AMC 8 · 2019 · #13

학년 4 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

multiplesdivisibility-rulesdigit-constraintssystematic-enumeration systematic-enumerationpattern-recognition ↑ 선수 지식: multiplesdivisibility-rules

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

📘 쉬운 버전 보기 →

문제

회문수란 왼쪽에서 오른쪽으로 읽어도, 오른쪽에서 왼쪽으로 읽어도 같은 수를 뜻합니다. (예를 들어, $12321$ 은 회문수입니다.) $N$ 을 회문수는 아니지만, 서로 다른 두 자리 회문수 세 개의 합으로 나타낼 수 있는 가장 작은 세 자리 정수라고 합시다. $N$ 의 각 자리 숫자의 합은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 회문(palindrome)은 앞에서 읽으나 뒤에서 읽으나 같은 수입니다 (예: $12321$). $N$ 을 다음 두 조건을 모두 만족하는 가장 작은 세 자리 정수라고 합시다 — (1) $N$ 자체는 회문이 아니다, (2) $N$ 은 서로 다른 두 자리 회문 세 개의 합으로 나타낼 수 있다. 이 $N$ 의 자릿수의 합을 구하세요.

주어진 것: 회문의 정의: 앞뒤로 읽었을 때 같은 수 (예: $12321$); $N$ 은 세 자리 정수 ($100 \le N \le 999$); $N$ 은 서로 다른 두 자리 회문 세 개의 합; $N$ 자체는 회문이 아니다; 이런 $N$ 중 가장 작은 값을 구한다; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $6$

구하는 것: $N$ 의 값, 그리고 그 $N$ 의 자릿수의 합

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #6 추측하고 확인하기

두 자리 회문은 $11, 22, 33, \ldots, 99$ 단 아홉 개뿐이라, 도구 #5(패턴 찾기) 로 "전부 $11$ 의 배수" 라는 핵심 패턴을 곧바로 잡아낼 수 있습니다. 이 한 가지 관찰만으로 $N$ 도 반드시 $11$ 의 배수임이 보장되어, 세 자리 수 $900$ 개의 후보가 매우 짧은 목록으로 줄어듭니다. 이어서 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 세 자리 $11$ 의 배수를 작은 것부터 ($110, 121, 132, \ldots$) 차례로 적어 회문이 아닌 가장 작은 후보를 골라냅니다. 마지막으로 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 그 후보가 정말로 서로 다른 두 자리 회문 세 개의 합으로 만들어지는지 검산합니다. 도구 #13(대수로 바꾸기) 까지 가지 않아도 충분히 깔끔하게 풀리는 길입니다.

실행 — 정답: A

#2 빠짐없이 나열하기 1.NBT.B.2 단계 1

두 자리 회문을 전부 나열합니다.
두 자리 수 $\overline{ab}$ 가 회문이 되려면 십의 자리와 일의 자리가 같아야 하므로, 가능한 회문은 다음 아홉 개뿐입니다.

$$\{11,\;22,\;33,\;44,\;55,\;66,\;77,\;88,\;99\}$$

💡 두 자리 수가 "십의 자리 + 일의 자리" 로 이루어진다는 1학년 자릿값 개념이 곧 어떤 두 자리 수가 회문이 되는지 알려줍니다.

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.5 단계 2

패턴을 발견합니다.
위 아홉 개는 모두 $11$ 의 배수입니다: $11 = 11 \cdot 1, 22 = 11 \cdot 2, \ldots, 99 = 11 \cdot 9$.
(이유: 두 자리 회문 $\overline{aa}$ 는 $10a + a = 11a$ 이기 때문.)

$$\overline{aa} = 10a + a = 11a$$

💡 $10a + a$ 를 $11 \cdot a$ 로 묶어 쓰는 것은 4학년 곱셈(분배법칙) 그대로이고, 이 식 한 줄이 "모두 $11$ 의 배수" 라는 패턴을 깔끔하게 드러냅니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.B.4 단계 3

$N = P_1 + P_2 + P_3$ 에서 $P_i$ 가 모두 $11$ 의 배수이므로, 그 합인 $N$ 도 반드시 $11$ 의 배수입니다.
따라서 후보를 "세 자리 $11$ 의 배수" 로 제한할 수 있습니다.

$$N = 11k_1 + 11k_2 + 11k_3 = 11(k_1 + k_2 + k_3)$$

💡 $11$ 의 배수끼리 더해도 여전히 $11$ 의 배수라는 사실은 4학년 "배수" 개념이고, 이 한 줄로 탐색 범위가 확 줄어듭니다.

#2 빠짐없이 나열하기 2.NBT.A.1 단계 4

세 자리 $11$ 의 배수를 작은 수부터 차례로 적으면서 "회문이 아닌" 첫 번째 후보를 찾습니다.
$110$?
거꾸로 읽으면 $011$ 이라 회문이 아님 — 통과.
$121$?
회문이라 탈락.
$132$?
회문은 아니지만 이미 $110$ 보다 크므로 후보로서 의미 없음.

$$110,\;121,\;132,\;\ldots \quad\Longrightarrow\quad \text{회문이 아닌 가장 작은 후보} = 110$$

💡 세 자리 수의 백·십·일의 자리 숫자를 읽어 거꾸로 읽었을 때 같은지 확인하는 것은 2학년 자릿값 그대로입니다.

