AMC 8 · 2016 · #17

학년 4 counting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements

permutations-basiccomplementary-countingsystematic-enumeration complementary-countingsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: permutations-basicmulti-digit-arithmetic

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문제

프레드 은행의 ATM 비밀번호는 $0$ 부터 $9$ 까지의 네 자리 숫자로 이루어지며, 숫자 중복은 허용됩니다. 비밀번호가 $9, 1, 1$ 의 순서로 시작해서는 안 된다면, 가능한 비밀번호의 개수는 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$mbox{ }30$

(B)

$mbox{ }7290$

(C)

$mbox{ }9000$

(D)

$mbox{ }9990$

(E)

$mbox{ }9999$

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 비밀번호는 $4$ 자리이고, 각 자리에는 $0$부터 $9$까지 어느 숫자나 올 수 있습니다(중복 허용). 단 한 가지 규칙은, 비밀번호가 $9, 1, 1$ 세 숫자(이 순서)로 시작하면 안 된다는 것입니다. 가능한 비밀번호는 몇 개일까요?

주어진 것: 비밀번호 길이 $= 4$ 자리; 각 자리 = $0, 1, 2, \ldots, 9$ 중 하나 ($10$ 가지); 숫자 중복 허용; 금지: 앞 세 자리가 $9, 1, 1$ (네 번째 자리는 무엇이든); 선택지: (A) $30$, (B) $7290$, (C) $9000$, (D) $9990$, (E) $9999$

구하는 것: $9, 1, 1$ 로 시작하지 않는 $4$ 자리 비밀번호의 개수

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기 (여사건)

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

허용되는 비밀번호를 바로 세려면 첫째 자리 경우를 다 따져야 해서 번거롭습니다. 반면 금지된 비밀번호는 훨씬 적으니, 도구 #16(여사건)으로 "전체 $-$ 금지"를 구하는 게 깔끔합니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 금지된 개수를 확인하는 안전장치로 — $9110, 9111, \ldots, 9119$ 를 차례로 적어 $10$ 개임을 직접 확인합니다.

실행 — 정답: D

#16 관점 바꾸기 (여사건) 4.OA.A.1 단계 1

전체(universe)를 셉니다.
아무 규칙 없는 $4$ 자리 비밀번호는, 각 자리마다 $10$ 가지 선택이 가능하고 자리끼리 독립이므로 곱하면 됩니다.

$$10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10{,}000$$

💡 독립인 자리들의 경우의 수를 곱하는 것은 4학년 곱셈적 사고의 기본입니다.

#16 관점 바꾸기 (여사건) 4.OA.A.1 단계 2

금지된 비밀번호를 셉니다 — $9, 1, 1$ 로 시작하는 경우입니다.
앞 세 자리는 고정($1$ 가지씩), 네 번째 자리는 자유($10$ 가지).

$$1 \times 1 \times 1 \times 10 = 10$$

💡 고정된 자리는 경우의 수 $1$ 로 들어가고, 자유로운 자리는 자기 수만큼 곱해집니다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.A.1 단계 3

도구 #2 로 금지된 개수를 직접 확인합니다.
변하는 건 마지막 자리뿐이므로 순서대로 적습니다.

$$9110, 9111, 9112, 9113, 9114, 9115, 9116, 9117, 9118, 9119 \;\Rightarrow\; 10 \text{ 개}$$

💡 순서대로 나열하면 빠지거나 겹치는 오류를 막을 수 있습니다.

#16 관점 바꾸기 (여사건) 4.NBT.B.4 단계 4

전체에서 금지된 개수를 뺍니다(여사건 단계).

$$10{,}000 - 10 = 9{,}990 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 "허용 $=$ 전체 $-$ 금지" 가 여사건 원리 한 줄 요약입니다.

[1] #16 4.OA.A.1 전체(universe)를 셉니다. 아무 규칙 없는 $4$ 자리 비밀번호는, 각 자리마다 $10$ 가지 선택이 가능하고 자리끼리 독립이므로 곱하면

[2] #16 4.OA.A.1 금지된 비밀번호를 셉니다 — $9, 1, 1$ 로 시작하는 경우입니다. 앞 세 자리는 고정($1$ 가지씩), 네 번째 자리는 자유($10$ 가지

[3] #2 3.OA.A.1 도구 #2 로 금지된 개수를 직접 확인합니다. 변하는 건 마지막 자리뿐이므로 순서대로 적습니다.

[4] #16 4.NBT.B.4 전체에서 금지된 개수를 뺍니다(여사건 단계).

검토

합리성 확인: $10{,}000$ 개 중 금지되는 건 $10$ 개뿐, 즉 $0.1\%$ 입니다. 그러니 허용되는 개수는 $10{,}000$ 보다 아주 살짝 작아야 합니다. 선택지 (D) $9{,}990$ 이 정확히 그렇습니다. (A) $30$ 과 (B) $7290$ 은 너무 작고, (E) $9999$ 는 금지가 단 $1$ 개일 때의 값이지만 네 번째 자리가 $10$ 가지라 금지는 $10$ 개입니다. (C) $9000$ 은 "첫 자리가 $9$ 인 모든 비밀번호 금지" 에 해당하는데, 문제 규칙은 그게 아닙니다.

대안 접근: 여사건을 쓰지 않고 직접 세는 방법: 앞 세 자리 묶음이 $(9, 1, 1)$ 이 아니면 됩니다. 가능한 앞 세 자리 묶음은 $10 \times 10 \times 10 = 1000$ 가지, 그 중 나쁜 묶음은 $1$ 가지이므로 좋은 묶음은 $999$ 가지. 네 번째 자리는 자유라 $\times 10$ 해서 $999 \times 10 = 9{,}990$. 답은 같지만 계산이 한 단계 늘어납니다 — 그래서 도구 #16(여사건)이 더 깔끔한 길입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.A.1 곱셈을 같은 묶음의 반복으로 해석하기 (금지된 비밀번호 $9110, 9111, \ldots, 9119$ 를 나열해 $10$ 개임을 1씩 세어 확인 (3학년 기본 세기).)
4.OA.A.1 곱셈식의 의미 이해 및 곱셈적 사고 (전체 $10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10{,}000$ 과 금지 $1 \times 1 \times 1 \times 10 = 10$ 을 독립 자리들의 곱으로 계산.)
4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈을 표준 알고리즘으로 능숙하게 수행 (마지막 여사건 뺄셈 $10{,}000 - 10 = 9{,}990$ 계산.)

⭐ 안 되는 경우가 몇 개 안 될 때는, 그것만 세서 전체에서 빼면 돼요 — 여사건 트릭, 4학년 곱셈과 뺄셈이면 충분해요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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