AMC 8 · 2022 · #3

학년 4 number-theorycounting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

prime-factorizationfactorssystematic-enumeration caseworksystematic-enumerationbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: factorsmulti-digit-arithmetic

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문제

세 양의 정수 $a$ , $b$ , $c$ 를 곱했을 때 그 곱이 $100$ 이라고 합시다. $a < b < c$ 일 때, 이 세 수를 고르는 방법은 모두 몇 가지입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 양의 정수 세 개 $a, b, c$ 가 $a < b < c$ 를 만족하면서 곱이 $100$ 이 되는 경우의 수를 구하는 문제입니다.

주어진 것: $a$, $b$, $c$ 는 모두 양의 정수; $a \cdot b \cdot c = 100$; $a < b < c$ (엄격하게 커지는 순서); 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$

구하는 것: 조건을 만족하는 세 수 묶음 $(a, b, c)$ 의 개수

이해

문제 재정리: 양의 정수 세 개 $a, b, c$ 가 $a < b < c$ 를 만족하면서 곱이 $100$ 이 되는 경우의 수를 구하는 문제입니다.

주어진 것: $a$, $b$, $c$ 는 모두 양의 정수; $a \cdot b \cdot c = 100$; $a < b < c$ (엄격하게 커지는 순서); 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

"몇 가지 방법" 을 묻는데 곱이 작은 수($100$)로 정해져 있으니 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 가 딱 맞습니다. 다만 무작정 나열하면 빠뜨리거나 겹치기 쉬우니 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 "가장 작은 수 $a$ 의 값" 별로 경우를 나눕니다. $a < b < c$ 에서 $a^3 < a \cdot b \cdot c = 100$ 이 나오므로 $a$ 후보는 $1, 2, 3, 4$ 뿐이고, 그 중에서도 $100$ 의 약수만 살아남으니 경우는 $a = 1, 2, 4$ 의 세 가지로 줄어듭니다. 각 경우 안에서 $100/a$ 의 약수쌍을 줄세워 적기만 하면 됩니다.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 1

가장 작은 수 $a$ 의 범위를 좁힙니다.
$a < b$, $a < c$ 에서 세 변을 곱하면 $a \cdot a \cdot a < a \cdot b \cdot c = 100$, 즉 $a^3 < 100$ 입니다.
세제곱을 따져보면 $1^3 = 1$, $2^3 = 8$, $3^3 = 27$, $4^3 = 64$, $5^3 = 125$ 이므로 $a$ 가 될 수 있는 값은 $1, 2, 3, 4$ 뿐입니다.

$$a^3 < 100 \;\Rightarrow\; a \in \{1, 2, 3, 4\}$$

💡 가장 작은 약수가 될 수 있는 수의 범위를 짚어내는 것은 4학년 약수·배수 단원의 기본 동작이라 탐색 범위를 확 줄여 줍니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 2

$a$ 가 $100$ 의 약수라는 조건을 추가합니다.
$100 = 2^2 \cdot 5^2$ 의 약수는 $1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100$ 이고, 앞 단계의 후보 $\{1, 2, 3, 4\}$ 와 겹치는 값은 $\{1, 2, 4\}$ 입니다 ($3$ 은 $100$ 의 약수가 아니라 제외).

$$a \in \{1, 2, 3, 4\} \cap \text{div}(100) = \{1, 2, 4\}$$

💡 $100$ 의 약수 목록을 떠올려 $3$ 은 약수가 아니라는 것을 알아차리는 것 역시 4학년 약수 단원의 기초입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 3

경우 1: $a = 1$.
이때 $b \cdot c = 100$ 이고 $1 < b < c$ 인 약수쌍을 $b$ 가 작은 것부터 적으면 $(2, 50), (4, 25), (5, 20), (10, 10)$ 입니다.
앞의 세 쌍은 $b < c$ 를 만족하지만 $(10, 10)$ 은 $b = c$ 라 탈락입니다.

$a = 1$: $(1, 2, 50), \; (1, 4, 25), \; (1, 5, 20)$ — $3$ 가지

💡 $100$ 의 약수쌍을 순서대로 나열하는 것은 4학년 "약수쌍 찾기" 그 자체입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 4

경우 2: $a = 2$.
이때 $b \cdot c = 50$ 이고 $2 < b < c$ 인 약수쌍을 찾습니다.
$50$ 의 약수쌍은 $(1, 50), (2, 25), (5, 10)$ 인데, 앞 두 쌍은 $b \le 2$ 라 조건 $a < b$ 에 걸리고, $(5, 10)$ 만 $2 < 5 < 10$ 으로 통과합니다.

