AMC 8 · 2016 · #7

학년 8 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

perfect-squaresexponentsprime-factorizationparity systematic-enumerationeasier-related-problem ↑ 선수 지식: exponentsperfect-squares

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

다음 수 중에서 완전제곱수가 아닌 것은 어느 것일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$1^{2016}$

(B)

$2^{2017}$

(C)

$3^{2018}$

(D)

$4^{2019}$

(E)

$5^{2020}$

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다섯 수 $1^{2016}$, $2^{2017}$, $3^{2018}$, $4^{2019}$, $5^{2020}$ 중에서 완전제곱수가 아닌 것은 단 하나입니다. 어느 것일까요?

주어진 것: 선택지 (A) $= 1^{2016}$; 선택지 (B) $= 2^{2017}$; 선택지 (C) $= 3^{2018}$; 선택지 (D) $= 4^{2019}$; 선택지 (E) $= 5^{2020}$; 완전제곱수란 어떤 정수 $k$ 에 대해 $k^2$ 꼴로 쓸 수 있는 정수

구하는 것: 다섯 선택지 중 완전제곱수가 아닌 단 하나의 선택지

이해

문제 재정리: 다섯 수 $1^{2016}$, $2^{2017}$, $3^{2018}$, $4^{2019}$, $5^{2020}$ 중에서 완전제곱수가 아닌 것은 단 하나입니다. 어느 것일까요?

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

선택지가 다섯 개이고 각각에 "완전제곱이냐" 만 따지면 되므로, 도구 #3(가능성 지우기)이 가장 자연스러운 출발점입니다. 판정 기준은 도구 #5(패턴 찾기) 로 얻습니다 — $2^2, 2^3, 2^4, 2^5$ 같은 작은 경우를 직접 확인해 보면 "소수 $a$ 의 거듭제곱 $a^n$ 이 완전제곱 $\iff n$ 이 짝수" 라는 규칙이 보입니다 ($a^{2k} = (a^k)^2$ 이기 때문). 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 이 규칙을 작은 지수에서 먼저 확인해 안심하고 $2016$–$2020$ 에 적용하게 해 줍니다. 함정은 (D) — 밑 $4$ 가 소수가 아니므로, 소수 밑으로 지수 규칙을 쓰기 전에 $4 = 2^2$ 으로 먼저 바꿔야 합니다.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.EE.A.1 단계 1

작은 경우로 판정 기준을 세웁니다 (도구 #9).
밑이 $2$ 일 때: $2^2 = 4 = 2^2$ (제곱수), $2^3 = 8$ (아님), $2^4 = 16 = 4^2$ (제곱수), $2^5 = 32$ (아님).
즉 $2^n$ 은 $n$ 이 짝수일 때만 완전제곱입니다.
같은 논리가 어떤 소수 $p$ 에 대해서도 성립합니다 — $p^{2k} = (p^k)^2$ 은 제곱수, $p^{\text{홀수}}$ 는 아님.

$$p^n \text{ 이 완전제곱} \iff n \text{ 이 짝수} \quad (p \text{ 는 소수})$$

💡 $n = 2, 3, 4, 5$ 를 밑 $2$ 에서 직접 따져 보면 "짝수 지수 규칙" 이 추상적인 증명 없이도 눈에 보입니다 — 정확히 작은 경우로 줄이기.

#3 가능성 지우기 6.EE.A.1 단계 2

(A) 제거.
$1^{2016} = 1 = 1^2$.
완전제곱입니다.
(A) 지움.

$$1^{2016} = 1 = 1^2 \checkmark$$

💡 $1$ 의 거듭제곱은 항상 $1$, 그리고 $1 = 1^2$ 이므로 당연히 제곱수.

#3 가능성 지우기 6.EE.A.1 단계 3

(B) 판정.
밑 $2$ 는 소수, 지수 $2017$ 은 홀수.
1단계 규칙에 의해 $2^{2017}$ 은 완전제곱이 아닙니다.
일단 정답 후보지만, 다른 셋도 끝까지 확인해 "하나만" 임을 보장합니다.

$$2^{2017}: \; 2 \text{ 소수}, \; 2017 \text{ 홀수} \;\Rightarrow\; \text{완전제곱 아님}$$

💡 소수 밑에 지수가 홀수면, 소인수들을 똑같은 두 묶음으로 나눌 수 없습니다.

#3 가능성 지우기 6.EE.A.1 단계 4

(C) 제거.
밑 $3$ 은 소수, 지수 $2018$ 은 짝수이므로 $3^{2018} = (3^{1009})^2$.
완전제곱입니다.
(C) 지움.

$$3^{2018} = (3^{1009})^2 \checkmark$$

💡 지수의 절반이 곧 그 수의 제곱근의 지수입니다.

