AMC 8 · 2022 · #20
학년 8 arithmeticalgebra문제
아래 격자를 정수로 채워서 각 행의 수의 합과 각 열의 수의 합이 모두 같도록 만들려고 합니다. 네 개의 수가 비어 있고, 왼쪽 아래 칸의 수 x는 비어 있는 나머지 세 수보다 큽니다. x가 가질 수 있는 가장 작은 값은 무엇입니까?
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AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $3 \times 3$ 격자에 정수들을 채우는데, 모든 행의 합과 모든 열의 합이 같아야 합니다. 다섯 칸은 이미 채워져 있습니다 — 맨 윗줄은 $-2,\ 9,\ 5$, 중앙 오른쪽 칸은 $-1$, 아래 오른쪽 칸은 $8$, 아래 왼쪽 칸은 $x$ 입니다. 비어 있는 네 칸 중에서 왼쪽 아래의 $x$ 가 나머지 세 빈 칸의 값보다 모두 엄격히 큽니다. 이때 $x$ 가 가질 수 있는 가장 작은 정수 값을 구하시오.
주어진 것: 맨 윗줄: $-2,\ 9,\ 5$; 맨 오른쪽 열의 값은 위에서부터 $5,\ -1,\ 8$; 아래 왼쪽 칸은 $x$; 비어 있는 칸은 모두 네 개 (중앙 왼쪽, 정중앙, 아래 가운데, 그리고 $x$ 자신); 모든 칸의 값은 정수; 모든 행과 모든 열의 합이 같다; $x$ 는 나머지 세 빈 칸의 값보다 모두 엄격히 크다; 선택지: (A) $-1$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $8$, (E) $9$
구하는 것: 주어진 조건을 모두 만족하는 $x$ 의 가장 작은 정수 값
이해
문제 재정리: $3 \times 3$ 격자에 정수들을 채우는데, 모든 행의 합과 모든 열의 합이 같아야 합니다. 다섯 칸은 이미 채워져 있습니다 — 맨 윗줄은 $-2,\ 9,\ 5$, 중앙 오른쪽 칸은 $-1$, 아래 오른쪽 칸은 $8$, 아래 왼쪽 칸은 $x$ 입니다. 비어 있는 네 칸 중에서 왼쪽 아래의 $x$ 가 나머지 세 빈 칸의 값보다 모두 엄격히 큽니다. 이때 $x$ 가 가질 수 있는 가장 작은 정수 값을 구하시오.
주어진 것: 맨 윗줄: $-2,\ 9,\ 5$; 맨 오른쪽 열의 값은 위에서부터 $5,\ -1,\ 8$; 아래 왼쪽 칸은 $x$; 비어 있는 칸은 모두 네 개 (중앙 왼쪽, 정중앙, 아래 가운데, 그리고 $x$ 자신); 모든 칸의 값은 정수; 모든 행과 모든 열의 합이 같다; $x$ 는 나머지 세 빈 칸의 값보다 모두 엄격히 크다; 선택지: (A) $-1$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $8$, (E) $9$
계획
주요 도구: #13 대수로 바꾸기
보조 도구: #1 그림 그리기, #3 가능성 지우기
맨 윗줄이 완전히 채워져 있어서 마법의 합 $-2 + 9 + 5 = 12$ 가 바로 읽힙니다. 그 뒤로 비어 있는 칸은 모두 "한 행 또는 한 열에 단 하나의 미지수" 꼴이라, 빈 칸들을 $a, b, c$ 로 이름 붙이고 "행 합 $= 12$" / "열 합 $= 12$" 를 쓰면 작은 연립 일차방정식이 됩니다 — 도구 #13(대수로 바꾸기) 이 가장 깔끔합니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 어느 칸이 어느 칸인지 헷갈리지 않도록 표시해 둔 $3 \times 3$ 격자 그 자체입니다. $a, b, c$ 를 $x$ 의 식으로 표현한 다음에는 "$x$ 가 나머지보다 크다" 라는 조건이 세 개의 부등식이 되고, 도구 #3(가능성 지우기) 으로 선택지 $\{-1, 5, 6, 8, 9\}$ 중 $x > 7$ 을 만족하는 가장 작은 값 (D) 를 찾을 수 있습니다.
