AMC 8 · 2020 · #19

학년 4 number-theorycounting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

divisibility-rulesdigit-sumdigit-constraintsmodular-arithmetic digit-constraintscaseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: divisibility-rulesdigit-sum

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

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문제

서로 다른 두 숫자가 번갈아 나타나는 수를 "flippy" 수라고 합니다. 예를 들어, $2020$ 과 $37373$ 은 flippy 수이지만, $3883$ 과 $123123$ 은 flippy 수가 아닙니다. 다섯 자리 flippy 수 중에서 $15$ 로 나누어떨어지는 것은 몇 개입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: "플리피(flippy)" 수는 자릿수가 서로 다른 두 숫자 사이를 번갈아 가며 나타나는 수입니다 — 예를 들어 $2020$, $37373$ 은 플리피 수이지만, $3883$ (가운데 $8$ 이 두 번 연속) 이나 $123123$ (서로 다른 숫자가 세 개) 은 아닙니다. 다섯 자리 플리피 수 중 $15$ 의 배수는 몇 개일까요?

주어진 것: 수는 정확히 $5$ 자리이므로 맨 앞자리는 $0$ 이 될 수 없음; 두 개의 서로 다른 숫자 $a$, $b$ 가 자리마다 번갈아 나타남 ($a \ne b$); $15$ 의 배수여야 함; 선택지: (A) $3$, (B) $4$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $8$

구하는 것: $15$ 의 배수인 다섯 자리 플리피 수의 개수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

"$15$ 의 배수" 라는 조건은 성격이 다른 두 작은 조건 — $5$ 의 배수(끝자리 규칙) 와 $3$ 의 배수(자릿수 합 규칙) — 로 깔끔하게 쪼개집니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 을 쓰면 한 자리씩 차근차근 결정할 수 있습니다 — $5$ 규칙으로 $a$ 값이 정해지고, 이어서 $3$ 규칙으로 $b$ 의 후보가 좁혀집니다. 두 자리가 모두 제한된 뒤에는 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 남은 후보 수들을 차례로 적고 세면 끝입니다. 도구 #13(대수로 바꾸기) 은 일부러 피했습니다 — 배수 판정법과 나열만으로 식 없이 풀립니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.A.2 단계 1

다섯 자리 플리피 수의 모양을 적습니다.
서로 다른 두 숫자 $a$ 와 $b$ 가 자리마다 번갈아 나타나므로, 수는 $ababa$ 꼴이 됩니다 (1, 3, 5번째 자리는 $a$, 2, 4번째 자리는 $b$).
$a$ 는 맨 앞자리이므로 $a \ne 0$ 이고, 두 숫자가 달라야 하므로 $a \ne b$ 입니다.

$\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{a}$, 단 $a \ne b$ 이고 $a \ne 0$

💡 여러 자리 수를 자릿값 자리별로 읽고 적는 것은 4학년 "여러 자리 수 읽고 쓰기" 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 2

작은 문제 1: $5$ 의 배수 조건.
자연수가 $5$ 의 배수가 되려면 마지막 자리가 $0$ 또는 $5$ 여야 합니다.
$ababa$ 의 마지막 자리는 $a$ 인데, $a \ne 0$ 이므로 (다섯 자리 수의 맨 앞자리이기 때문) 남는 선택지는 $a = 5$ 뿐입니다.
따라서 수는 $5b5b5$ 꼴이 되고 $b \ne 5$ 라는 조건이 따라옵니다.

끝자리 $= a \in \{0, 5\}$ 이고 $a \ne 0$ 이므로 $a = 5$

💡 $5$ 의 배수를 끝자리로 알아보는 것은 4학년 "약수와 배수" 단원의 기본 판정법입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 3

작은 문제 2: $3$ 의 배수 조건.
자연수가 $3$ 의 배수가 되려면 자릿수의 합이 $3$ 의 배수여야 합니다.
$5b5b5$ 의 자릿수를 더하면 $5$ 가 세 개, $b$ 가 두 개이므로 합은 $15 + 2b$ 입니다.
$15$ 는 이미 $3$ 의 배수이므로, $2b$ 도 $3$ 의 배수가 되어야 합니다.

$5 + b + 5 + b + 5 = 15 + 2b$, 그러므로 $3 \mid (15 + 2b)$ 이려면 $3 \mid 2b$

💡 "자릿수의 합이 $3$ 의 배수" 라는 규칙은 4학년 약수·배수 단원에서 배우는 표준 $3$ 의 배수 판정법입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 4

$2b$ 가 $3$ 의 배수가 되게 하는 한 자리 숫자 $b$ 를 찾습니다.
$2$ 와 $3$ 은 공약수가 $1$ 뿐이므로, $2b$ 가 $3$ 의 배수가 되려면 $b$ 자체가 $3$ 의 배수여야 합니다.
한 자리 $3$ 의 배수는 $0, 3, 6, 9$ 인데, $b \ne 5$ 라는 조건은 네 값 모두 자동으로 통과합니다.