$a = 2$: $(2, 5, 10)$ — $1$ 가지

💡 $50$ 의 약수쌍을 적은 뒤 $b > 2$ 라는 한 가지 조건만 더 걸러내면 되는 4학년 수준의 동작입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 5

경우 3: $a = 4$.
이때 $b \cdot c = 25$ 이고 $4 < b < c$ 가 필요합니다.
$25$ 의 약수쌍은 $(1, 25), (5, 5)$ 뿐이고, 조건을 만족하는 쌍은 없습니다 ($5 = 5$ 라 $b < c$ 실패).

$a = 4$: 없음

💡 $25 = 5 \times 5$ 라는 4학년 수준의 약수 사실 하나면, $b = c$ 라 탈락임이 바로 보입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.D.8 단계 6

각 경우의 결과를 합산합니다.
$3 + 1 + 0 = 4$ 가지이고, 실제 세 수 묶음은 $(1, 2, 50), (1, 4, 25), (1, 5, 20), (2, 5, 10)$ 의 네 가지입니다.
정답은 $4$, 선택지 (E).

$$3 + 1 + 0 = 4 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 경우별 개수를 더하는 마지막 합산은 3학년 두 단계 문장제(곱하고 더하기) 수준입니다.

[1] #7 4.OA.B.4 가장 작은 수 $a$ 의 범위를 좁힙니다. $a < b$, $a < c$ 에서 세 변을 곱하면 $a \cdot a \cdot a < a \cdo

[2] #7 4.OA.B.4 $a$ 가 $100$ 의 약수라는 조건을 추가합니다. $100 = 2^2 \cdot 5^2$ 의 약수는 $1, 2, 4, 5, 10, 20, 2

[3] #2 4.OA.B.4 경우 1: $a = 1$. 이때 $b \cdot c = 100$ 이고 $1 < b < c$ 인 약수쌍을 $b$ 가 작은 것부터 적으면 $(2,

[4] #2 4.OA.B.4 경우 2: $a = 2$. 이때 $b \cdot c = 50$ 이고 $2 < b < c$ 인 약수쌍을 찾습니다. $50$ 의 약수쌍은 $(1,

[5] #2 4.OA.B.4 경우 3: $a = 4$. 이때 $b \cdot c = 25$ 이고 $4 < b < c$ 가 필요합니다. $25$ 의 약수쌍은 $(1, 25),

[6] #2 3.OA.D.8 각 경우의 결과를 합산합니다. $3 + 1 + 0 = 4$ 가지이고, 실제 세 수 묶음은 $(1, 2, 50), (1, 4, 25), (1, 5

검토

합리성 확인: 네 묶음을 직접 곱해 확인: $1 \cdot 2 \cdot 50 = 100$, $1 \cdot 4 \cdot 25 = 100$, $1 \cdot 5 \cdot 20 = 100$, $2 \cdot 5 \cdot 10 = 100$ — 모두 $100$ 이고 세 수가 엄격하게 커지는 순서를 지킵니다. 그리고 $a^3 < 100$ 이라는 상한 덕분에 $a \ge 5$ 인 묶음을 놓쳤을 가능성도 없으므로 총 개수는 정확히 $4$ 이고, 답 (E) 와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) 로 소인수분해를 이용할 수도 있습니다. $100 = 2^2 \cdot 5^2$ 의 소인수 $\{2, 2, 5, 5\}$ 를 세 그룹(비어 있는 그룹은 $1$ 로 처리)으로 나누는 방법을 헤아리면 같은 네 묶음이 나옵니다. 다만 위에서처럼 $a$ 로 경우를 나눠 약수쌍을 적는 방식이 AMC 8 학생에겐 더 깔끔합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.B.4 약수쌍을 모두 찾고 배수를 인식하기; 소수·합성수 판정 ($a$ 후보를 $100$ 의 약수 $\{1, 2, 4\}$ 로 좁히고, 각 경우에서 $100$, $50$, $25$ 의 약수쌍을 나열하는 데 사용.)
3.OA.D.8 100 이내 네 가지 연산을 이용한 두 단계 문장제 (각 경우의 묶음 수 $3 + 1 + 0 = 4$ 를 더하고, 후보 묶음을 곱셈으로 검산하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "약수쌍 찾기" 만 알면 풀 수 있어요 — $100$ 을 점점 커지는 세 조각으로 쪼개기만 하면 돼요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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