AMC 8 · 2022 · #13

학년 4 algebranumber-theory

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systems-of-equationslinear-diophantinesystematic-enumeration convert-to-algebrabound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: linear-equations-two-varsystematic-enumeration

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

아래 문장의 빈칸에 들어갈 수 있는 양의 정수는 모두 몇 개입니까?

"한 양의 정수는 다른 양의 정수의 두 배보다 _____만큼 더 크고, 두 수의 합은 $28$ 입니다."

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 양의 정수가 있는데, 큰 수는 "작은 수의 두 배보다 어떤 양의 정수 $k$ (빈칸 값)만큼 더 큽니다." 또 두 수의 합은 $28$ 입니다. 이때 빈칸에 들어갈 수 있는 양의 정수 $k$ 는 모두 몇 가지인지 구하는 문제입니다.

주어진 것: 두 양의 정수가 있고, 큰 수를 $a$, 다른 수를 $b$ 라고 두기로 합니다; $a$ 는 $b$ 의 두 배보다 $k$ 만큼 더 크고, $k$ 역시 양의 정수; $a + b = 28$; 선택지: (A) $6$, (B) $7$, (C) $8$, (D) $9$, (E) $10$

구하는 것: 주어진 문장을 참이 되게 만드는 양의 정수 $k$ 의 가짓수

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #7 작은 문제로 쪼개기

"가능한 $k$ 가 몇 개인가?" 라는 질문은 도구 #2 (빠짐없이 나열하기) 에 딱 맞습니다. 작은 수 $b$ 를 기준으로 순서를 정해 $k$ 가 양의 정수가 되는 모든 $b$ 를 빠뜨리지 않고 적기만 하면 됩니다. 그 전에 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 로 두 조건 ($a = 2b + k$ 와 $a + b = 28$) 을 한 줄짜리 식 $3b + k = 28$ 로 합쳐 두면 $k = 28 - 3b$ 라는 깔끔한 뺄셈 규칙이 나옵니다. 이후 도구 #6 (추측하고 확인하기) 으로 $b = 1, 2, 3, \dots$ 을 차례로 넣어 보다가 $k$ 가 $1$ 미만이 되는 순간 멈추면 끝 — 굳이 도구 #13 (대수로 바꾸기) 까지 가지 않아도 됩니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.2 단계 1

주어진 두 문장을 한 줄의 산수 관계로 묶습니다.
"$a$ 는 $b$ 의 두 배보다 $k$ 만큼 크다" 는 $a = 2b + k$ 이고, 여기에 $a + b = 28$ 을 대입하면 $(2b + k) + b = 28$, 정리하면 $3b + k = 28$ 입니다.

$$a = 2b + k,\;\; a + b = 28 \;\Rightarrow\; 3b + k = 28$$

💡 "두 배" 라는 곱셈 비교 표현은 4학년 곱셈 비교 문장제 표현 그대로이고, 거기에 작은 수 $b$ 를 한 번 더 더해 주면 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 2

$k$ 를 $b$ 에 대한 간단한 뺄셈으로 정리합니다.
$3b + k = 28$ 에서 $k = 28 - 3b$.
이제 질문은 "어떤 양의 정수 $b$ 에 대해 $28 - 3b$ 가 양의 정수가 되는가?" 로 바뀝니다.

$$k = 28 - 3b$$

💡 두 조건짜리 문제를 한 줄 뺄셈으로 축약하는 것이 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 의 핵심 — 4학년 다단계 문장제 수준입니다.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.A.3 단계 3

$k \ge 1$ 이 되도록 하는 $b$ 의 최댓값을 찾습니다.
$28 - 3b \ge 1$, 즉 $3b \le 27$, 즉 $b \le 9$.
따라서 $b$ 가 가질 수 있는 값은 $1$ 부터 $9$ 까지의 자연수입니다.

$$28 - 3b \ge 1 \;\Leftrightarrow\; 3b \le 27 \;\Leftrightarrow\; b \le 9$$

💡 "$b$ 가 얼마나 커지면 $k$ 가 모자라게 될까?" 를 경계에서 점검하는 것이 도구 #6 (추측하고 확인하기) — 결국 $27 \div 3 = 9$ 라는 4학년 계산입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 4

이제 $b$ 를 $1$ 부터 $9$ 까지 순서대로 적어 가며 가능한 $(b, k)$ 쌍을 빠짐없이 나열합니다.
큰 수 $a = 28 - b$ 가 양의 정수인지도 함께 확인 — $b \le 9 < 28$ 이므로 늘 양수입니다.

$$\begin{array}{c|c|c}b & k = 28-3b & a = 28-b\\\hline 1 & 25 & 27 \\ 2 & 22 & 26 \\ 3 & 19 & 25 \\ 4 & 16 & 24 \\ 5 & 13 & 23 \\ 6 & 10 & 22 \\ 7 & 7 & 21 \\ 8 & 4 & 20 \\ 9 & 1 & 19 \end{array}$$

