AMC 8 · 2018 · #7
학년 4 number-theory문제
5자리 수 2 0 1 8 U는 9로 나누어떨어집니다. 이 수를 8로 나누었을 때의 나머지는 얼마입니까?
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AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 앞 네 자리가 $2, 0, 1, 8$ 이고 마지막 자리가 알 수 없는 한 자리 숫자 $U$ 인 다섯 자리 수 $\overline{2018U}$ 가 $9$ 의 배수라고 합니다. 이때 이 다섯 자리 수를 $8$ 로 나눈 나머지를 구하는 문제입니다.
주어진 것: 수의 형태는 $\overline{2018U}$ 이며, $U$ 는 $0$ 부터 $9$ 까지의 한 자리 숫자; $\overline{2018U}$ 는 $9$ 의 배수; 선택지: (A) $1$, (B) $3$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $7$
구하는 것: 한 자리 숫자 $U$ 의 값; $\overline{2018U}$ 를 $8$ 로 나눈 나머지
이해
문제 재정리: 앞 네 자리가 $2, 0, 1, 8$ 이고 마지막 자리가 알 수 없는 한 자리 숫자 $U$ 인 다섯 자리 수 $\overline{2018U}$ 가 $9$ 의 배수라고 합니다. 이때 이 다섯 자리 수를 $8$ 로 나눈 나머지를 구하는 문제입니다.
주어진 것: 수의 형태는 $\overline{2018U}$ 이며, $U$ 는 $0$ 부터 $9$ 까지의 한 자리 숫자; $\overline{2018U}$ 는 $9$ 의 배수; 선택지: (A) $1$, (B) $3$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $7$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #5 패턴 찾기, #6 추측하고 확인하기
이 문제는 두 개의 작은 문제로 자연스럽게 쪼개집니다 (도구 #7) — (가) $9$ 의 배수라는 단서로 $U$ 의 값을 먼저 찾고, (나) 그 다섯 자리 수를 $8$ 로 나눈 나머지를 구합니다. (가) 는 "각 자리 숫자의 합이 $9$ 의 배수" 라는 잘 알려진 $9$ 의 배수 판정 패턴 (도구 #5) 을 그대로 적용하면 됩니다 — $U$ 의 후보가 $0$ 부터 $9$ 까지 단 $10$ 개뿐이므로 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로도 몇 초 안에 풀립니다. (나) 는 한 번의 나눗셈으로 끝나며, 대수 없이도 충분합니다.
실행 — 정답: B
4.NBT.B.4 단계 1 - 작은 문제 가: $9$ 의 배수 판정법으로 $U$ 를 찾습니다.
- 어떤 수가 $9$ 의 배수일 조건은 "각 자리 숫자의 합이 $9$ 의 배수" 라는 것입니다.
- $\overline{2018U}$ 의 이미 아는 네 자리 숫자를 먼저 더하고, $U$ 만 미지수로 남겨 둡니다.
💡 네 자리 숫자를 더해 $11$ 을 얻는 것은 4학년 다자릿수 덧셈 그대로입니다.
4.OA.B.4 단계 2 - 이제 $11 + U$ 가 $9$ 의 배수가 되도록 하는 한 자리 숫자 $U$ 를 찾습니다.
- $U$ 가 한 자리이므로 $11 + U$ 의 값은 $11$ 부터 $20$ 사이에 놓이고, 이 구간 안에 있는 $9$ 의 배수는 $18$ 뿐입니다.
- 따라서 $11 + U = 18$, 즉 $U = 7$ 입니다.
- ($U = 0, 1, 2, \ldots, 9$ 를 차례로 대입해 보는 도구 #6 의 추측·확인으로도 똑같이 $U = 7$ 만이 조건을 만족함을 빠르게 확인할 수 있습니다.)
💡 어떤 합이 $9$ 의 배수인지 확인하는 것은 4학년 "어떤 수의 배수 찾기" 와 같습니다.
4.OA.B.4 단계 3 - 작은 문제 나: $20187$ 을 $8$ 로 나눈 나머지를 구합니다.
- 여기서 "$1000 = 8 \times 125$ 가 $8$ 의 배수" 라는 사실을 이용한 지름길이 있습니다 — $20000 = 20 \times 1000$ 도 자동으로 $8$ 의 배수이므로, $20187$ 을 $8$ 로 나눈 나머지는 마지막 세 자리 수 $187$ 을 $8$ 로 나눈 나머지와 같습니다.
