AMC 8 · 2016 · #5

학년 4 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

modular-arithmeticdivisibility-rulesplace-value systematic-enumerationdigit-constraints ↑ 선수 지식: place-valuedivisibility-rules

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

$N$ 은 두 자리 자연수입니다.

• $N$ 을 $9$ 로 나눈 나머지는 $1$ 입니다.

• $N$ 을 $10$ 으로 나눈 나머지는 $3$ 입니다.

$N$ 을 $11$ 로 나눈 나머지는 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $N$ 은 두 자리 수입니다. $N$ 을 $9$ 로 나누면 나머지가 $1$ 이고, $10$ 으로 나누면 나머지가 $3$ 입니다. 이때 $N$ 을 $11$ 로 나눈 나머지는 얼마일까요?

주어진 것: $N$ 은 두 자리 자연수 ($10 \le N \le 99$); $N \div 9$ 의 나머지 $= 1$; $N \div 10$ 의 나머지 $= 3$; 선택지: (A) $0$, (B) $2$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $7$

구하는 것: $N$ 을 $11$ 로 나누었을 때의 나머지

이해

주어진 것: $N$ 은 두 자리 자연수 ($10 \le N \le 99$); $N \div 9$ 의 나머지 $= 1$; $N \div 10$ 의 나머지 $= 3$; 선택지: (A) $0$, (B) $2$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $7$

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #3 가능성 지우기, #5 패턴 찾기

"$10$ 으로 나눈 나머지가 $3$" 이라는 조건은 매우 강력합니다 — 일의 자리가 반드시 $3$ 이어야 하므로 후보가 $13, 23, 33, \ldots, 93$ 의 아홉 개로 줄어듭니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 이 후보를 순서대로 적고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 "$9$ 로 나눈 나머지가 $1$" 조건을 적용해 탈락 후보를 지웁니다. $9$ 로 나눈 나머지를 빠르게 확인하기 위해 도구 #5(패턴 찾기)의 자릿수 합 규칙 — 어떤 수의 $9$ 에 대한 나머지는 자릿수 합의 $9$ 에 대한 나머지와 같다 — 을 씁니다. 후보 중 단 하나만 살아남고, 마지막에 $11$ 로 한 번 나누면 끝납니다 — 대수가 필요 없습니다.

실행 — 정답: E

#2 빠짐없이 나열하기 4.NBT.A.2 단계 1

$10$ 으로 나눈 나머지 조건으로 후보를 나열합니다.
$10$ 으로 나눈 나머지가 $3$ 인 수는 정확히 일의 자리가 $3$ 인 수입니다.
일의 자리가 $3$ 인 두 자리 수는 모두 아홉 개입니다: $13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93$.

$$N \in \{13,\, 23,\, 33,\, 43,\, 53,\, 63,\, 73,\, 83,\, 93\}$$

💡 수의 일의 자리 숫자를 바로 읽는 것은 4학년 자릿값 그대로입니다 — $10$ 으로 나눈 나머지가 곧 일의 자리 숫자입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.B.4 단계 2

$9$ 의 배수 판정 패턴을 떠올립니다.
어떤 자연수든, $9$ 로 나눈 나머지는 그 수의 자릿수 합을 $9$ 로 나눈 나머지와 같습니다.
그러므로 각 후보를 일일이 $9$ 로 나누지 않고, 자릿수 합을 구해 "나머지 $1$" 인지만 확인하면 됩니다.

$N \bmod 9 = (\text{$N$ 의 자릿수 합}) \bmod 9$

💡 자릿수 합 단축법을 알아보는 것은 4학년 배수·나누어떨어짐 패턴 — 긴 나눗셈 아홉 번을 아낄 수 있습니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 3

각 후보에 자릿수 합 판정을 적용해, $9$ 로 나눈 나머지가 $1$ 이 아닌 것은 모두 지웁니다.
자릿수 합은 $4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$ 이고, 이를 $9$ 로 나눈 나머지는 $4, 5, 6, 7, 8, 0, 1, 2, 3$ 입니다.
나머지 $1$ 을 주는 후보는 단 하나 — $N = 73$ 뿐입니다.

$$\begin{array}{c|c|c} N & \text{자릿수 합} & \bmod 9 \\ \hline 13 & 4 & 4 \\ 23 & 5 & 5 \\ 33 & 6 & 6 \\ 43 & 7 & 7 \\ 53 & 8 & 8 \\ 63 & 9 & 0 \\ \mathbf{73} & \mathbf{10} & \mathbf{1} \\ 83 & 11 & 2 \\ 93 & 12 & 3 \end{array}$$