실행 — 정답: D
6.NS.C.5 단계 1 - 공통 행·열 합을 구합니다.
- 완전히 채워진 줄은 맨 윗줄뿐이므로, 그 합이 모든 행과 모든 열이 맞춰야 할 마법 상수입니다.
💡 $-2$ 같은 음의 정수를 양수와 더해 부호 있는 합을 구하는 것은 6학년 "양수와 음수가 양을 나타낸다" 표준 그대로입니다.
6.EE.B.6 단계 2 - 나머지 세 빈 칸에 이름을 붙입니다.
- 중앙 왼쪽을 $a$, 정중앙을 $b$, 아래 가운데를 $c$ 라 하면 격자는 $\begin{pmatrix} -2 & 9 & 5 \\ a & b & -1 \\ x & c & 8 \end{pmatrix}$ 가 됩니다.
💡 모르는 칸에 문자를 붙이는 것은 6학년 "문자로 수를 나타내고 식을 쓴다" 표준 그대로입니다.
6.EE.B.7 단계 3 - 남아 있는 행과 열의 합을 각각 $12$ 로 두어 방정식을 만듭니다.
- 행 2: $a + b + (-1) = 12$.
- 행 3: $x + c + 8 = 12$.
- 열 1: $-2 + a + x = 12$.
- 열 2: $9 + b + c = 12$.
💡 각 행·열 제약을 한 줄 방정식으로 옮기는 것은 6학년 방정식 세우기입니다.
8.EE.C.8 단계 4 - 연립 방정식을 $x$ 에 대해 정리합니다.
- 열 1에서 $a = 14 - x$, 행 3에서 $c = 4 - x$.
- 이를 행 2에 대입하면 $(14 - x) + b = 13 \Rightarrow b = x - 1$.
- 열 2로 검증: $(x-1) + (4-x) = 3$, 일치합니다.
💡 네 개의 연결된 일차방정식을 풀어 $a, b, c$ 를 $x$ 의 식으로 나타내는 것은 8학년 "일차방정식의 연립 풀이" 아이디어를 작은 시스템에 적용한 것입니다.
7.EE.B.4 단계 5 - "$x$ 가 나머지 빈 칸 값보다 모두 크다" 라는 조건을 부등식으로 옮깁니다.
- $x > a$, $x > b$, $x > c$ 즉 $x > 14 - x$, $x > x - 1$, $x > 4 - x$.
- 가운데 식은 $0 > -1$ 로 항상 참이라 제약이 안 되고, 첫 번째 식에서 $2x > 14 \Rightarrow x > 7$, 세 번째 식에서 $2x > 4 \Rightarrow x > 2$.
- 더 강한 조건은 $x > 7$ 입니다.
💡 $x > 14 - x$ 같은 부등식을 세우고 푸는 것은 7학년 "문제 해결을 위해 방정식과 부등식을 세운다" 표준 그대로입니다.
7.EE.B.4 단계 6 - $x > 7$ 을 만족하는 가장 작은 정수는 $x = 8$.
- 선택지로 확인해 보면, (A) $-1$, (B) $5$, (C) $6$ 은 모두 $x > 7$ 을 어겨서 탈락.
- (D) $8$ 이면 $a = 6,\ b = 7,\ c = -4$ 이고 실제로 $8 > 6,\ 8 > 7,\ 8 > -4$ 가 성립.
- (E) $9$ 도 조건은 만족하지만 최솟값은 아닙니다.
💡 $x > 7$ 을 어기는 선택지를 지우고 가장 작은 생존자를 시험하는 것은 부등식의 최소 정수해를 객관식 방식으로 찾는 과정입니다.
