AMC 8 · 2011 · #21

학년 4 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

prime-numberslogical-deductionsystematic-enumeration logical-deductioncaseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: prime-numbers

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

학생들이 노브(Norb)의 나이를 $24, 28, 30, 32, 36, 38, 41, 44, 47, 49$ 로 추측했습니다. 노브가 말했습니다: "여러분 중 적어도 절반은 실제 나이보다 작게 추측했고, 정확히 두 명은 내 나이와 $1$ 살 차이가 났으며, 내 나이는 소수입니다." 노브의 나이는 몇 살일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 학생 $10$ 명이 노브(Norb)의 나이를 $24, 28, 30, 32, 36, 38, 41, 44, 47, 49$ 로 추측했습니다. 노브는 정답에 대해 세 가지 단서를 줍니다 — (1) 적어도 절반의 추측이 실제 나이보다 작다, (2) 정확히 두 개의 추측이 실제 나이와 $1$ 차이가 난다 (하나는 한 살 위, 하나는 한 살 아래), (3) 나이는 소수(prime) 이다. 노브의 나이를 구하세요.

주어진 것: 추측 목록: $\{24, 28, 30, 32, 36, 38, 41, 44, 47, 49\}$ ($10$ 개); $10$ 개 중 적어도 $5$ 개는 실제 나이보다 작다; 정확히 두 개의 추측이 실제 나이와 $1$ 만큼 차이 난다; 노브의 나이는 소수다; 선택지: (A) $29$, (B) $31$, (C) $37$, (D) $43$, (E) $48$

구하는 것: 노브의 나이 (다섯 선택지 중 하나)

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #2 체계적으로 나열하기

세 개의 단순한 조건이 유한한 후보 집합을 차례로 잘라 내는 구조 — 도구 #3(가능성 지우기) 이 가장 자연스러운 첫 수입니다. 도구 #2(체계적으로 나열하기) 는 "$1$ 만큼 차이" 단서로부터 짧은 후보 목록을 만드는 역할 — 추측 목록에서 차이가 정확히 $2$ 인 쌍을 찾으면, 나이는 그 쌍의 한가운데에 있습니다. 그다음 "$36$ 보다 커야 한다" 조건으로 작은 후보를 지우고, 마지막에 "소수" 조건으로 정답을 확정합니다. 대수도 필요 없이, 세 번의 필터만으로 끝납니다.

실행 — 정답: C

#3 가능성 지우기 3.OA.A.3 단계 1

"적어도 절반" 을 숫자로 바꿉니다.
$10$ 의 절반은 $5$ 이므로, 추측 중 적어도 $5$ 개가 실제 나이보다 작아야 합니다.
정렬된 목록에서 작은 쪽 다섯 개를 세면 $24, 28, 30, 32, 36$ 이고, 이 다섯이 모두 "너무 작다" 가 되려면 노브의 나이는 $36$ 보다 커야 합니다.

$$\tfrac{1}{2} \times 10 = 5 \;\Rightarrow\; \text{나이} > 36$$

💡 $10$ 의 절반을 구하고 작은 쪽 다섯 개를 세는 것은 3학년 곱셈·나눗셈 수준의 추론입니다.

#2 체계적으로 나열하기 4.OA.A.3 단계 2

"$1$ 만큼 차이" 단서를 체계적인 목록으로 정리합니다.
노브의 나이를 $x$ 라 하면 $x-1$ 과 $x+1$ 이 모두 추측 목록에 있어야 하므로, 추측 목록에서 차이가 정확히 $2$ 인 쌍을 찾으면 됩니다.
그러면 $x$ 는 그 쌍의 한가운데 값입니다.
차이가 $2$ 인 쌍은 $(28, 30)$, $(30, 32)$, $(36, 38)$, $(47, 49)$ 입니다.

$$\{(28,30),\ (30,32),\ (36,38),\ (47,49)\} \;\Rightarrow\; x \in \{29,\ 31,\ 37,\ 48\}$$

💡 "$x-1, x+1$ 이 모두 목록에 있는" 후보를 빠짐없이 적어 두는 것이 도구 #2 의 핵심 동작입니다.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 3

두 단서를 합칩니다.
"$1$ 만큼 차이" 에서 나온 후보 $\{29, 31, 37, 48\}$ 에 "$36$ 보다 커야 한다" 조건을 걸면 $29$ 와 $31$ 이 지워지고, 두 후보가 살아남습니다.

$$\{29,\ 31,\ 37,\ 48\} \cap \{x : x > 36\} = \{37,\ 48\}$$

💡 여러 자리 자연수를 기준값과 비교해 거르는 것은 4학년 자릿값 비교 그대로입니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 4

