AMC 8 · 2017 · #8

• 두 자리 수라는 조건 아래에서 네 문장 사이의 모순을 찾습니다.
• (1) "소수" 와 (2) "짝수" 가 동시에 참이려면 그 수는 짝수인 소수, 즉 $2$ 여야 하지만 $2$ 는 한 자리 수입니다.
• 따라서 (1) 과 (2) 는 동시에 참일 수 없습니다.

💡 짝수인 소수가 $2$ 뿐이라는 사실은 4학년 "약수·배수 인식, 소수·합성수 판별" 의 기본 사용 사례입니다.

• 같은 방식으로 (1) 과 (3) 도 충돌합니다.
• 소수이면서 $7$ 의 배수인 수는 $7$ 하나뿐인데, $7$ 역시 한 자리 수입니다.
• 따라서 (1) 과 (3) 도 동시에 참일 수 없습니다.

💡 $7$ 의 배수가 소수가 되는 경우를 따지는 것도 4학년 약수·배수와 소수 판별 그대로입니다.

• 이 두 모순을 이용해 거짓 문장을 좁힙니다.
• 만약 (1) 이 참이라면 1·2단계에 의해 (2) 와 (3) 이 모두 거짓이어야 하는데, 그러면 거짓이 두 개가 되어 "정확히 하나만 거짓" 이라는 조건에 어긋납니다.
• 따라서 거짓인 단 하나의 문장은 (1) 이고, (2)·(3)·(4) 는 모두 참입니다.

💡 "(1) 이 참" 이라는 가능성을 지우면 "(1) 이 거짓" 만 남는, 유한한 경우의 가능성 지우기 그대로입니다.

• 참으로 남은 세 문장을 후보 찾기로 옮깁니다.
• 짝수이면서 $7$ 의 배수이므로 그 수는 $\mathrm{lcm}(2,7) = 14$ 의 배수입니다.
• 두 자리 수 범위에서 $14$ 의 배수를 도구 #2 로 순서대로 빠짐없이 나열합니다.

💡 $10$~$99$ 범위에서 $14$ 의 배수를 적는 것은 4학년 "배수 인식" 활동입니다.

• 마지막 참 문장 (4) 를 적용합니다.
• 자릿수 중 하나가 $9$ 여야 하는데, 목록 $\{14, 28, 42, 56, 70, 84, 98\}$ 에서 $9$ 를 포함하는 수는 $98$ 뿐입니다.
• 따라서 집 번호는 $98$ 이고, 일의 자리 숫자는 $8$ 입니다.

💡 두 자리 수에서 일의 자리(낱개) 숫자를 읽어내는 것은 1학년 자릿값 표준 그대로입니다.