AMC 8 · 2018 · #14
학년 4 number-theory문제
각 자리 숫자의 곱이 120인 다섯 자리 수 중 가장 큰 수를 N이라 합시다. N의 각 자리 숫자의 합은 얼마입니까?
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AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 다섯 자리 수들 중 각 자릿수의 곱이 $120$ 이 되는 수를 모두 떠올리고, 그중 가장 큰 수 $N$ 을 찾아 $N$ 의 자릿수의 합을 구하는 문제입니다.
주어진 것: $N$ 은 정확히 $5$ 자리 수 ($10000 \le N \le 99999$); $N$ 의 다섯 자릿수를 모두 곱하면 $120$; 선택지: (A) $15$, (B) $16$, (C) $17$, (D) $18$, (E) $20$
구하는 것: 조건을 만족하는 가장 큰 다섯 자리 수 $N$ 의 자릿수의 합
이해
문제 재정리: 다섯 자리 수들 중 각 자릿수의 곱이 $120$ 이 되는 수를 모두 떠올리고, 그중 가장 큰 수 $N$ 을 찾아 $N$ 의 자릿수의 합을 구하는 문제입니다.
주어진 것: $N$ 은 정확히 $5$ 자리 수 ($10000 \le N \le 99999$); $N$ 의 다섯 자릿수를 모두 곱하면 $120$; 선택지: (A) $15$, (B) $16$, (C) $17$, (D) $18$, (E) $20$
계획
주요 도구: #6 추측하고 확인하기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
여러 자리 수를 가장 크게 만들려면 왼쪽(자릿값이 큰 자리) 숫자가 가장 중요하고, 그 다음 자리, 그 다음 자리 순서로 중요합니다. 그래서 도구 #6(추측하고 확인하기) 을 한 자리씩 적용합니다 — 가장 큰 후보 ($9$, 그다음 $8$, $7$, \ldots) 를 차례로 시도해서, 남은 자릿수들의 곱이 "남은 목표 곱" 과 맞아떨어지는 첫 번째 숫자를 채택합니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 전체 문제를 다섯 개의 "한 자리 골라잡기" 작은 문제로 나눠 줍니다 — $d_1$ 을 고르고 나면 남은 네 자리는 곱이 $120 / d_1$ 인 작은 문제, 그다음은 곱이 그것을 다시 나눈 값인 작은 문제, 식으로요. 미리 $120 = 2^3 \times 3 \times 5$ 로 소인수분해해 두면 약수 판정이 즉시 됩니다.
실행 — 정답: D
4.OA.B.4 단계 1 - $120$ 을 소인수분해해서 한 자리 약수가 무엇인지 빠르게 파악합니다.
- $120 = 8 \times 15 = 2^3 \times 3 \times 5$.
- 그러므로 $120$ 을 나누는 한 자리 숫자는 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}$ 뿐이며, $7$ 과 $9$ 는 $120$ 의 약수가 아닙니다.
💡 약수 쌍을 찾고 소인수를 알아보는 것은 4학년 과정입니다.
4.OA.B.4 단계 2 - 만의 자리 $d_1$ 을 가능한 한 크게 정합니다.
- $9$ 를 시도: $120 \div 9$ 는 자연수가 아니므로 실패.
- $8$ 을 시도: $120 \div 8 = 15$ 로 자연수입니다.
- 그래서 $d_1 = 8$ 로 정하고, 남은 네 자리의 곱은 $15$ 가 되어야 합니다.
💡 어떤 한 자리 숫자가 $120$ 을 나누는지 따져 보는 것은 4학년 약수·배수 추론입니다.
3.OA.C.7 단계 3 - 남은 곱이 $15$ 일 때 천의 자리 $d_2$ 를 가능한 한 크게 정합니다.
- $9, 8, 7, 6$ 은 모두 $15$ 를 나누지 못합니다.
- $5$ 를 시도: $15 \div 5 = 3$ 이 됩니다.
- 그래서 $d_2 = 5$ 로 정하고, 남은 세 자리의 곱은 $3$ 이 되어야 합니다.
💡 $15 = 3 \times 5$ 를 떠올리는 것은 3학년 곱셈·나눗셈 기본기입니다.
3.OA.C.7 단계 4 - 백의 자리 $d_3$ 를 정합니다.
- 남은 곱이 $3$ 이고, $3$ 의 가장 큰 한 자리 약수는 $3$ 자체입니다.
- 그래서 $d_3 = 3$, 남은 두 자리의 곱은 $3 \div 3 = 1$ 이 됩니다.
💡 $3$ 을 $3$ 으로 나누는 것은 3학년 나눗셈 기본기입니다.
4.NBT.A.2 단계 5 - 마지막 두 자리 ($d_4, d_5$) 의 곱은 $1$ 이어야 합니다.