6.NS.C.5 공통 행·열 합을 구합니다. 완전히 채워진 줄은 맨 윗줄뿐이므로, 그 합이 모든 행과 모든 열이 맞춰야 할 마법 상수입니다. 6.EE.B.6 나머지 세 빈 칸에 이름을 붙입니다. 중앙 왼쪽을 $a$, 정중앙을 $b$, 아래 가운데를 $c$ 라 하면 격자는 $\begin{pmatrix} 6.EE.B.7 남아 있는 행과 열의 합을 각각 $12$ 로 두어 방정식을 만듭니다. 행 2: $a + b + (-1) = 12$. 행 3: $x + c + 8 8.EE.C.8 연립 방정식을 $x$ 에 대해 정리합니다. 열 1에서 $a = 14 - x$, 행 3에서 $c = 4 - x$. 이를 행 2에 대입하면 $(14 7.EE.B.4 "$x$ 가 나머지 빈 칸 값보다 모두 크다" 라는 조건을 부등식으로 옮깁니다. $x > a$, $x > b$, $x > c$ 즉 $x > 14 7.EE.B.4 $x > 7$ 을 만족하는 가장 작은 정수는 $x = 8$. 선택지로 확인해 보면, (A) $-1$, (B) $5$, (C) $6$ 은 모두 $ 검토
합리성 확인: $x = 8$ 을 다시 격자에 대입하면 행 1 $= -2 + 9 + 5 = 12$, 행 2 $= 6 + 7 + (-1) = 12$, 행 3 $= 8 + (-4) + 8 = 12$; 열은 $-2 + 6 + 8 = 12$, $9 + 7 + (-4) = 12$, $5 + (-1) + 8 = 12$ 로 여섯 합이 모두 $12$ 로 일치하고, $8$ 은 $6,\ 7,\ -4$ 보다 엄격히 큽니다. $-1,\ 5,\ 6$ 등 더 작은 선택지는 모두 $x > 7$ 을 어기므로 $x = 8$ 이 진짜 최솟값이 맞습니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 을 대수 없이 적용하는 방법: 선택지를 작은 값부터 차례로 대입해 마법의 합 $12$ 로 격자를 채워 보고, $x$ 가 나머지 세 빈 칸의 최댓값보다 큰지 확인합니다. (A) $x = -1$: 아래 행에서 $c = 4 - (-1) = 5 > x$, 실패. (B) $x = 5$: 열 1에서 $a = 14 - 5 = 9 > x$, 실패. (C) $x = 6$: $a = 14 - 6 = 8 > 6$, 실패. (D) $x = 8$: $a = 6,\ b = 7,\ c = -4$ 모두 $8$ 보다 작아서 첫 시도에 성공. 대수 조작 없이 시간을 아끼는 AMC 8 풀이입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.NS.C.5양수와 음수가 양을 나타냄을 이해하기 ($-2, 9, 5$ (그리고 이후 $-1, 8, -4$ 같은) 부호 있는 정수들을 더해 공통 합 $12$ 를 확인하는 데 사용.)6.EE.B.6문자로 수를 나타내고 식을 써서 문제 해결 ($x$ 외에 비어 있는 세 칸을 $a, b, c$ 라는 미지수로 도입.)6.EE.B.7$px = q$ 형태 방정식을 세우고 풀어 실생활 문제 해결 (각 행·열 제약을 한 줄 방정식 — $a + b = 13$, $x + c = 4$, $a + x = 14$, $b + c = 3$ — 으로 변환.)7.EE.B.4수량을 문자로 나타내고 간단한 방정식·부등식을 세워 풀기 ("$x$ 가 $a, b, c$ 보다 크다" 를 $x > 14 - x$, $x > x - 1$, $x > 4 - x$ 부등식으로 옮기고 풀어서 $x > 7$ 을 얻는 데 사용.)8.EE.C.8연립 일차방정식 분석 및 풀이 ($\{a+b=13,\ x+c=4,\ a+x=14,\ b+c=3\}$ 의 연립 시스템을 풀어 $a, b, c$ 를 각각 $14-x,\ x-1,\ 4-x$ 로 표현.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 "작은 연립 일차방정식 풀이" 만 알면 풀 수 있어요 — 마법의 합 $12$ 만 잡으면 빈 칸 네 개가 모두 $x$ 의 식으로 떨어지고, 부등식 $x > 7$ 에서 $x = 8$ 이 바로 나옵니다.
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 "작은 연립 일차방정식 풀이" 만 알면 풀 수 있어요 — 마법의 합 $12$ 만 잡으면 빈 칸 네 개가 모두 $x$ 의 식으로 떨어지고, 부등식 $x > 7$ 에서 $x = 8$ 이 바로 나옵니다.
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