AMC 8 · 2013 · #1

학년 4 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

multiplesdivisibility-rulesmental-arithmetic systematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticmultiples

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

다니카(Danica)는 자신의 모형 자동차들을 한 줄에 정확히 $6$ 대씩 들어가는 여러 줄로 배열하고 싶어 합니다. 지금 그녀는 모형 자동차 $23$ 대를 가지고 있습니다. 모든 자동차를 이런 방식으로 배열할 수 있으려면, 추가로 사야 하는 자동차의 최소 개수는 몇 대일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다니카는 모형 자동차 $23$ 대를 가지고 있고, 이 자동차들을 한 줄에 정확히 $6$ 대씩, 남는 차도 빈 자리도 없이 배열하려고 합니다. 그러려면 자동차를 몇 대 더 사야 합니다. 추가로 사야 하는 최소 자동차 수는 몇 대일까요?

주어진 것: 다니카는 현재 모형 자동차 $23$ 대를 가지고 있음; 한 줄에는 정확히 $6$ 대씩 들어가야 함; 모든 자동차가 어떤 줄엔가 들어가야 함 (남는 차 없음); 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

구하는 것: 다니카가 추가로 사야 하는 최소 자동차 수

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #3 가능성 지우기

"한 줄에 정확히 $6$ 대, 남는 차 없음" 이라는 조건은 총 대수가 $6$ 의 배수여야 한다는 뜻입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 $6$ 의 배수를 작은 것부터 차례로 ($6, 12, 18, 24, \ldots$) 적어 가다가 $23$ 이상이 되는 첫 값을 찾는 것이 가장 자연스럽습니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 AMC 객관식답게, 각 선택지를 $23$ 에 더해 보고 $6$ 의 배수가 되는 것만 남기는 빠른 확인용입니다.

실행 — 정답: A

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 1

규칙을 정리합니다.
자동차 $N$ 대를 한 줄에 $6$ 대씩 남김없이 배열하려면, $N$ 은 $6$ 의 배수여야 합니다.
따라서 다니카의 최종 총 대수는 $6$ 의 배수입니다.

$N = 6 \times k$ (단, $k$ 는 자연수)

💡 남는 것 없이 같은 크기의 묶음으로 나누는 것이 4학년에서 배운 "$6$ 의 배수" 의 정의 그대로입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 2

$6$ 의 배수를 작은 것부터 차례로 적고, $23$ 이상이 되는 첫 값에서 멈춥니다.

$$6, \; 12, \; 18, \; \boxed{24}, \; 30, \; \ldots$$

💡 $6 \times 1, 6 \times 2, 6 \times 3, \ldots$ 을 순서대로 나열하는 것은 4학년의 "배수 알아보기" 그대로입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 1.OA.A.1 단계 3

$23$ 이상인 가장 작은 $6$ 의 배수는 $24$ 입니다.
그러니 다니카의 목표 대수는 $24$ 대이고, 현재 $23$ 대를 빼면 더 사야 할 대수가 나옵니다.

$$24 - 23 = 1$$

💡 "목표까지 얼마나 더 필요한가" 를 묻는 것은 1학년의 "$20$ 이내 뺄셈 문장제" 그대로입니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 4

선택지로 확인합니다.
각 선택지 $c$ 에 대해 $23 + c$ 가 $6$ 의 배수인지 확인합니다: $23+1=24$ ✓, $23+2=25$ ✗, $23+3=26$ ✗, $23+4=27$ ✗, $23+5=28$ ✗.
(A) 만 통과하므로 답은 $\textbf{(A) } 1$ 입니다.

$$23 + 1 = 24 = 6 \times 4 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 각 선택지를 "$6$ 의 배수인가" 검사에 대입해 보는 것은 4학년 약수·배수 지식을 AMC 객관식 소거에 적용한 것입니다.

[1] #2 4.OA.B.4 규칙을 정리합니다. 자동차 $N$ 대를 한 줄에 $6$ 대씩 남김없이 배열하려면, $N$ 은 $6$ 의 배수여야 합니다. 따라서 다니카의 최종

[2] #2 4.OA.B.4 $6$ 의 배수를 작은 것부터 차례로 적고, $23$ 이상이 되는 첫 값에서 멈춥니다.

[3] #2 1.OA.A.1 $23$ 이상인 가장 작은 $6$ 의 배수는 $24$ 입니다. 그러니 다니카의 목표 대수는 $24$ 대이고, 현재 $23$ 대를 빼면 더 사야

[4] #3 4.OA.B.4 선택지로 확인합니다. 각 선택지 $c$ 에 대해 $23 + c$ 가 $6$ 의 배수인지 확인합니다: $23+1=24$ ✓, $23+2=25$ ✗

검토

합리성 확인: 확인: $23 \div 6 = 3$ 나머지 $5$. 즉 다니카는 네 번째 줄을 $5$ 대까지 채운 상태이므로, 그 줄을 마저 채우려면 $6 - 5 = 1$ 대만 더 있으면 됩니다. 답 (A) 와 일치하고, $23$ 이상인 가장 작은 $6$ 의 배수 $24$ 에서 $23$ 을 뺀 $1$ 과도 정확히 같습니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 자연수를 작은 값부터 대입해 봅니다. 추가 $0$ 대($23$, $6$ 의 배수 아님 — $6 \times 3 = 18, 6 \times 4 = 24$), 추가 $1$ 대($24 = 6 \times 4$ ✓). 더 작은 값이 없으므로 답은 (A).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.B.4 약수쌍 찾기와 배수 인식; 소수·합성수 판별 ("한 줄에 $6$ 대씩, 남는 것 없음" 이 총 대수가 $6$ 의 배수임을 의미한다는 것을 파악하고, $6, 12, 18, 24, \ldots$ 의 배수를 나열하며, $6$ 으로 나누어떨어지는지 검사로 선택지를 소거하는 데 사용.)
1.OA.A.1 $20$ 이내 덧셈·뺄셈 문장제 해결 (목표 대수 $24$ 에서 현재 대수 $23$ 을 빼서 추가로 필요한 자동차 수 $24 - 23 = 1$ 을 구하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "배수" 개념만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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