💡 "$b$ 가 $1$ 늘 때마다 $k$ 는 $3$ 씩 줄어든다" 라는 규칙으로 표를 만드는 것이 4학년 "규칙에 따른 수의 패턴 만들기" 표준입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.D.8 단계 5

표에 나타난 $k$ 값을 셉니다 — $25, 22, 19, 16, 13, 10, 7, 4, 1$ 로 모두 다른 $9$ 개의 양의 정수입니다.
규칙 $k = 28 - 3b$ 가 단조감소이므로 $b$ 가 다르면 $k$ 도 반드시 달라 중복이 없습니다.
답은 $9$, 선택지로는 (D) 입니다.

$$\#\{25, 22, 19, 16, 13, 10, 7, 4, 1\} = 9 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 완성된 목록의 개수를 세는 것은 3학년 두 단계 문장제 수준의 마무리입니다.

[1] #7 4.OA.A.2 주어진 두 문장을 한 줄의 산수 관계로 묶습니다. "$a$ 는 $b$ 의 두 배보다 $k$ 만큼 크다" 는 $a = 2b + k$ 이고, 여기에

[2] #7 4.OA.A.3 $k$ 를 $b$ 에 대한 간단한 뺄셈으로 정리합니다. $3b + k = 28$ 에서 $k = 28 - 3b$. 이제 질문은 "어떤 양의 정수

[3] #6 4.OA.A.3 $k \ge 1$ 이 되도록 하는 $b$ 의 최댓값을 찾습니다. $28 - 3b \ge 1$, 즉 $3b \le 27$, 즉 $b \le 9$.

[4] #2 4.OA.C.5 이제 $b$ 를 $1$ 부터 $9$ 까지 순서대로 적어 가며 가능한 $(b, k)$ 쌍을 빠짐없이 나열합니다. 큰 수 $a = 28 - b$ 가

[5] #2 3.OA.D.8 표에 나타난 $k$ 값을 셉니다 — $25, 22, 19, 16, 13, 10, 7, 4, 1$ 로 모두 다른 $9$ 개의 양의 정수입니다. 규

검토

합리성 확인: 표의 양 끝 두 줄로 검산해 봅시다. $b = 1$ 일 때 $a = 27$ 이고 $2b + k = 2 + 25 = 27$ 이므로 $a + b = 28$, "$a$ 는 $b$ 의 두 배보다 $25$ 만큼 크다" 가 모두 맞습니다. $b = 9$ 일 때 $a = 19$ 이고 $2b + k = 18 + 1 = 19$ 이므로 역시 $a + b = 28$, "$a$ 는 $b$ 의 두 배보다 $1$ 만큼 크다" 가 성립합니다. $b = 10$ 을 시도하면 $k = 28 - 30 = -2$ 로 양의 정수 조건을 어기므로 목록은 정말 $b = 9$ 에서 끝납니다. 따라서 $9$ 개라는 결론은 일관되고, 답은 (D) 입니다.

대안 접근: 도구 #3 (가능성 지우기) 로 선택지를 직접 좁힐 수도 있습니다. 가능한 $k$ 값은 $28 - 3b$ 꼴이므로 $b = 1$ 일 때 최댓값 $k = 25$, $b = 9$ 일 때 최솟값 $k = 1$ 입니다. 가능한 $k$ 값 $\{1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25\}$ 는 "$25$ 이하의 양의 정수 중 $3$ 으로 나눈 나머지가 $1$ 인 수" 인데, 이런 수는 정확히 $9$ 개이므로 (D) 외의 선택지는 모두 제거됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.D.8 사칙연산을 이용한 100 이내 두 단계 문장제 해결 (완성된 $k$ 값 목록의 개수를 세어 최종 답을 만드는 마무리 단계.)
4.OA.A.2 곱셈 비교 문장제를 곱셈·나눗셈으로 해결 ("다른 수의 두 배보다 $k$ 만큼 크다" 라는 곱셈 비교 표현을 $a = 2b + k$ 라는 식으로 옮기는 과정.)
4.OA.A.3 사칙연산을 사용한 다단계 자연수 문장제 해결 (두 조건을 합쳐 $3b + k = 28$ 을 얻고 $3b \le 27$ 에서 $b \le 9$ 라는 경계를 잡는 과정.)
4.OA.C.5 주어진 규칙에 따라 수·도형 패턴 생성 ("$b$ 가 $1$ 늘 때마다 $k$ 가 $3$ 씩 줄어든다" 라는 규칙으로 $(b, k)$ 표를 만드는 과정.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "두 배" 비교와 차근차근 빠짐없이 적기만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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