$b \in \{0, 3, 6, 9\}$, 각 값 모두 $b \ne 5$ 를 만족

💡 한 자리 $3$ 의 배수를 나열하는 것은 4학년 배수 개념 그대로의 단순 적용입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 5

허용된 $b$ 를 $5b5b5$ 에 작은 값부터 차례로 대입해 빠짐없이 적고 개수를 셉니다.

$b=0 \Rightarrow 50505$; $\; b=3 \Rightarrow 53535$; $\; b=6 \Rightarrow 56565$; $\; b=9 \Rightarrow 59595$. 총 $4$ 개이므로 답은 $\textbf{(B)}$.

💡 "각 $b$ 마다 $5b5b5$" 라는 규칙으로 빠짐없이 수를 만들어 세는 것은 4학년 "주어진 규칙에 따라 수의 패턴 만들기" 표준에 정확히 들어맞습니다.

[1] #7 4.NBT.A.2 다섯 자리 플리피 수의 모양을 적습니다. 서로 다른 두 숫자 $a$ 와 $b$ 가 자리마다 번갈아 나타나므로, 수는 $ababa$ 꼴이 됩니다

[2] #7 4.OA.B.4 작은 문제 1: $5$ 의 배수 조건. 자연수가 $5$ 의 배수가 되려면 마지막 자리가 $0$ 또는 $5$ 여야 합니다. $ababa$ 의 마지

[3] #7 4.OA.B.4 작은 문제 2: $3$ 의 배수 조건. 자연수가 $3$ 의 배수가 되려면 자릿수의 합이 $3$ 의 배수여야 합니다. $5b5b5$ 의 자릿수를

[4] #7 4.OA.B.4 $2b$ 가 $3$ 의 배수가 되게 하는 한 자리 숫자 $b$ 를 찾습니다. $2$ 와 $3$ 은 공약수가 $1$ 뿐이므로, $2b$ 가 $3$

[5] #2 4.OA.C.5 허용된 $b$ 를 $5b5b5$ 에 작은 값부터 차례로 대입해 빠짐없이 적고 개수를 셉니다.

검토

합리성 확인: 빠르게 검산해 봅시다: $50505 \div 15 = 3367$, $53535 \div 15 = 3569$, $56565 \div 15 = 3771$, $59595 \div 15 = 3973$ — 모두 자연수이므로 네 수 모두 진짜 $15$ 의 배수입니다. 빠진 다섯 번째 후보도 없습니다 — 나머지 $b \in \{1, 2, 4, 7, 8\}$ 은 자릿수 합 규칙에서 탈락하고, $b = 5$ 는 수를 $55555$ 로 만들어 $a \ne b$ 조건을 깹니다. 답 $4$ 는 선택지 범위 $3 \sim 8$ 안에 자연스럽게 들어옵니다.

대안 접근: 처음부터 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 만으로 풀 수도 있습니다 — $b = 0, 1, 2, \dots, 9$ 를 차례로 $5b5b5$ 에 대입해 $15$ 로 나누어떨어지는지 일일이 검사하는 방법입니다. 결과는 같은 네 수가 나오지만 나눗셈을 $10$ 번 해야 합니다. 배수 판정법으로 먼저 좁히는(도구 #7 작은 문제로 쪼개기) 쪽이 훨씬 빠릅니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.A.2 여러 자리 수 읽고 쓰기, 부호를 이용한 비교 (다섯 자리 플리피 수를 자릿값에 따라 $ababa$ 꼴로 적고, 맨 앞자리가 $0$ 이 될 수 없다는 점을 인식하는 데 사용.)
4.OA.B.4 약수쌍 찾기, 배수 인식, 소수/합성수 판정 (배수 판정법 적용: $5$ 의 배수는 끝자리가 $0$ 또는 $5$, $3$ 의 배수는 자릿수의 합이 $3$ 의 배수, 그리고 한 자리 $3$ 의 배수 $\{0, 3, 6, 9\}$ 를 나열하는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙에 따라 수 또는 도형 패턴 만들기 (허용된 $b$ 값들로부터 $5b5b5$ 꼴의 유효한 수를 모두 만들어 내고 결과 목록의 네 수를 세는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 배수 판정법 — $5$ 의 배수는 "끝자리가 $0$ 또는 $5$", $3$ 의 배수는 "자릿수의 합이 $3$ 의 배수" — 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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