💡 $1000$ 의 배수는 곧 $8$ 의 배수라는 관찰은 4학년 배수 개념 그대로입니다.
4.NBT.B.6 단계 4 - 이제 $187$ 을 $8$ 로 직접 나눕니다.
- $187$ 보다 크지 않은 $8$ 의 배수 중 가장 큰 것은 $8 \times 23 = 184$ 이고, $187 - 184 = 3$ 이므로 $187 = 8 \times 23 + 3$, 즉 나머지는 $3$ 입니다.
💡 세 자리 수를 한 자리 수로 나누어 몫 $23$ 과 나머지 $3$ 을 구하는 것은 4학년 "나머지 있는 나눗셈" 표준 그대로입니다.
4.NBT.B.6 단계 5 - 두 작은 문제의 결과를 합치면 $20187 \bmod 8 = 187 \bmod 8 = 3$.
- 따라서 나머지는 $3$, 답은 (B) 입니다.
💡 두 작은 문제의 답을 이어 붙이는 것은 도구 #7 "쪼갠 문제 합치기" 의 핵심 동작입니다.
4.NBT.B.4 작은 문제 가: $9$ 의 배수 판정법으로 $U$ 를 찾습니다. 어떤 수가 $9$ 의 배수일 조건은 "각 자리 숫자의 합이 $9$ 의 배수" 라 4.OA.B.4 이제 $11 + U$ 가 $9$ 의 배수가 되도록 하는 한 자리 숫자 $U$ 를 찾습니다. $U$ 가 한 자리이므로 $11 + U$ 의 값은 $ 4.OA.B.4 작은 문제 나: $20187$ 을 $8$ 로 나눈 나머지를 구합니다. 여기서 "$1000 = 8 \times 125$ 가 $8$ 의 배수" 라는 4.NBT.B.6 이제 $187$ 을 $8$ 로 직접 나눕니다. $187$ 보다 크지 않은 $8$ 의 배수 중 가장 큰 것은 $8 \times 23 = 184$ 4.NBT.B.6 두 작은 문제의 결과를 합치면 $20187 \bmod 8 = 187 \bmod 8 = 3$. 따라서 나머지는 $3$, 답은 (B) 입니다. 검토
합리성 확인: $8$ 로 나눈 나머지는 반드시 $0$ 이상 $7$ 이하의 정수여야 하는데, $3$ 은 이 범위 안에 들어옵니다. 직접 나눗셈으로 검산해 봅시다 — $20187 \div 8$ 의 몫은 $2523$ 이고 ($8 \times 2523 = 20184$), $20187 - 20184 = 3$ 이라 나머지 $3$ 이 맞습니다. $U = 7$ 도 마찬가지로 검증되는데, $20187 \div 9 = 2243$ 으로 딱 떨어집니다 ($9 \times 2243 = 20187$). 양쪽 모두 일치하므로 답 (B) $3$ 은 안전합니다.
대안 접근: 도구 #3 (가능성 지우기) 과 직접 나눗셈의 결합도 좋습니다. $U = 7$ 이 정해진 뒤 $20187 \div 8$ 을 한 번 길게 나누어 나머지가 $3$ 이 나오면, 선택지 (A) $1$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $7$ 은 한꺼번에 모두 제거되어 (B) 만 남습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.NBT.B.4다자릿수 자연수의 덧셈·뺄셈을 능숙하게 수행 ($9$ 의 배수 판정에서 이미 알고 있는 네 자리 숫자를 더해 $2 + 0 + 1 + 8 = 11$ 을 얻고, 식 $11 + U$ 를 세우는 데 사용.)4.OA.B.4약수쌍 찾기와 배수 인식, 소수·합성수 판별 ($11 + U$ 가 $9$ 의 배수가 되도록 $U = 7$ 을 찾고, $1000$ 이 $8$ 의 배수이므로 $1000$ 의 배수도 모두 $8$ 의 배수라는 관찰에 사용.)4.NBT.B.6최대 네 자리 피제수에 대한 자연수 몫과 나머지 구하기 ($187$ 을 $8$ 로 나누어 몫 $23$ 과 나머지 $3$ 을 구하는 마지막 핵심 계산에 사용 — 이 나머지가 곧 정답.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 배수 판정법과 "나머지 있는 나눗셈" 만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 배수 판정법과 "나머지 있는 나눗셈" 만 알면 풀 수 있어요!
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