AMC 8 · 2012 · #16

• 더 쉬운 버전을 먼저 풀어 봅시다.
• 숫자 $0, 1, 2, 3$ 으로 합이 최대가 되는 두 자리 수 두 개를 만들어 봅니다.
• 큰 숫자 둘($3, 2$)을 십의 자리에, 작은 숫자 둘($1, 0$)을 일의 자리에 두면 $31 + 20 = 51$.
• 같은 칸 안에서 자리를 바꿔도($30 + 21 = 51$) 결과는 같지만, 큰 숫자를 일의 자리로 옮기면($13 + 20 = 33$) 훨씬 작아집니다.
• 규칙: 큰 자릿값일수록 큰 숫자를 둔다.

💡 작은 사례에서 자릿값 규칙이 분명히 보이면 원래 문제에 안심하고 적용할 수 있습니다.

• 이제 원래 문제에 같은 규칙을 적용합니다.
• 가장 큰 자릿값(왼쪽)부터 시작해서, 남은 숫자 중 가장 큰 두 개를 그 칸에 배치합니다.
• 가장 큰 $9, 8$ 은 만의 자리에.
• 다음 $7, 6$ 은 천의 자리에.
• $5, 4$ 는 백의 자리에.
• $3, 2$ 는 십의 자리에.
• 남은 $1, 0$ 은 일의 자리에 들어갑니다.

💡 각 칸은 "이 칸의 기여를 최대로 만들 두 숫자는?" 이라는 독립 문제이고, 답은 늘 "아직 남아 있는 가장 큰 두 숫자" 입니다.

• 최대 합을 확인해 봅니다(타당성 점검).
• 각 칸은 (두 숫자의 합) $\times$ (자릿값) 만큼 기여하고, 칸별 합은 — $9{+}8 = 17$, $7{+}6 = 13$, $5{+}4 = 9$, $3{+}2 = 5$, $1{+}0 = 1$ — 로 고정됩니다.
• 따라서 한 쌍을 두 수에 어떻게 나눠 줘도 최대 합 자체는 변하지 않습니다.

💡 자릿값은 만의 자리가 일의 자리의 $10{,}000$ 배. 왼쪽 칸에서 이기는 것이 압도적으로 중요합니다.

각 선택지를 단계 2 의 표와 자리별로 맞춰 보고, 어긋나는 답을 지웁니다.

💡 자릿값 규칙을 손에 쥐고 있으면, 잘못된 답은 어긋난 숫자 하나만 보고도 바로 지울 수 있습니다.

• (C) 가 실제로 성립하는지 확인하기 위해 남은 숫자로 짝꿍 수를 만들어 봅니다.
• 한 수가 $87431$ 이면, 다른 수는 남은 $9, 6, 5, 2, 0$ 을 같은 자릿값 규칙대로 배치한 $96520$ 입니다.
• 검산: $87431 + 96520 = 183951$ 로 단계 3 의 최대 합과 정확히 일치합니다.

💡 유효한 답에는 유효한 짝꿍이 같이 있어야 합니다. 짝꿍까지 만들어 보면 (C) 가 단순히 규칙에 맞을 뿐 아니라 실제로 만들어지는 수임을 확인할 수 있습니다.