AMC 8 · 2014 · #4
학년 4 number-theory문제
두 소수의 합이 85입니다. 이 두 소수의 곱은 얼마일까요?
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AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 두 소수의 합이 $85$ 입니다. 이 두 소수의 곱은 얼마일까요?
주어진 것: 소수는 정확히 두 개; 두 소수의 합이 $85$; 선택지: (A) $85$, (B) $91$, (C) $115$, (D) $133$, (E) $166$
구하는 것: 두 소수가 각각 무엇인지, 그리고 그 곱
이해
문제 재정리: 두 소수의 합이 $85$ 입니다. 이 두 소수의 곱은 얼마일까요?
주어진 것: 소수는 정확히 두 개; 두 소수의 합이 $85$; 선택지: (A) $85$, (B) $91$, (C) $115$, (D) $133$, (E) $166$
계획
주요 도구: #3 가능성 지우기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기
합 $85$ 는 홀수인데, 홀수 $+$ 홀수 $=$ 짝수, 짝수 $+$ 짝수 $=$ 짝수입니다. 따라서 두 소수 중 하나는 짝수, 다른 하나는 홀수여야 합니다 — 이것이 도구 #3(가능성 지우기) 의 강력한 한 방입니다. 짝수 소수는 $2$ 뿐이므로 한 수는 강제로 $2$ 가 되고, 다른 수는 $85 - 2 = 83$ 으로 정해집니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 는 보조 수단입니다 — 작은 소수 $2, 3, 5, 7, 11, \ldots$ 을 차례대로 나열하며 $85 - p$ 가 소수인지 확인해도 결국 같은 짝에 도달합니다.
실행 — 정답: E
2.OA.C.3 단계 1 - 홀짝성으로 가능성을 지웁니다.
- 홀수 $+$ 홀수 $=$ 짝수, 짝수 $+$ 짝수 $=$ 짝수인데 합 $85$ 는 홀수입니다.
- 따라서 두 소수 중 하나는 짝수, 다른 하나는 홀수여야 하며 그 외 모든 조합은 한 번에 제거됩니다.
💡 홀수 $+$ 짝수 $=$ 홀수라는 2학년 사실 하나로 "두 소수가 모두 홀수" 인 경우를 통째로 제거할 수 있습니다.
4.OA.B.4 단계 2 - 유일한 짝수 소수를 찾습니다.
- 소수는 정의상 $1$ 보다 크면서 $1$ 과 자기 자신 외에 약수가 없어야 합니다.
- $2$ 보다 큰 짝수는 모두 $2$ 를 약수로 가지므로 소수가 될 수 없고, 결국 짝수 소수는 $2$ 하나뿐입니다 — 두 소수 중 하나는 반드시 $2$ 입니다.
💡 "유일한 짝수 소수는 $2$" 라는 4학년 소수·합성수 사실로 가능성 지우기가 마무리됩니다.
4.OA.B.4 단계 3 - 뺄셈으로 나머지 소수를 구합니다.
- 한 소수가 $2$ 이면 다른 소수는 $85 - 2 = 83$ 입니다.
💡 한 번의 뺄셈으로 두 번째 수가 확정되며, 남은 일은 그 수가 정말 소수인지 확인하는 것뿐입니다.
4.OA.B.4 단계 4 - $83$ 이 소수인지 시험 나눗셈으로 확인합니다.
- $\sqrt{83} < 10$ 이므로 $2, 3, 5, 7$ 만 확인하면 됩니다.
- $83$ 은 홀수($\div 2$ 아님), 자릿수 합 $8+3=11$ ($\div 3$ 아님), 끝자리가 $0$ 또는 $5$ 가 아님($\div 5$ 아님), $83 = 7 \times 11 + 6$ ($\div 7$ 아님).
- 따라서 $83$ 은 소수입니다.
💡 $\sqrt{83}$ 이하의 소수만 차례로 나열해 확인하는 것은 단 네 개짜리 작은 도구 #2 리스트입니다.
3.OA.C.7 단계 5 문제가 요구하는 두 소수의 곱을 계산합니다.
💡 $2 \times 83$ 은 3학년 곱셈입니다 — $83$ 을 두 배 하면 $166$ 이 되고 선택지 (E) 와 일치합니다.
2.OA.C.3 홀짝성으로 가능성을 지웁니다. 홀수 $+$ 홀수 $=$ 짝수, 짝수 $+$ 짝수 $=$ 짝수인데 합 $85$ 는 홀수입니다. 따라서 두 소수 중 4.OA.B.4 유일한 짝수 소수를 찾습니다. 소수는 정의상 $1$ 보다 크면서 $1$ 과 자기 자신 외에 약수가 없어야 합니다. $2$ 보다 큰 짝수는 모두 4.OA.B.4 뺄셈으로 나머지 소수를 구합니다. 한 소수가 $2$ 이면 다른 소수는 $85 - 2 = 83$ 입니다. 4.OA.B.4 $83$ 이 소수인지 시험 나눗셈으로 확인합니다. $\sqrt{83} < 10$ 이므로 $2, 3, 5, 7$ 만 확인하면 됩니다. $83$ 은 3.OA.C.7 문제가 요구하는 두 소수의 곱을 계산합니다. 검토
합리성 확인: 간단한 점검: $2 + 83 = 85$ ✓ (합 조건 성립), $2 \times 83 = 166$ ✓ (선택지 E 와 일치). 나머지 선택지는 합 조건을 만족시키지 못합니다 — 예컨대 $85 = 5 \times 17$ 에서 $5 + 17 = 22$, $91 = 7 \times 13$ 에서 $7 + 13 = 20$, $115 = 5 \times 23$ 에서 $5 + 23 = 28$, $133 = 7 \times 19$ 에서 $7 + 19 = 26$. 어느 것도 $85$ 가 아니고, $166 = 2 \times 83$ 만이 합 $85$ 를 만들어 줍니다. 따라서 (E) 가 유일한 답입니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 을 선택지에 직접 적용해 봅시다. 각 선택지를 두 소수의 곱으로 분해해 합이 $85$ 인지 봅니다. (A) $85 = 5 \times 17 \to 22$. (B) $91 = 7 \times 13 \to 20$. (C) $115 = 5 \times 23 \to 28$. (D) $133 = 7 \times 19 \to 26$. (E) $166 = 2 \times 83 \to 85$ ✓. (E) 만 살아남습니다 — 홀짝성 논증 없이도 같은 답에 도달합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
2.OA.C.3물건의 개수가 홀수인지 짝수인지 판별 (홀수 $+$ 홀수 $=$ 짝수, 홀수 $+$ 짝수 $=$ 홀수라는 홀짝성으로, 홀수 $85$ 가 되는 두 소수 중 하나는 반드시 짝수임을 논증.)4.OA.B.4100 이내 수의 약수쌍 찾기 및 소수·합성수 판별 ($2$ 가 유일한 짝수 소수임을 인지해 $2$ 보다 큰 짝수를 모두 제외하고, $\sqrt{83}$ 까지의 시험 나눗셈으로 $83$ 이 소수임을 확인.)3.OA.C.7100 이내 곱셈을 유창하게 수행 (더 큰 곱에도 적용) (두 배 곱셈으로 최종 곱 $2 \times 83 = 166$ 을 계산.)
⭐ 두 소수의 합이 홀수면 그중 하나는 반드시 $2$ 예요 — 이 4학년 홀짝성 한 방이 문제 전체를 풀어 줍니다.
⭐ 두 소수의 합이 홀수면 그중 하나는 반드시 $2$ 예요 — 이 4학년 홀짝성 한 방이 문제 전체를 풀어 줍니다.
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