AMC 8 · 2017 · #23

학년 4 rate-rationumber-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

ratefactorssequences-arithmeticdivisibility-rules systematic-enumerationguess-and-check ↑ 선수 지식: ratefactorssequences-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

린다는 나흘 동안 매일 한 시간씩 일정한 속도로 이동했고, 그 속도는 $1$ 마일을 가는 데 정수 분(分)이 걸리는 속도였습니다. 첫째 날 이후부터는 매일 속도가 느려져서, $1$ 마일을 가는 데 걸리는 시간이 전날보다 $5$ 분씩 늘어났습니다. 그리고 나흘 모두 하루에 이동한 거리(마일) 역시 정수였습니다. 나흘 동안 이동한 거리의 합은 모두 몇 마일입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 린다는 나흘 동안 매일 정확히 $1$ 시간($= 60$ 분)씩 걷습니다. 첫째 날에는 $1$ 마일을 가는 데 자연수 분($m_1$)이 걸리고, 다음 날부터는 $1$ 마일에 걸리는 시간이 매일 $5$ 분씩 길어집니다(둘째 날은 $m_1 + 5$ 분/마일, 셋째 날 $m_1 + 10$, 넷째 날 $m_1 + 15$). 매일 걸은 거리 또한 자연수 마일이라고 할 때, 네 날 동안 걸은 거리의 합을 구하시오.

주어진 것: 매일 걷는 시간 = $60$ 분 ($1$ 시간); $k$ 일째의 페이스 = $m_1 + 5(k-1)$ 분/마일 ($k = 1, 2, 3, 4$); $m_1$ 은 양의 정수; $k$ 일째의 거리 $d_k = 60 / (m_1 + 5(k-1))$ 역시 양의 정수; 선택지: (A) $10$, (B) $15$, (C) $25$, (D) $50$, (E) $82$

구하는 것: 나흘 동안 걸은 총 거리 $d_1 + d_2 + d_3 + d_4$

이해

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #8 단위 살펴보기

거리가 자연수여야 한다는 조건 때문에 마일당 시간은 반드시 $60$ 의 약수여야 합니다. $60$ 의 약수는 총 $12$ 개밖에 안 되므로, 먼저 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 약수를 빠짐없이 적고, 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 $m_1 = 1, 2, 3, \dots$ 을 차례대로 대입하며 "$m_1, m_1+5, m_1+10, m_1+15$ 가 모두 약수에 속하는가?" 를 확인합니다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 $\text{거리} = \dfrac{60 \text{ 분}}{m \text{ 분/마일}}$ 의 단위가 "마일" 로 깔끔히 떨어지는지 보장해 줍니다.

실행 — 정답: C

#8 단위 살펴보기 4.MD.A.2 단계 1

매일 거리 공식을 세웁니다.
$60$ 분 동안 마일당 $m$ 분의 페이스로 걸으면 $60 / m$ 마일을 갑니다.
이 값이 자연수가 되려면 $m$ 이 $60$ 의 약수여야 합니다.

$$d_k = \dfrac{60 \text{ 분}}{m_k \text{ 분/마일}} = \dfrac{60}{m_k} \text{ 마일}$$

💡 분 $\div$ (분/마일) 에서 "분" 이 약분되고 "마일" 만 남는 것은 4학년 거리·시간 문장제 그대로입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 2

$60$ 의 약수를 작은 수부터 모두 적습니다.
이 $12$ 개가 $m_1, m_1+5, m_1+10, m_1+15$ 가 가질 수 있는 후보의 전부입니다.

$60$ 의 약수: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60$

💡 $60$ 의 약수쌍을 빠짐없이 나열하는 것은 4학년 약수 찾기 표준이며, 시스템적 나열로 빠뜨림을 막습니다.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.C.5 단계 3

$m_1$ 을 $1$ 부터 차례로 시험합니다.
네 페이스는 공차 $5$ 인 등차수열을 이루므로, 약수 사다리에서 "$5$ 칸씩 뛰어 네 칸 연속" 으로 들어맞는 시작점을 찾으면 됩니다.

$$m_1{=}1\!:\,(1,6,11,16)\,\text{✗}\;\; m_1{=}2\!:\,(2,7,12,17)\,\text{✗}\;\; m_1{=}3\!:\,(3,8,13,18)\,\text{✗}\;\; m_1{=}4\!:\,(4,9,14,19)\,\text{✗}\;\; m_1{=}5\!:\,(5,10,15,20)\,\text{✓}$$

💡 "$+5$ 규칙" 으로 수열을 만들고 각 항이 $60$ 의 약수인지 확인하는 일은 4학년 "규칙을 따라 수 패턴 만들기" 그 자체입니다.