#6 추측하고 확인하기 2.NBT.B.7 단계 5

$110$ 이 정말로 서로 다른 두 자리 회문 세 개의 합으로 만들어지는지 확인합니다.
작은 회문 두 개부터 시작해 봅니다 — $11 + 22 = 33$ 이므로 나머지는 $110 - 33 = 77$.
그런데 $77$ 역시 두 자리 회문이고 $11, 22$ 와도 서로 다릅니다.
따라서 $110 = 11 + 22 + 77$ 로 깔끔하게 구성됩니다.

$$11 + 22 + 77 = 110$$

💡 두 자리 수 세 개를 더해서 $1000$ 이하의 목표값을 맞춰 보는 것은 2학년 덧셈 전략이고, "추측하고 확인하기" 의 기본 동작입니다.

#5 패턴 찾기 1.OA.A.2 단계 6

마지막으로 $N = 110$ 의 자릿수의 합을 구합니다.

$$1 + 1 + 0 = 2 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 한 자리 수 세 개를 더하는 것은 1학년 "합이 $20$ 이하인 세 수의 덧셈" 표준입니다.

[1] #2 1.NBT.B.2 두 자리 회문을 전부 나열합니다. 두 자리 수 $\overline{ab}$ 가 회문이 되려면 십의 자리와 일의 자리가 같아야 하므로, 가능한 회

[2] #5 4.NBT.B.5 패턴을 발견합니다. 위 아홉 개는 모두 $11$ 의 배수입니다: $11 = 11 \cdot 1, 22 = 11 \cdot 2, \ldots, 9

[3] #5 4.OA.B.4 $N = P_1 + P_2 + P_3$ 에서 $P_i$ 가 모두 $11$ 의 배수이므로, 그 합인 $N$ 도 반드시 $11$ 의 배수입니다. 따

[4] #2 2.NBT.A.1 세 자리 $11$ 의 배수를 작은 수부터 차례로 적으면서 "회문이 아닌" 첫 번째 후보를 찾습니다. $110$? 거꾸로 읽으면 $011$ 이라

[5] #6 2.NBT.B.7 $110$ 이 정말로 서로 다른 두 자리 회문 세 개의 합으로 만들어지는지 확인합니다. 작은 회문 두 개부터 시작해 봅니다 — $11 + 22

[6] #5 1.OA.A.2 마지막으로 $N = 110$ 의 자릿수의 합을 구합니다.

검토

합리성 확인: 선택지 (A)$\sim$(E) 가 모두 한 자리 수($2$ 부터 $6$ 까지) 라는 점은 $N$ 이 자릿수 합이 작은 세 자리 수라는 뜻과 잘 맞고, $1 + 1 + 0 = 2$ 가 (A) 와 일치합니다. 혹시 더 작은 $N$ 을 놓치진 않았는지 확인해 보면 — 두 자리 회문이 모두 $11$ 의 배수라서 그 합도 $11$ 의 배수여야 하는데, $110$ 보다 작은 세 자리 $11$ 의 배수는 없습니다. 따라서 $N = 110$ 은 강제되고, 자릿수 합 $2$ 가 정답입니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 로 선택지를 거꾸로 활용해 보면 — 세 자리 수의 자릿수 합은 $1\sim 27$ 범위인데 선택지는 $2\sim 6$ 뿐이라, $N$ 은 자릿수가 매우 작은 수여야 합니다. "세 자리 $11$ 의 배수, 회문 아님, 자릿수 합 작음" 을 모두 만족하면서 가장 작은 후보는 $110$ (자릿수 합 $2$) 이고, (B)$\sim$(E) 는 모두 $110$ 보다 큰 $N$ 을 요구하므로 "가장 작은" 이라는 조건과 충돌합니다. 따라서 (A) 만 남습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

1.NBT.B.2 두 자리 수가 십의 자리와 일의 자리로 이루어진다는 자릿값 이해 (어떤 두 자리 수가 회문인지 — 즉 십의 자리와 일의 자리가 같은지 — 를 판별하는 데 사용.)
4.NBT.B.5 최대 네 자리 자연수와 한 자리 자연수의 곱셈 (두 자리 회문 $\overline{aa}$ 를 $10a + a = 11 \cdot a$ 로 다시 써서 "$11$ 의 배수" 구조를 드러내는 데 사용.)
4.OA.B.4 약수쌍과 배수 찾기; 소수·합성수 판별 ("$11$ 의 배수 + $11$ 의 배수 = $11$ 의 배수" 라는 배수 성질을 사용하고, 세 자리 $11$ 의 배수 ($110, 121, 132, \ldots$) 를 나열하는 데 사용.)
2.NBT.A.1 세 자리 수가 백·십·일의 자리로 이루어진다는 자릿값 이해 ($110, 121, 132, \ldots$ 각각의 자릿수를 읽어 거꾸로 읽어도 같은지(회문 여부) 를 판별하는 데 사용.)
2.NBT.B.7 $1000$ 이하 범위의 덧셈·뺄셈 ($11 + 22 + 77 = 110$ 이 성립함을 확인해 $N = 110$ 의 구성 가능성을 검증.)
1.OA.A.2 합이 $20$ 이하인 세 자연수의 덧셈 문장제 (최종 답인 자릿수 합 $1 + 1 + 0 = 2$ 를 계산.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "배수" 만 알면 풀 수 있어요 — 두 자리 회문이 모두 $11$ 의 배수라는 사실 하나만 잡으면 답이 술술 나옵니다!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

비슷한 유형 더 풀어보기