AMC 8 · 2015 · #14

학년 4 algebranumber-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

divisibility-rulesparitymultiples convert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticdivisibility-rules

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

다음 정수 중 네 개의 연속한 홀수의 합으로 나타낼 수 없는 수는 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

100

(E)

200

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다섯 개의 수 $16$, $40$, $72$, $100$, $200$ 중에서 "연속된 네 홀수의 합"(예: $1+3+5+7$ 또는 $7+9+11+13$) 으로 표현할 수 없는 수를 하나 고르세요.

주어진 것: 정확히 네 개의 홀수를 연달아 더한다; 연속된 홀수는 $2$ 씩 차이가 난다 (예: $3, 5, 7, 9$); 선택지: (A) $16$, (B) $40$, (C) $72$, (D) $100$, (E) $200$

구하는 것: 다섯 선택지 중에서 어떤 수가 이런 합으로 표현 불가능한가

이해

문제 재정리: 다섯 개의 수 $16$, $40$, $72$, $100$, $200$ 중에서 "연속된 네 홀수의 합"(예: $1+3+5+7$ 또는 $7+9+11+13$) 으로 표현할 수 없는 수를 하나 고르세요.

주어진 것: 정확히 네 개의 홀수를 연달아 더한다; 연속된 홀수는 $2$ 씩 차이가 난다 (예: $3, 5, 7, 9$); 선택지: (A) $16$, (B) $40$, (C) $72$, (D) $100$, (E) $200$

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기

어떤 합이 가능한지 모르니까, 먼저 "연속된 네 홀수의 합"을 작은 값부터 직접 몇 개 만들어 봅니다 (도구 #9): $1+3+5+7$, $3+5+7+9$, $5+7+9+11$ 같은 식으로요. 나온 합들을 늘어놓고 규칙을 찾으면 (도구 #5) — 합이 매번 $8$ 씩 늘어나니까 가능한 합은 모두 $8$ 의 배수입니다. 마지막으로 다섯 선택지를 그 규칙에 대입해서 (도구 #3, 가능성 지우기) $8$ 의 배수가 아닌 단 하나의 수를 찾으면 됩니다.

실행 — 정답: D

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.NBT.B.4 단계 1

가장 쉬운 경우부터 시도합니다.
가장 작은 시작 홀수부터 차례로 "연속된 네 홀수의 합"을 직접 계산해 결과를 적어 둡니다.

$$1+3+5+7 = 16,\quad 3+5+7+9 = 24,\quad 5+7+9+11 = 32,\quad 7+9+11+13 = 40$$

💡 작은 수 몇 개를 손으로 더해 보는 것은 4학년 수준의 여러 자리 덧셈이며, 패턴을 찾을 "진짜 데이터" 를 만들어 줍니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

합의 수열을 보고 규칙을 찾습니다.
$16, 24, 32, 40, \ldots$ 처럼 매번 $8$ 씩 늘어나므로, 가능한 합은 모두 $8$ 의 배수입니다.

$$24 - 16 = 8,\quad 32 - 24 = 8,\quad 40 - 32 = 8 \;\Rightarrow\; \text{합} = 16, 24, 32, 40, 48, \ldots = 8 \times (\text{정수})$$

💡 수열에서 일정한 차이 $8$ 을 찾아 모든 항을 한꺼번에 설명하는 것은 4학년 "수 패턴 만들고 분석하기" 표준 그대로입니다. (왜 $8$ 일까? 홀수마다 $2$ 씩 늘어나고 그것이 $4$ 개이므로 합은 $4 \times 2 = 8$ 씩 증가합니다.)

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 3

이제 각 선택지가 $8$ 의 배수인지 확인합니다.
$8$ 의 배수가 아닌 수가 "연속된 네 홀수의 합" 으로 표현 불가능한 수입니다.