#3 가능성 지우기 8.EE.A.1 단계 5

(D) 제거 — 함정 선택지.
밑 $4$ 는 소수가 아니므로 겉의 지수 $2019$(홀수)만 보고 판단하면 안 됩니다.
$4 = 2^2$ 으로 바꿔서 거듭제곱의 거듭제곱 법칙 $(a^m)^n = a^{mn}$ 을 적용합니다 — $4^{2019} = (2^2)^{2019} = 2^{4038}$.
이제 소수 밑의 지수는 $4038$, 짝수이므로 $4^{2019} = (2^{2019})^2$.
완전제곱입니다.
(D) 지움.

$$4^{2019} = (2^2)^{2019} = 2^{4038} = (2^{2019})^2 \checkmark$$

💡 밑 자체가 이미 제곱수면, 바깥 지수가 무엇이든 결과는 자동으로 제곱수입니다.

#3 가능성 지우기 6.EE.A.1 단계 6

(E) 제거.
밑 $5$ 는 소수, 지수 $2020$ 은 짝수이므로 $5^{2020} = (5^{1010})^2$.
완전제곱입니다.
(E) 지움.
남은 것은 (B) 뿐.

$$5^{2020} = (5^{1010})^2 \checkmark \;\Rightarrow\; \text{정답: } \textbf{(B)}$$

💡 다섯 중 넷이 모두 제곱수, 마지막으로 남는 (B) 가 정답.

[1] #9 6.EE.A.1 작은 경우로 판정 기준을 세웁니다 (도구 #9). 밑이 $2$ 일 때: $2^2 = 4 = 2^2$ (제곱수), $2^3 = 8$ (아님), $

[2] #3 6.EE.A.1 (A) 제거. $1^{2016} = 1 = 1^2$. 완전제곱입니다. (A) 지움.

[3] #3 6.EE.A.1 (B) 판정. 밑 $2$ 는 소수, 지수 $2017$ 은 홀수. 1단계 규칙에 의해 $2^{2017}$ 은 완전제곱이 아닙니다. 일단 정답 후보

[4] #3 6.EE.A.1 (C) 제거. 밑 $3$ 은 소수, 지수 $2018$ 은 짝수이므로 $3^{2018} = (3^{1009})^2$. 완전제곱입니다. (C) 지움

[5] #3 8.EE.A.1 (D) 제거 — 함정 선택지. 밑 $4$ 는 소수가 아니므로 겉의 지수 $2019$(홀수)만 보고 판단하면 안 됩니다. $4 = 2^2$ 으로

[6] #3 6.EE.A.1 (E) 제거. 밑 $5$ 는 소수, 지수 $2020$ 은 짝수이므로 $5^{2020} = (5^{1010})^2$. 완전제곱입니다. (E) 지움

검토

합리성 확인: 소인수분해로 다시 확인합니다. (A) $1$ 은 모든 소수의 지수가 $0$ (짝수). (C) $3^{2018}$ 은 소수 $3$ 의 지수가 짝수 $2018$. (D) $4^{2019} = 2^{4038}$ 은 소수 $2$ 의 지수가 짝수 $4038$. (E) $5^{2020}$ 은 소수 $5$ 의 지수가 짝수 $2020$. 네 개 모두 "모든 소수 지수가 짝수" 조건을 통과합니다. 오직 (B) $2^{2017}$ 만 소수 $2$ 의 지수가 홀수라 $k^2$ 꼴로 쓸 수 없습니다. 답 (B) 와 일치.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) 만으로도 한 번에 보입니다 — 지수들이 $2016, 2017, 2018, 2019, 2020$ 으로 짝·홀·짝·홀·짝 패턴이고, 밑은 $1, 3, 5$ 가 홀수(소수), $2, 4$ 가 짝수입니다. "소수 밑 $\times$ 홀수 지수" 조합은 $2^{2017}$ 단 하나뿐입니다 ($4 = 2^2$ 은 변환 후 짝수 지수가 됨). 따라서 (B) 가 패턴상 유일한 예외입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.1 자연수 지수를 포함한 수식의 작성과 계산 (각 선택지 $a^n$ 을 반복 곱셈으로 읽고, $(a^k)^2 = a^{2k}$ 꼴로 다시 묶을 수 있는지 판단하는 데 사용 — 6학년 수준의 지수 표기 입문.)
8.EE.A.1 정수 지수의 성질을 알고 동등한 수식을 만들기 ((D) 를 거듭제곱의 거듭제곱 법칙으로 다시 쓰는 데 사용 — $4^{2019} = (2^2)^{2019} = 2^{2 \cdot 2019} = 2^{4038}$. 홀수였던 겉 지수가 소수 밑 위에서 짝수 지수로 바뀜.)

⭐ 소수의 거듭제곱은 지수가 홀수면 절대 완전제곱이 될 수 없습니다 — 이 8학년 지수 규칙 하나만으로 (A)–(E) 중 "튀는 하나" 를 골라낼 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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