AMC 8 · 2015 · #4

학년 4 counting

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count

permutations-basicsystematic-enumeration systematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

블루버드 고등학교(Blue Bird High School) 체스팀은 남학생 두 명과 여학생 세 명으로 구성되어 있습니다. 사진사가 지역 신문에 실릴 팀 사진을 찍으려고 합니다. 사진사는 다섯 명을 한 줄로 앉히되, 양 끝에 남학생이 한 명씩 앉고 가운데에 여학생 세 명이 앉도록 하기로 했습니다. 이렇게 앉힐 수 있는 방법은 모두 몇 가지일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 체스팀에 남학생 $2$ 명과 여학생 $3$ 명이 있습니다. 사진을 위해 한 줄로 서는데, 양쪽 끝에는 남학생이, 가운데 세 자리에는 여학생이 앉아야 합니다. 가능한 줄서기는 모두 몇 가지일까요?

주어진 것: 팀 구성: 남학생 $2$ 명(서로 다른 사람), 여학생 $3$ 명(서로 다른 사람); 자리 배치(왼쪽 $\to$ 오른쪽): 남, 여, 여, 여, 남; 선택지: (A) $2$, (B) $4$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $12$

구하는 것: 정해진 자리 배치 안에서 $5$ 명을 왼쪽부터 오른쪽으로 줄 세우는 서로 다른 방법의 수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

자리 배치 덕분에 문제가 서로 독립인 두 부분으로 깨끗하게 쪼개집니다 — (가) 양 끝 두 자리에 남학생 $2$ 명을 배치하기, (나) 가운데 세 자리에 여학생 $3$ 명을 배치하기. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 두 부분을 따로 센 다음 곱셈으로 합치면 됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 는 안전장치 — 남학생 배치 $2$ 가지, 여학생 배치 $6$ 가지를 정해진 순서로 나열해서 빠진 경우나 중복이 없는지 확인합니다.

실행 — 정답: E

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.A.1 단계 1

양 끝 자리에 남학생을 배치하는 경우의 수를 셉니다.
두 남학생을 $B_1, B_2$ 라 하면, 왼쪽 끝에 $B_1$ 이 앉고 오른쪽 끝에 $B_2$ 가 앉거나, 그 반대입니다.
즉 왼쪽 끝에 앉을 사람을 고르는 데 $2$ 가지, 그 사람이 결정되면 오른쪽 끝에 앉을 남학생은 남은 $1$ 명으로 정해집니다.

$$2 \times 1 = 2 \text{ 가지 (남학생 배치)}$$

💡 "첫 자리 선택지 수 $\times$ 둘째 자리 선택지 수" 로 묶는 것은 3학년 곱셈 — "같은 묶음을 여러 개 모으기" 개념 그대로입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.A.1 단계 2

가운데 세 자리에 여학생을 배치하는 경우의 수를 셉니다.
세 여학생을 $G_1, G_2, G_3$ 라 하면, 가운데 왼쪽 자리에 앉을 후보가 $3$ 명, 그다음 자리에는 $2$ 명, 마지막 자리에는 $1$ 명으로 정해집니다.
확인용으로 직접 나열해 보면 $G_1G_2G_3$, $G_1G_3G_2$, $G_2G_1G_3$, $G_2G_3G_1$, $G_3G_1G_2$, $G_3G_2G_1$ — 정확히 $6$ 가지.

$$3 \times 2 \times 1 = 6 \text{ 가지 (여학생 배치)}$$

💡 사전식 순서로 $6$ 가지 배열을 직접 나열해 곱셈 결과를 확인하는 것이 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 의 핵심 사용법입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 3

두 독립 부분을 합칩니다.
남학생 배치 한 가지마다 여학생 배치 $6$ 가지가 모두 가능하므로, 두 경우의 수를 곱합니다.

$$\text{전체} = 2 \times 6 = 12 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 여러 단계로 나뉘는 문장제에서 각 단계를 따로 세고 결과를 곱해 전체 답을 내는 것은 4학년 "사칙연산을 이용한 다단계 문장제" 표준 그대로입니다.

[1] #2 3.OA.A.1 양 끝 자리에 남학생을 배치하는 경우의 수를 셉니다. 두 남학생을 $B_1, B_2$ 라 하면, 왼쪽 끝에 $B_1$ 이 앉고 오른쪽 끝에 $B

[2] #2 3.OA.A.1 가운데 세 자리에 여학생을 배치하는 경우의 수를 셉니다. 세 여학생을 $G_1, G_2, G_3$ 라 하면, 가운데 왼쪽 자리에 앉을 후보가 $

[3] #7 4.OA.A.3 두 독립 부분을 합칩니다. 남학생 배치 한 가지마다 여학생 배치 $6$ 가지가 모두 가능하므로, 두 경우의 수를 곱합니다.

검토

합리성 확인: 결과의 크기를 가늠해 봅시다. 자리 제약이 전혀 없다면 $5$ 명을 한 줄로 세우는 방법은 $5! = 120$ 가지입니다. 양 끝을 남학생으로 강제하면, 무작위로 줄을 세웠을 때 어느 한쪽 끝이 남학생일 확률은 $\tfrac{2}{5}$, 그 다음 반대쪽 끝이 나머지 남학생일 확률은 $\tfrac{1}{4}$ 이므로, 조건을 만족할 비율은 $\tfrac{2}{5} \times \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{10}$. 실제로 $120 \times \tfrac{1}{10} = 12$ 가 나와 답 (E) 와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 로 선택지를 압축할 수도 있습니다. 남학생 배치는 $2! = 2$ 의 배수, 여학생 배치는 $3! = 6$ 의 배수를 만들어 내므로 전체는 $6$ 의 배수여야 합니다. 선택지 중 $6$ 의 배수는 (D) $6$ 과 (E) $12$ 뿐이고, (D) 는 남학생 배치 인자 $2$ 를 빠뜨린 값이므로 (E) $12$ 로 확정됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.A.1 자연수의 곱을 "같은 크기의 묶음을 모은 것" 으로 해석하기 (각 자리의 선택지 수를 곱해 남학생 배치 $2 \times 1 = 2$, 여학생 배치 $3 \times 2 \times 1 = 6$ 을 구하는 데 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 다단계 문장제 해결 (두 부분 문제의 답(남학생 $2$, 여학생 $6$)을 곱셈 $2 \times 6 = 12$ 로 합쳐 전체 줄서기 수를 구하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 4학년 다단계 곱셈만 알면 풀 수 있어요 — 각 부분을 따로 세고 마지막에 곱해 주면 끝!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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