합니다. 선택지 중 이 조건을 만족하는 것은 $21$ 뿐이므로 (D) 임을 확인할 수 있습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.C.7 $100$ 이내에서 능숙하게 곱하고 나누기 (어느 자리 숫자라도 $0$ 이면 곱이 $0$ 이 되므로 모든 자리 숫자가 $1$ 부터 $9$ 사이여야 한다는 사실을 인식하는 데 사용.)
4.OA.B.4 $1$~$100$ 범위 수의 모든 인수쌍 찾기 ($a = 1, 2, 3$ 에 대해 $24 / a$ 의 인수쌍을 차례로 찾아 자리 숫자 묶음 $\{a, b, c\}$ 을 모두 나열하는 데 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 다단계 문장제 해결 (각 묶음별 경우의 수 (서로 다른 묶음은 $6$ 개, $\{2, 2, 6\}$ 은 $3$ 개) 를 세고 $6 + 6 + 6 + 3 = 21$ 로 합산하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 4학년 "인수쌍 모두 찾기" 와 꼼꼼한 세기만으로 풀 수 있어요 — 순열 공식 같은 건 필요 없답니다!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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