💡 짧은 후보 목록을 훑으며 탈락을 표시하는 것은 4학년 "결과에 대한 추론" 형 소거법입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.NBT.B.6 단계 4

이제 $N = 73$ 을 $11$ 로 나눠 문제가 묻는 나머지를 구합니다.
$11 \times 6 = 66$ 이고 $11 \times 7 = 77 > 73$ 이므로 몫은 $6$, 나머지는 $73 - 66 = 7$ 입니다.

$$73 = 11 \times 6 + 7 \;\Rightarrow\; 73 \bmod 11 = 7 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 두 자리 수를 한두 자리 수로 나누어 나머지를 구하는 것은 4학년 긴 나눗셈 표준 그대로입니다.

[1] #2 4.NBT.A.2 $10$ 으로 나눈 나머지 조건으로 후보를 나열합니다. $10$ 으로 나눈 나머지가 $3$ 인 수는 정확히 일의 자리가 $3$ 인 수입니다. 일

[2] #5 4.OA.B.4 $9$ 의 배수 판정 패턴을 떠올립니다. 어떤 자연수든, $9$ 로 나눈 나머지는 그 수의 자릿수 합을 $9$ 로 나눈 나머지와 같습니다. 그러

[3] #3 4.OA.A.3 각 후보에 자릿수 합 판정을 적용해, $9$ 로 나눈 나머지가 $1$ 이 아닌 것은 모두 지웁니다. 자릿수 합은 $4, 5, 6, 7, 8, 9

[4] #2 4.NBT.B.6 이제 $N = 73$ 을 $11$ 로 나눠 문제가 묻는 나머지를 구합니다. $11 \times 6 = 66$ 이고 $11 \times 7 = 7

검토

합리성 확인: $N = 73$ 을 원래 조건 두 개에 다시 대입해 봅니다. $73 = 9 \times 8 + 1$ ✓ ($9$ 로 나눈 나머지 $1$), $73 = 10 \times 7 + 3$ ✓ ($10$ 으로 나눈 나머지 $3$). 둘 다 맞으므로 $N = 73$ 이 옳고, $73 \div 11 = 6 \cdots 7$ 은 선택지 (E) 와 일치합니다. 나머지 $7$ 은 $\{0, 1, \ldots, 10\}$ 안에 있어 $\bmod 11$ 의 나머지가 가질 수 있는 범위에도 맞습니다 — 크기도 자연스럽습니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 $9$ 쪽부터 접근할 수도 있습니다. $9$ 로 나눈 나머지가 $1$ 인 수는 $10, 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91$ 입니다. 이 중 일의 자리가 $3$ 인 수를 고르면 $73$ 하나뿐 — 같은 답 $N = 73$ 이 나옵니다. 이후 $73 \bmod 11 = 7 \Rightarrow$ (E). 어느 쪽으로 나열·필터링해도 결국 도구 #2 와 도구 #3 의 조합입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.A.2 10진 자릿값을 이용한 여러 자릿수 자연수의 읽기·쓰기 ("$10$ 으로 나눈 나머지가 $3$" 이라는 조건이 곧 "일의 자리가 $3$" 임을 인식해 두 자리 수 후보를 $90$ 개에서 $9$ 개로 줄이는 데 사용.)
4.OA.B.4 약수의 짝과 배수, 소수·합성수 판정 ($9$ 의 배수 판정 패턴(자릿수 합 $\bmod 9$) 을 활용해 후보 아홉 개에 대한 긴 나눗셈 없이 두 번째 조건을 검사.)
4.OA.A.3 자연수의 사칙연산을 이용한 여러 단계 문장제 해결 (후보 아홉 개에 자릿수 합 판정을 차례로 적용해, 조건을 만족하는 유일한 수 $N = 73$ 을 남기는 다단계 추론.)
4.NBT.B.6 여러 자릿수 피제수의 자연수 몫과 나머지 구하기 (최종 답을 얻기 위해 $73 \div 11 = 6 \cdots 7$ 을 직접 계산.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년에서 배우는 일의 자리 자릿값, $9$ 배수의 자릿수 합 규칙, 그리고 기본 나눗셈만으로 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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