AMC 8 · 2018 · #21

학년 6 number-theory

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Floor Count Across Residue Bins

modular-arithmeticlcmdivisibility-rulespattern-recognition pattern-recognitionmodular-arithmeticsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: modular-arithmeticlcm

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

6으로 나누면 나머지가 2이고, 9로 나누면 나머지가 5이며, 11로 나누면 나머지가 7인 양의 세 자리 정수는 몇 개입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $6$ 으로 나누면 나머지가 $2$, $9$ 로 나누면 나머지가 $5$, $11$ 로 나누면 나머지가 $7$ 인 세 자리 양의 정수 $N$ ($100 \le N \le 999$) 이 모두 몇 개인지 세는 문제입니다. 세 조건을 동시에 만족해야 합니다.

주어진 것: $N$ 을 $6$ 으로 나눈 나머지 $= 2$; $N$ 을 $9$ 로 나눈 나머지 $= 5$; $N$ 을 $11$ 로 나눈 나머지 $= 7$; $N$ 은 세 자리 양의 정수 ($100 \le N \le 999$); 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

구하는 것: 세 가지 나머지 조건을 모두 만족하는 세 자리 양의 정수 $N$ 의 개수

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

세 조건을 그대로 보면 복잡해 보이지만, 각 "나누는 수$-$나머지" 를 계산하면 $6 - 2 = 4$, $9 - 5 = 4$, $11 - 7 = 4$ 로 모두 같은 $4$ 가 나옵니다. 이건 도구 #5(패턴 찾기) 가 알려주는 신호입니다 — 매번 $N$ 은 각 나누는 수의 배수보다 정확히 $4$ 만큼 작다는 뜻이고, 따라서 $N + 4$ 는 $6$, $9$, $11$ 의 공배수입니다. 즉 $N + 4$ 는 $\operatorname{lcm}(6, 9, 11) = 198$ 의 배수여야 합니다. 일단 $N = 198k - 4$ 라는 공식이 나오면, 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 $k = 1, 2, 3, \ldots$ 를 차례대로 대입해 세 자리 범위에 들어오는 값만 골라 세면 끝입니다.

실행 — 정답: E

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.6 단계 1

세 조건에 숨어 있는 패턴을 찾습니다.
나누는 수 $d$ 와 나머지 $r$ 에 대해 $d - r$ 을 계산해 보면 $6 - 2 = 4$, $9 - 5 = 4$, $11 - 7 = 4$ — 모두 $4$ 로 같습니다.
즉 $N$ 은 항상 각 나누는 수의 배수보다 $4$ 만큼 작고, 바꿔 말하면 $N + 4$ 가 $6$, $9$, $11$ 모두의 배수입니다.

$$6 - 2 = 9 - 5 = 11 - 7 = 4 \;\Rightarrow\; N + 4 \text{ 는 } 6, 9, 11 \text{ 의 배수}$$

💡 "나누는 수$-$나머지" 는 $N$ 이 다음 배수까지 얼마나 모자라는지를 알려주는 4학년 나눗셈 감각입니다.

#5 패턴 찾기 6.NS.B.4 단계 2

$6$, $9$, $11$ 모두의 배수가 되는 가장 작은 수, 즉 최소공배수를 구합니다.
소인수분해하면 $6 = 2 \times 3$, $9 = 3^{2}$, $11 = 11$ 이므로 각 소인수의 가장 큰 지수를 모아 $2 \times 3^{2} \times 11 = 198$ 을 얻습니다.
따라서 $N + 4$ 는 $198$ 의 배수입니다.

$$\operatorname{lcm}(6, 9, 11) = 2 \times 3^{2} \times 11 = 198$$

💡 세 가지 약수 조건을 최소공배수 하나로 묶어내는 것이 바로 6학년 LCM 표준의 역할입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3

일반형을 씁니다.
$N + 4$ 가 $198$ 의 양의 배수이므로 양의 정수 $k$ 를 써서 $N + 4 = 198k$, 즉 $N = 198k - 4$ 로 둘 수 있습니다.
세 조건을 모두 만족하는 $N$ 은 모두 이 모양입니다.

$$N + 4 = 198k \;\Longrightarrow\; N = 198k - 4 \quad (k = 1, 2, 3, \ldots)$$

💡 모든 해를 $N = 198k - 4$ 라는 규칙 하나로 표현하는 것은 4학년 "규칙으로 수열 만들기" 그대로입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.NBT.B.4 단계 4

$k = 1, 2, 3, \ldots$ 을 순서대로 대입해 $N = 198k - 4$ 를 직접 나열하고, 세 자리 수($100 \le N \le 999$) 만 남깁니다.
$N$ 이 $999$ 를 넘는 순간 멈춥니다.