$16 = 8 \times 2$, $40 = 8 \times 5$, $72 = 8 \times 9$, $100 = 8 \times 12 + 4$ ($8$ 의 배수 아님), $200 = 8 \times 25$

💡 "반드시 $8$ 의 배수여야 한다" 는 규칙으로 선택지를 거르는 것은 4학년 배수·약수 개념이며, 객관식 문제에서 가장 빠른 마무리입니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 4

오직 $100$ 만 $8$ 의 배수 검사를 통과하지 못했으므로, 다섯 수 중에서 연속된 네 홀수의 합으로 쓸 수 없는 수는 $100$ 입니다.
답은 $\textbf{(D)}$ 입니다.

$$\boxed{100} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 정확히 한 선택지만 살아남았으니, "불가능한 답이 하나뿐" 이라는 문제 조건과도 잘 맞습니다.

[1] #9 4.NBT.B.4 가장 쉬운 경우부터 시도합니다. 가장 작은 시작 홀수부터 차례로 "연속된 네 홀수의 합"을 직접 계산해 결과를 적어 둡니다.

[2] #5 4.OA.C.5 합의 수열을 보고 규칙을 찾습니다. $16, 24, 32, 40, \ldots$ 처럼 매번 $8$ 씩 늘어나므로, 가능한 합은 모두 $8$ 의

[3] #3 4.OA.B.4 이제 각 선택지가 $8$ 의 배수인지 확인합니다. $8$ 의 배수가 아닌 수가 "연속된 네 홀수의 합" 으로 표현 불가능한 수입니다.

[4] #3 4.OA.B.4 오직 $100$ 만 $8$ 의 배수 검사를 통과하지 못했으므로, 다섯 수 중에서 연속된 네 홀수의 합으로 쓸 수 없는 수는 $100$ 입니다.

검토

합리성 확인: $100$ 을 정말로 "연속된 네 홀수의 합" 으로 만들 수 있는지 직접 시도해 봅니다. 네 홀수의 중간값은 $100 \div 4 = 25$ 부근이어야 하므로 $23 + 25 + 27 + 29 = 104$ (너무 큼), $21 + 23 + 25 + 27 = 96$ (너무 작음). 합이 $96$ 에서 $104$ 로 한 번에 건너뛰어 $100$ 을 건너뛰니, $100$ 이 불가능하다는 결론이 맞습니다. 나머지 네 수는 모두 실제로 만들 수 있습니다: $16 = 1+3+5+7$, $40 = 7+9+11+13$, $72 = 15+17+19+21$, $200 = 47+49+51+53$.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): 연속된 네 홀수를 $n, n+2, n+4, n+6$ ($n$ 은 홀수) 으로 두면 합은 $4n + 12 = 4(n+3)$ 입니다. $n$ 이 홀수이므로 $n+3$ 은 짝수이고, 따라서 $4(n+3)$ 은 $8$ 의 배수입니다. 이로써 규칙이 엄밀하게 증명되지만, 작은 경우 + 패턴 경로가 더 빠르고 같은 결론에 도달합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 덧셈과 뺄셈을 표준 알고리듬으로 능숙하게 수행 (패턴을 찾을 데이터를 얻기 위해 $1+3+5+7=16$, $3+5+7+9=24$, $5+7+9+11=32$, $7+9+11+13=40$ 의 작은 합들을 직접 계산.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 패턴을 만들고 그 패턴에서 드러나는 특징을 식별 (합 $16, 24, 32, 40, \ldots$ 이 매번 $8$ 씩 증가함을 발견하고, 가능한 합이 모두 $8$ 의 배수임을 결론짓는 데 사용.)
4.OA.B.4 자연수의 약수쌍을 찾고, 자연수가 자기 약수들의 배수임을 인식 (각 선택지가 $8$ 의 배수인지 검사해 $100 = 8 \times 12 + 4$ 만 탈락, 나머지는 통과함을 확인하는 데 사용.)

⭐ 작은 홀수 네 개의 합을 몇 번 더해서 "$8$ 씩 뛴다" 는 규칙만 알아채면 — 4학년 실력으로 풀 수 있는 AMC 8 문제예요. 대수는 필요 없습니다!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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