AMC 8 · 2018 · #25
학년 8 number-theory문제
28+1 이상 218+1 이하인 완전세제곱수는 몇 개입니까?
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AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $2^8 + 1$ 이상 $2^{18} + 1$ 이하의 닫힌 구간에 들어가는 완전세제곱수 $n^3$ (단, $n$ 은 양의 정수) 의 개수를 구하는 문제입니다. 양 끝값이 완전세제곱수이면 그것도 포함해서 셉니다.
주어진 것: 아래쪽 경계: $2^8 + 1 = 257$; 위쪽 경계: $2^{18} + 1$; 양 끝값을 모두 포함하는 구간 (이상·이하); 선택지: (A) $4$, (B) $9$, (C) $10$, (D) $57$, (E) $58$
구하는 것: $2^8 + 1 \le n^3 \le 2^{18} + 1$ 을 만족하는 양의 정수 $n$ 의 개수
이해
문제 재정리: $2^8 + 1$ 이상 $2^{18} + 1$ 이하의 닫힌 구간에 들어가는 완전세제곱수 $n^3$ (단, $n$ 은 양의 정수) 의 개수를 구하는 문제입니다. 양 끝값이 완전세제곱수이면 그것도 포함해서 셉니다.
주어진 것: 아래쪽 경계: $2^8 + 1 = 257$; 위쪽 경계: $2^{18} + 1$; 양 끝값을 모두 포함하는 구간 (이상·이하); 선택지: (A) $4$, (B) $9$, (C) $10$, (D) $57$, (E) $58$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기
"구간 $[L, U]$ 안에 완전세제곱수가 몇 개 있나?" 라는 질문은 자연스럽게 세 개의 작은 문제로 쪼개집니다 (도구 #7): (가) $n_{\min}^3 \ge L$ 을 만족하는 가장 작은 정수 $n_{\min}$, (나) $n_{\max}^3 \le U$ 를 만족하는 가장 큰 정수 $n_{\max}$, (다) $n_{\min}$ 부터 $n_{\max}$ 까지의 정수 개수. (가) 의 아래쪽 경계 $257$ 은 충분히 작아서 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 $6^3, 7^3$ 을 시험하면 바로 잡힙니다. (나) 의 위쪽 경계 $2^{18}+1$ 은 겁나 보이지만, 도구 #9(더 쉬운 형태로 바꾸기)로 핵심 트릭이 보입니다 — $18 = 6 \times 3$ 이므로 $2^{18} = (2^6)^3 = 64^3$, 즉 위쪽 경계 바로 아래에 완전세제곱수 $64^3$ 이 떡하니 놓여 있습니다.
실행 — 정답: E
6.EE.A.1 단계 1 - 작은 문제 (가) — 아래쪽 경계 이상인 가장 작은 완전세제곱수 찾기.
- 먼저 $2^8 + 1 = 256 + 1 = 257$ 을 계산하고, 작은 세제곱수들을 추측·확인 방식으로 시험합니다.
💡 $2^8$ 과 작은 자연수의 세제곱을 계산하는 것은 "자연수 지수가 들어간 수식의 값 구하기" 로, 6학년 수준 표준입니다.
6.EE.B.5 단계 2 - 따라서 구간에 들어가는 가장 작은 완전세제곱수는 $7^3 = 343$ 입니다.
- 밑 $n \le 6$ 인 세제곱은 모두 $257$ 보다 작아서 제외됩니다.
💡 $n^3 \ge 257$ 을 만족하는 가장 작은 $n$ 을 고르는 것은 부등식을 값 대입으로 푸는 6학년 작업입니다.
8.EE.A.1 단계 3 - 작은 문제 (나) — 위쪽 경계 이하인 가장 큰 완전세제곱수 찾기.
- $2^{18}$ 을 직접 계산하기는 번거로우니, 지수 법칙 $(a^m)^n = a^{mn}$ 을 활용해 다시 씁니다.
- $18 = 6 \times 3$ 이므로 $2^{18} = (2^6)^3 = 64^3$.
- 따라서 위쪽 경계는 $64^3 + 1$ — 완전세제곱수 $64^3$ 보다 딱 $1$ 만 큰 값입니다.
💡 $2^{18}$ 을 $(2^6)^3$ 으로 바꿔 쓰는 것은 정수 지수 법칙 $(a^m)^n = a^{mn}$ — 8학년 개념으로, 무식한 계산을 피하게 해 줍니다.
6.EE.B.5 단계 4 - $64^3$ 과 $65^3$ 을 위쪽 경계와 비교합니다.
- $64^3 \le 64^3 + 1$ 이므로 포함, $65^3 = (64+1)^3 > 64^3 + 1$ 이므로 제외.
- 따라서 가능한 가장 큰 밑은 $64$ 입니다.