마지막 단서인 "소수" 로 결착을 냅니다.
$37$ 은 $1$ 과 $37$ 외에 약수가 없으므로 소수, $48 = 2 \times 24$ 이므로 합성수입니다.
살아남는 것은 $37$ 하나뿐입니다.

$$37 \text{ 은 소수},\quad 48 = 2 \times 24 \text{ 는 합성수}$$

💡 $100$ 이하의 수가 소수인지 합성수인지 판단하는 것은 4학년 "인수쌍·소수/합성수" 표준 그대로입니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 5

정답을 읽습니다.
노브의 나이는 $37$ 살, 즉 선택지 $\textbf{(C)}$ 입니다.

$$\text{나이} = 37 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 세 번의 필터를 거쳐 한 후보가 남으면 그것이 곧 정답 — 도구 #3 의 가장 깔끔한 마무리입니다.

[1] #3 3.OA.A.3 "적어도 절반" 을 숫자로 바꿉니다. $10$ 의 절반은 $5$ 이므로, 추측 중 적어도 $5$ 개가 실제 나이보다 작아야 합니다. 정렬된 목록

[2] #2 4.OA.A.3 "$1$ 만큼 차이" 단서를 체계적인 목록으로 정리합니다. 노브의 나이를 $x$ 라 하면 $x-1$ 과 $x+1$ 이 모두 추측 목록에 있어야

[3] #3 4.NBT.A.2 두 단서를 합칩니다. "$1$ 만큼 차이" 에서 나온 후보 $\{29, 31, 37, 48\}$ 에 "$36$ 보다 커야 한다" 조건을 걸면 $

[4] #3 4.OA.B.4 마지막 단서인 "소수" 로 결착을 냅니다. $37$ 은 $1$ 과 $37$ 외에 약수가 없으므로 소수, $48 = 2 \times 24$ 이므로

[5] #3 4.OA.A.3 정답을 읽습니다. 노브의 나이는 $37$ 살, 즉 선택지 $\textbf{(C)}$ 입니다.

검토

합리성 확인: 세 단서를 $37$ 에 대해 직접 확인합니다. (1) $37$ 보다 작은 추측은 $24, 28, 30, 32, 36$ 의 $5$ 개 — $10$ 의 절반과 정확히 일치하므로 "적어도 절반" 조건 만족. (2) $37 - 1 = 36$ 과 $37 + 1 = 38$ 이 모두 목록에 있으므로 "$1$ 만큼 차이" 조건 정확히 만족. (3) $37$ 은 소수. 세 조건이 모두 통과하고, 다른 선택지는 어느 하나가 깨집니다 — 예를 들어 $43$ 은 $42$ 가 목록에 없으니 "$1$ 만큼 차이" 가 깨지고, $29$ 와 $31$ 은 "$36$ 보다 커야 한다" 가 깨집니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 다섯 선택지에 곧바로 대입해 보는 방법도 있습니다. $29$ — 목록에서 $29$ 보다 작은 수는 $24, 28$ 뿐인 $2$ 개라 "적어도 $5$ 개" 가 깨짐. $31$ — $31$ 보다 작은 수는 $24, 28, 30$ 의 $3$ 개로 역시 깨짐. $37$ — $5$ 개가 작고, $36, 38$ 이 목록에 있고, 소수이므로 통과. $43$ — $42$ 가 목록에 없으므로 "$1$ 만큼 차이" 깨짐. $48$ — $47, 49$ 가 목록에 있고 작은 수도 $7$ 개나 있지만 $48$ 은 소수가 아님. 결국 $37$ 만 모든 조건을 통과합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.A.3 $100$ 이하 자연수의 곱셈·나눗셈 문장제 해결 ("$10$ 개 추측의 절반 이상" 을 "적어도 $5$ 개" 로 옮기는 $\tfrac{1}{2} \times 10 = 5$ 계산에 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용하여 자연수에 관한 다단계 문장제 해결 (세 가지 단서(절반 이상이 작다, $1$ 만큼 차이, 소수) 를 단계별 필터로 조합하고, 마지막에 남은 후보를 정답으로 읽는 데 사용.)
4.NBT.A.2 여러 자리 자연수를 읽고 쓰며, 기호로 크기 비교하기 (후보 $\{29, 31, 37, 48\}$ 을 기준값 $36$ 과 비교해 $29, 31$ 을 지우는 데 사용.)
4.OA.B.4 인수쌍 찾기, 배수 인식, 소수 또는 합성수 판단 ($37$ 이 소수이고 $48 = 2 \times 24$ 가 합성수임을 확인해 두 후보 중 정답을 가르는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "소수인지 합성수인지" 판단과 "$36$ 보다 큰가?" 같은 크기 비교만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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