AMC 8 · 2009 · #24

학년 4 logic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

place-valuedigit-decompositionlogical-deductionmulti-digit-arithmetic identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: place-valuemulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

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문제

The letters $A$ , $B$ , $C$ and $D$ represent digits. If $\begin{tabular}{ccc}&A&B\\ +&C&A\\ \hline &D&A\end{tabular}$ and $\begin{tabular}{ccc}&A&B\\ -&C&A\\ \hline &&A\end{tabular}$ ,what digit does $D$ represent?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 네 개의 숫자 $A$, $B$, $C$, $D$ 가 두 가지 복면산을 동시에 만족합니다. 두 자리 수 $\overline{AB} + \overline{CA}$ 의 합은 두 자리 수 $\overline{DA}$ 이고, 차 $\overline{AB} - \overline{CA}$ 는 한 자리 수 $A$(즉, 차의 십의 자리는 $0$)입니다. $D$ 가 나타내는 숫자를 구하세요.

주어진 것: $\overline{AB} + \overline{CA} = \overline{DA}$ (세로식, 십의 자리 위로 추가 받아올림 없음); $\overline{AB} - \overline{CA} = A$ (한 자리 수, 즉 차의 십의 자리가 $0$); $A$, $B$, $C$, $D$ 는 $0$–$9$ 의 숫자; 선택지: (A) $5$, (B) $6$, (C) $7$, (D) $8$, (E) $9$

구하는 것: $D$ 가 나타내는 숫자

이해

계획

주요 도구: #3 식 세우기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

복면산은 본질적으로 자릿값 퍼즐입니다. 도구 #3(식 세우기) 은 덧셈·뺄셈의 각 자리(일의 자리, 십의 자리)를 받아올림·받아내림까지 포함한 작은 방정식으로 옮겨 줍니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 네 미지수를 한꺼번에 추측하지 말고 일의 자리부터 차례대로 — 먼저 $B$, 그다음 $A$, $C$, 마지막으로 $D$ — 한 자리씩 결정하라고 알려 줍니다.

실행 — 정답: E

#3 식 세우기 4.NBT.B.4 단계 1

덧셈의 일의 자리를 봅니다: $B + A$ 의 일의 자리가 $A$ 이므로 $B + A \equiv A \pmod{10}$, 따라서 $B \equiv 0 \pmod{10}$.
$B$ 가 한 자리 숫자이므로 $B = 0$ 이고 십의 자리로 받아올림은 없습니다.

$$B + A \equiv A \pmod{10} \;\Rightarrow\; B = 0$$

💡 $A$ 에 무엇을 더해도 일의 자리가 그대로 $A$ 라면, 더한 것은 $0$ 뿐이라는 4학년 자릿값 덧셈의 직관입니다.

#3 식 세우기 4.NBT.B.4 단계 2

이번엔 뺄셈의 일의 자리: $B - A$ 의 일의 자리가 $A$.
$B = 0$ 을 넣으면 $0 - A \equiv A \pmod{10}$ 이 되는데, $A \neq 0$ 이므로 십의 자리에서 $10$ 을 받아내려야 합니다.
그러면 식이 $10 - A = A$ 가 되고, $A = 5$ 가 나옵니다.

$$10 - A = A \;\Rightarrow\; 2A = 10 \;\Rightarrow\; A = 5$$

💡 세로 뺄셈의 받아내림은 4학년 표준 알고리즘 그대로 — "$0 - A = A$" 라는 불가능한 식을 받아내림으로 "$10 - A = A$" 로 바꿔 풀 수 있게 만듭니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 3

뺄셈의 십의 자리를 봅니다.
받아내림 때문에 십의 자리에서 $1$ 이 빠져 $(A - 1) - C = 0$.
$A = 5$ 이므로 $C = A - 1 = 4$ 입니다.

$$(A - 1) - C = 0 \;\Rightarrow\; C = A - 1 = 4$$

💡 도구 #7: 일의 자리가 풀린 뒤에는 십의 자리가 미지수 하나짜리 독립된 작은 문제가 됩니다.

#3 식 세우기 4.NBT.B.4 단계 4

마지막으로 덧셈의 십의 자리를 사용합니다.
일의 자리에서 받아올림이 없었으므로($B + A = 0 + 5 = 5 < 10$) $A + C = D$.
$A = 5$, $C = 4$ 를 대입하면 $D = 9$ 입니다.

$$D = A + C = 5 + 4 = 9 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 $A$ 와 $C$ 가 정해진 뒤에는 덧셈 십의 자리에서 $D$ 가 바로 읽힙니다.

[1] #3 4.NBT.B.4 덧셈의 일의 자리를 봅니다: $B + A$ 의 일의 자리가 $A$ 이므로 $B + A \equiv A \pmod{10}$, 따라서 $B \equ

[2] #3 4.NBT.B.4 이번엔 뺄셈의 일의 자리: $B - A$ 의 일의 자리가 $A$. $B = 0$ 을 넣으면 $0 - A \equiv A \pmod{10}$ 이

[3] #7 4.NBT.B.4 뺄셈의 십의 자리를 봅니다. 받아내림 때문에 십의 자리에서 $1$ 이 빠져 $(A - 1) - C = 0$. $A = 5$ 이므로 $C = A

[4] #3 4.NBT.B.4 마지막으로 덧셈의 십의 자리를 사용합니다. 일의 자리에서 받아올림이 없었으므로($B + A = 0 + 5 = 5 < 10$) $A + C = D

검토

합리성 확인: 구한 값을 그대로 대입: $A = 5$, $B = 0$, $C = 4$, $D = 9$ 이므로 $\overline{AB} = 50$, $\overline{CA} = 45$. 합은 $50 + 45 = 95 = \overline{DA}$ (십의 자리 $D = 9$, 일의 자리 $A = 5$) 로 맞고, 차는 $50 - 45 = 5 = A$ 로 한 자리(십의 자리 $0$) 가 됩니다. 두 복면산 모두 성립합니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 접근: $\overline{AB} - \overline{CA}$ 가 한 자리이므로 두 수의 차는 $10$ 미만, 즉 두 두 자리 수가 매우 가깝습니다. $A = 5$ 로 두면 $\overline{AB} = 50$, $\overline{CA} = 45$ 의 차가 $5 = A$ 로 딱 들어맞고, 합은 $95$ 이므로 $D = 9$ 가 됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.B.4 표준 알고리즘으로 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈을 능숙하게 수행 (덧셈·뺄셈의 각 자리(받아올림·받아내림 포함)를 미지수에 대한 작은 방정식으로 옮기고, 자리별로 차례대로 풀어 $B = 0$, $A = 5$, $C = 4$, $D = 9$ 를 결정.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 4학년 때 배운 세로 덧셈·뺄셈 표준 알고리즘만으로 풀려요 — 각 자리를 차근차근 읽으면 숫자들이 하나씩 떨어집니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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