$$\begin{aligned} k=1:\;& N = 198 - 4 = 194 \;\checkmark \\ k=2:\;& N = 396 - 4 = 392 \;\checkmark \\ k=3:\;& N = 594 - 4 = 590 \;\checkmark \\ k=4:\;& N = 792 - 4 = 788 \;\checkmark \\ k=5:\;& N = 990 - 4 = 986 \;\checkmark \\ k=6:\;& N = 1188 - 4 = 1184 \;\times \text{ (범위 초과)} \end{aligned}$$

💡 $198$ 에 작은 자연수를 곱하고 $4$ 를 빼는 것은 4학년 여러 자리 수 계산일 뿐입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 5

나열된 값 중 세 자리에 들어가는 $N$ 의 개수를 셉니다.
$194, 392, 590, 788, 986$ — 정확히 다섯 개입니다.
따라서 답은 (E) $5$ 입니다.

$$\{194,\, 392,\, 590,\, 788,\, 986\} \;\Rightarrow\; 5 \text{ 개} \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 나열한 목록에서 조건을 만족하는 개수를 세는 것은 4학년 여러 단계 문장제 풀이입니다.

[1] #5 4.NBT.B.6 세 조건에 숨어 있는 패턴을 찾습니다. 나누는 수 $d$ 와 나머지 $r$ 에 대해 $d - r$ 을 계산해 보면 $6 - 2 = 4$, $9

[2] #5 6.NS.B.4 $6$, $9$, $11$ 모두의 배수가 되는 가장 작은 수, 즉 최소공배수를 구합니다. 소인수분해하면 $6 = 2 \times 3$, $9 =

[3] #5 4.OA.C.5 일반형을 씁니다. $N + 4$ 가 $198$ 의 양의 배수이므로 양의 정수 $k$ 를 써서 $N + 4 = 198k$, 즉 $N = 198k

[4] #2 4.NBT.B.4 $k = 1, 2, 3, \ldots$ 을 순서대로 대입해 $N = 198k - 4$ 를 직접 나열하고, 세 자리 수($100 \le N \le

[5] #2 4.OA.A.3 나열된 값 중 세 자리에 들어가는 $N$ 의 개수를 셉니다. $194, 392, 590, 788, 986$ — 정확히 다섯 개입니다. 따라서 답

검토

합리성 확인: 가장 작은 후보 $N = 194$ 를 직접 확인해 봅시다 — $194 \div 6 = 32 \cdots 2$ ($\checkmark$), $194 \div 9 = 21 \cdots 5$ ($\checkmark$), $194 \div 11 = 17 \cdots 7$ ($\checkmark$). 해들은 정확히 $198$ 간격으로 떨어져 있으므로, 답은 $[104, 1003]$ 안에 들어가는 $198$ 의 배수 개수 $\lfloor 1003/198 \rfloor - \lceil 104/198 \rceil + 1 = 5 - 1 + 1 = 5$ 와 일치합니다. 답 (E) 가 맞습니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 $198$ 의 배수만 적어 보는 방법도 있습니다 — $198, 396, 594, 792, 990, 1188, \ldots$ 에서 각각 $4$ 를 빼면 $194, 392, 590, 788, 986, 1184, \ldots$ 가 나오고, 세 자리에 들어가는 것만 세어도 똑같이 $5$ 개입니다. LCM 이론을 끌어오지 않아도 패턴을 믿고 곱셈만 해 봐도 답이 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.NBT.B.6 네 자리 이하 수의 나눗셈의 몫과 나머지 구하기 (각 나머지 조건을 "$N$ 은 $d$ 의 배수보다 $r$ 만큼 크다" 로 읽어 내고, 세 경우 모두 $d - r = 4$ 라는 사실을 찾아내는 데 사용 — 나머지 있는 나눗셈의 4학년 그림 그대로입니다.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 ($\operatorname{lcm}(6, 9, 11) = 198$ 을 소인수분해로 계산해 연속된 해 사이의 간격을 파악.)
4.OA.C.5 주어진 규칙에 따라 수 또는 모양의 패턴 만들기 (모든 해를 $N = 198k - 4$, $k = 1, 2, 3, \ldots$ 이라는 하나의 규칙으로 기술.)
4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈 능숙하게 하기 ($k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ 에 대해 $198 \times k - 4$ 를 계산해 후보 세 자리 수를 나열.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 여러 단계 문장제 해결 (나열된 $N$ 값 중 $[100, 999]$ 범위에 들어가는 개수를 세어 최종 답을 구하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "최소공배수" 와 "나누는 수$-$나머지" 패턴만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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