- 한 자리 숫자로 곱해서 $1$ 이 되는 유일한 경우는 $1 \times 1$ 이므로 $d_4 = 1, d_5 = 1$.
- 따라서 다섯 자릿수는 $\{8, 5, 3, 1, 1\}$ 이고, 가장 큰 수가 되도록 큰 숫자부터 큰 자릿값에 배치하면 $N = 85311$ 입니다.
💡 큰 숫자를 큰 자릿값에 두어 수를 가장 크게 만드는 것은 4학년 "다자리수 자릿값 비교" 입니다.
2.NBT.B.5 단계 6 $N = 85311$ 의 자릿수를 모두 더해서 문제에서 묻는 합을 구합니다.
💡 한 자리 숫자 몇 개를 더하는 것은 2학년 "100 안에서의 덧셈" 입니다.
4.OA.B.4 $120$ 을 소인수분해해서 한 자리 약수가 무엇인지 빠르게 파악합니다. $120 = 8 \times 15 = 2^3 \times 3 \time 4.OA.B.4 만의 자리 $d_1$ 을 가능한 한 크게 정합니다. $9$ 를 시도: $120 \div 9$ 는 자연수가 아니므로 실패. $8$ 을 시도: $1 3.OA.C.7 남은 곱이 $15$ 일 때 천의 자리 $d_2$ 를 가능한 한 크게 정합니다. $9, 8, 7, 6$ 은 모두 $15$ 를 나누지 못합니다. $ 3.OA.C.7 백의 자리 $d_3$ 를 정합니다. 남은 곱이 $3$ 이고, $3$ 의 가장 큰 한 자리 약수는 $3$ 자체입니다. 그래서 $d_3 = 3$, 4.NBT.A.2 마지막 두 자리 ($d_4, d_5$) 의 곱은 $1$ 이어야 합니다. 한 자리 숫자로 곱해서 $1$ 이 되는 유일한 경우는 $1 \times 2.NBT.B.5 $N = 85311$ 의 자릿수를 모두 더해서 문제에서 묻는 합을 구합니다. 검토
합리성 확인: 먼저 자릿수 곱을 확인합니다 — $8 \times 5 \times 3 \times 1 \times 1 = 40 \times 3 = 120$ 으로 일치합니다. $85311$ 보다 더 큰 다섯 자리 수 $N'$ 이 자릿수 곱 $120$ 을 만족할 수 있을까요? 그러려면 만의 자리가 $9$ 여야 하는데 $9$ 가 $120$ 의 약수가 아니어서 남은 네 자릿수의 곱이 자연수가 될 수 없습니다 — 불가능. 그러므로 $85311$ 이 정말로 가장 큰 수이고 자릿수의 합 $8+5+3+1+1 = 18$ 은 선택지 (D) 와 일치합니다.
대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 접근하기. $\{1, \ldots, 9\}$ 에서 곱이 $120$ 인 다섯 자리 숫자 묶음(중복 허용 다중집합) 을 모두 나열해 봅니다 — 예: $\{8,5,3,1,1\}$, $\{6,5,4,1,1\}$, $\{6,5,2,2,1\}$, $\{5,4,3,2,1\}$, $\{5,3,2,2,2\}$ 등. 각 묶음으로 만들 수 있는 가장 큰 수는 큰 숫자부터 내림차순으로 배치한 것이고, 이들을 비교 ($85311, 65411, 65221, 54321, 53222$) 하면 $85311$ 이 가장 큰 수임이 다시 확인됩니다 — 자릿수 합은 똑같이 $18$.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
2.NBT.B.5100 이내에서 자유롭게 덧셈·뺄셈하기 ($N$ 의 다섯 자릿수를 더해 ($8 + 5 + 3 + 1 + 1 = 18$) 최종 답을 구하는 데 사용.)3.OA.C.7100 이내에서 자유롭게 곱셈·나눗셈하기 (각 자리에서 숫자를 정한 뒤 남은 목표 곱을 줄이는 계산 ($120 / 8 = 15$, $15 / 5 = 3$, $3 / 3 = 1$) 에 사용.)4.OA.B.4약수 쌍 찾기, 배수 알아보기, 소수·합성수 판정 ($120 = 2^3 \times 3 \times 5$ 로 소인수분해하고, $1$ \text{부터} $9$ 까지의 어떤 한 자리 숫자가 $120$ 또는 $15$ 를 나누는지 판정하는 데 사용.)4.NBT.A.2다자리 자연수를 읽고 쓰며 기호로 크기 비교하기 (자릿값 개념으로 "큰 숫자를 큰 자릿값에 두면 더 큰 수" 라는 사실에서 $\{8,5,3,1,1\}$ 을 $85311$ 로 배치해야 가장 크다는 논거를 세우는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 약수와 자릿값만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 약수와 자릿값만 알면 풀 수 있어요!
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