💡 $n^3 \le 64^3 + 1$ 을 만족하는 가장 큰 $n$ 을 찾는 것도 같은 부등식 시험 작업입니다.
4.OA.A.3 단계 5 - 작은 문제 (다) — 정수 $n = 7, 8, 9, \dots, 64$ 의 개수 세기.
- 양 끝을 포함한 연속 정수의 개수는 $($큰 값$) - ($작은 값$) + 1$ 이므로, 완전세제곱수의 개수는 $64 - 7 + 1 = 58$ 개.
- 선택지 $\textbf{(E)}$ 와 일치합니다.
💡 두 값 사이(양 끝 포함)에 정수가 몇 개 있는지 세는 것은 4학년 "여러 단계 자연수 문장제" 표준입니다.
6.EE.A.1 작은 문제 (가) — 아래쪽 경계 이상인 가장 작은 완전세제곱수 찾기. 먼저 $2^8 + 1 = 256 + 1 = 257$ 을 계산하고, 작은 6.EE.B.5 따라서 구간에 들어가는 가장 작은 완전세제곱수는 $7^3 = 343$ 입니다. 밑 $n \le 6$ 인 세제곱은 모두 $257$ 보다 작아서 제 8.EE.A.1 작은 문제 (나) — 위쪽 경계 이하인 가장 큰 완전세제곱수 찾기. $2^{18}$ 을 직접 계산하기는 번거로우니, 지수 법칙 $(a^m)^n 6.EE.B.5 $64^3$ 과 $65^3$ 을 위쪽 경계와 비교합니다. $64^3 \le 64^3 + 1$ 이므로 포함, $65^3 = (64+1)^3 > 6 4.OA.A.3 작은 문제 (다) — 정수 $n = 7, 8, 9, \dots, 64$ 의 개수 세기. 양 끝을 포함한 연속 정수의 개수는 $($큰 값$) - 검토
합리성 확인: 가장 작은 세제곱수는 $7^3$, 가장 큰 것은 $64^3$ 이고, 개수는 $64 - 7 + 1 = 58$ — 정확히 (E) 와 일치합니다. "하나 차이" 검산: $7$ 부터 $64$ 까지는 $64 - 7 = 57$ 칸의 간격이 있고, 양 끝을 모두 세기 때문에 $+1$ 을 해 $58$ 이 됩니다. 이로써 (A) $4$, (B) $9$, (C) $10$ 은 너무 작아서 즉시 탈락 (구간이 $257$ 부터 약 $260{,}000$ 까지 펼쳐지므로 세제곱수가 그 정도 많이 들어갈 수밖에 없습니다). 남는 함정은 (D) $57$ 인데, 이는 양 끝 포함의 $+1$ 을 빠뜨리는 실수 — "이상·이하" 조건을 떠올리면 (E) 가 맞습니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)을 선택지에 직접 적용해도 좋습니다. (A) $4$, (B) $9$, (C) $10$ 은 모두 너무 작아서 단번에 배제됩니다 — 구간이 $257$ 부터 $260{,}000$ 이상까지 뻗어 있으니 그 안에 들어가는 세제곱수는 훨씬 많아야 합니다. 그러면 남은 후보는 (D) $57$ 과 (E) $58$ 뿐이고, 차이는 정확히 양 끝값을 포함하느냐의 한 칸 — 양 끝 ($7^3 = 343$ 은 구간 안, $64^3$ 은 위쪽 경계보다 $1$ 작음) 이 모두 세어지는 것을 확인하면 답은 (E) $58$ 입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
4.OA.A.3자연수의 사칙연산을 활용한 여러 단계 문장제 해결 ($7$ 부터 $64$ 까지의 정수 개수를 $64 - 7 + 1 = 58$ 로 세는 데 사용.)6.EE.A.1자연수 지수가 포함된 수식을 쓰고 값 구하기 ($2^8 = 256$, $6^3 = 216$, $7^3 = 343$ 등을 계산해 아래쪽 경계와 가장 작은 세제곱수를 찾는 데 사용.)6.EE.B.5방정식·부등식의 해를 값 대입으로 찾기 ($n^3 \ge 257$ 을 만족하는 가장 작은 $n$ 과 $n^3 \le 64^3 + 1$ 을 만족하는 가장 큰 $n$ 을 연속 정수 시험으로 결정.)8.EE.A.1정수 지수의 성질을 알고 활용하기 (지수 법칙 $(a^m)^n = a^{mn}$ 으로 $2^{18} = (2^6)^3 = 64^3$ 으로 바꿔 위쪽 경계를 완전세제곱수로 만드는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 지수 법칙 — $(2^6)^3 = 2^{18}$ 같은 — 만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 지수 법칙 — $(2^6)^3 = 2^{18}$ 같은 — 만 알면 풀 수 있어요!
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