#8 단위 살펴보기 3.OA.C.7 단계 4

$m_1 = 5$ 가 정해졌으니 1단계의 공식으로 매일 거리를 계산합니다.
페이스 $5, 10, 15, 20$ 분/마일은 각각 $12, 6, 4, 3$ 마일이 됩니다.

$$d_1=\tfrac{60}{5}=12,\;\; d_2=\tfrac{60}{10}=6,\;\; d_3=\tfrac{60}{15}=4,\;\; d_4=\tfrac{60}{20}=3$$

💡 $60$ 을 한 자리·두 자리 약수로 나누는 것은 3학년 "100 이내의 곱셈·나눗셈 유창성" 입니다.

#8 단위 살펴보기 4.NBT.B.4 단계 5

네 거리의 합을 구해 선택지와 맞춰 봅니다.

$$12 + 6 + 4 + 3 = 25 \text{ 마일} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 작은 자연수 네 개를 더하는 것은 4학년 "여러 자릿수 덧셈 유창성" 표준입니다.

[1] #8 4.MD.A.2 매일 거리 공식을 세웁니다. $60$ 분 동안 마일당 $m$ 분의 페이스로 걸으면 $60 / m$ 마일을 갑니다. 이 값이 자연수가 되려면 $m

[2] #2 4.OA.B.4 $60$ 의 약수를 작은 수부터 모두 적습니다. 이 $12$ 개가 $m_1, m_1+5, m_1+10, m_1+15$ 가 가질 수 있는 후보의

[3] #6 4.OA.C.5 $m_1$ 을 $1$ 부터 차례로 시험합니다. 네 페이스는 공차 $5$ 인 등차수열을 이루므로, 약수 사다리에서 "$5$ 칸씩 뛰어 네 칸 연속

[4] #8 3.OA.C.7 $m_1 = 5$ 가 정해졌으니 1단계의 공식으로 매일 거리를 계산합니다. 페이스 $5, 10, 15, 20$ 분/마일은 각각 $12, 6, 4

[5] #8 4.NBT.B.4 네 거리의 합을 구해 선택지와 맞춰 봅니다.

검토

합리성 확인: 결과의 현실성을 점검해 봅시다. 첫날 $5$ 분/마일은 시속 $12$ 마일의 가벼운 달리기, 넷째 날 $20$ 분/마일은 시속 $3$ 마일의 보통 걸음입니다. 페이스가 느려질수록 거리는 $12 \to 6 \to 4 \to 3$ 으로 줄어드는데, 시간이 매일 같고 페이스만 길어지므로 자연스러운 흐름입니다. 합 $25$ 마일은 선택지 (C) 와 일치하고, 가까운 다른 후보 ($50$) 가 되려면 모든 거리가 두 배여야 하는데 $m_1 = 10$ 이면 수열이 $(10, 15, 20, 25)$ 가 되고 $25$ 는 $60$ 의 약수가 아니므로 다른 해는 존재하지 않습니다. 답은 유일하게 (C).

대안 접근: 도구 #15(다르게 정리하기) 로 더 빠르게 풀 수 있습니다. $60$ 의 약수 $12$ 개를 수직선 위에 점으로 찍어 두고, "$5$ 간격으로 네 점이 연속" 인 구간을 한눈에 찾으면 $5, 10, 15, 20$ 만이 조건을 만족합니다 ($25, 35, 45$ 가 약수가 아니어서 다른 후보는 즉시 탈락). 한 줄짜리 그림이 모든 후보 비교를 대신해 줍니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.C.7 100 이내의 곱셈·나눗셈 유창성 ($60$ 을 각 페이스($5, 10, 15, 20$) 로 나누어 매일 거리 $12, 6, 4, 3$ 을 구하는 데 사용.)
4.MD.A.2 거리, 시간, 액체의 부피, 돈을 포함한 문장제 해결 ($\text{거리} = 60 \text{ 분} \div (m \text{ 분/마일})$ 식을 세워 마일당 페이스를 일일 거리로 환산.)
4.OA.B.4 약수쌍 모두 찾기, 배수 인식, 소수·합성수 판별 ($60$ 의 모든 약수를 나열해 자연수 페이스로 허용되는 값이 무엇인지 확인.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따라 수 또는 도형 패턴 만들기 (각 후보 $m_1$ 에 대해 $m_1, m_1+5, m_1+10, m_1+15$ 등차수열을 만들고, 네 항이 모두 $60$ 의 약수인지 검증.)
4.NBT.B.4 여러 자릿수 덧셈·뺄셈 유창성 (네 거리의 합 $12 + 6 + 4 + 3 = 25$ 를 계산.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 약수 찾기와 규칙대로 수열 만들기만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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