AMC 8 · 2023 · #21
학년 5 counting문제
알리나는 카드 한 장에 한 개의 수씩, 1,2,…,9를 각각 다른 카드에 적었습니다. 이 카드들을 3장씩 3개의 묶음으로 나누되, 각 묶음에 적힌 수의 합이 모두 같아지도록 하려고 합니다. 이렇게 나눌 수 있는 방법은 몇 가지입니까?
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AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 알리나에게 $1, 2, 3, \ldots, 9$ 이 한 장씩 적힌 카드 아홉 장이 있습니다. 이 카드들을 세 묶음 — 각 묶음에 카드 세 장씩 — 으로 나누되, 세 묶음의 카드 합이 모두 같아야 합니다. 이렇게 나누는 방법의 가짓수를 구해야 합니다.
주어진 것: $1$ 부터 $9$ 까지 적힌 카드 아홉 장, 각 숫자는 한 번씩만 사용; 정확히 카드 세 장씩으로 이루어진 묶음 $3$ 개로 나눠야 함; 세 묶음의 카드 합이 모두 같아야 함; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$
구하는 것: $\{1, 2, \ldots, 9\}$ 를 합이 같은 세 묶음(각 묶음 카드 세 장)으로 분할하는 서로 다른 방법의 수
이해
문제 재정리: 알리나에게 $1, 2, 3, \ldots, 9$ 이 한 장씩 적힌 카드 아홉 장이 있습니다. 이 카드들을 세 묶음 — 각 묶음에 카드 세 장씩 — 으로 나누되, 세 묶음의 카드 합이 모두 같아야 합니다. 이렇게 나누는 방법의 가짓수를 구해야 합니다.
주어진 것: $1$ 부터 $9$ 까지 적힌 카드 아홉 장, 각 숫자는 한 번씩만 사용; 정확히 카드 세 장씩으로 이루어진 묶음 $3$ 개로 나눠야 함; 세 묶음의 카드 합이 모두 같아야 함; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기
"몇 가지 방법…" 처럼 유한하고 작은 경우의 수를 세는 문제는 도구 #2(빠짐없이 나열하기)의 전형적인 신호입니다. 본격적인 나열에 앞서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 (가) 한 묶음의 합이 얼마여야 하는지, (나) 그 합을 만드는 카드 세 장의 조합을 모두 찾기, (다) 그 조합 중 카드를 한 번씩만 쓰는 세 묶음 고르기 — 세 단계로 나눕니다. 그 다음 도구 #3(가능성 지우기)로 "카드 $9$ 는 어느 묶음에든 반드시 들어간다" 라는 사실을 발판으로 삼아 경우를 두 가지로 좁히면, 나머지 묶음은 거의 강제로 결정되기 때문에 답이 작은 수가 됩니다.
실행 — 정답: C
2.NBT.B.5 단계 1 - 먼저 카드 아홉 장의 숫자 총합을 구합니다.
- $1{+}9, 2{+}8, 3{+}7, 4{+}6$ 으로 짝을 지으면 합이 $10$ 인 짝이 네 개 만들어지고, 가운데 $5$ 가 남으므로 총합은 $40 + 5 = 45$ 입니다.
💡 $100$ 이내의 덧셈을 능숙하게 하는 2학년 기본기로 충분합니다.
3.OA.A.3 단계 2 - 세 묶음의 합이 같다면 한 묶음의 합은 전체의 $\dfrac{1}{3}$ 이어야 합니다.
- $45$ 를 $3$ 으로 나누면 한 묶음당 목표 합이 나옵니다.
💡 전체를 셋으로 똑같이 나누는 것은 3학년 나눗셈 문장제 그대로입니다.
4.OA.B.4 단계 3 - $\{1, \ldots, 9\}$ 에서 서로 다른 카드 세 장의 합이 $15$ 가 되는 모든 경우를 빠짐없이 적습니다.
- 중복을 피하려고 "가장 큰 카드" 를 기준으로 위에서 아래로 정리합니다.
- 가장 큰 카드가 $9$ 라면 남은 두 장의 합은 $6$ — 짝은 $(1,5), (2,4)$ 둘뿐 ($(3,3)$ 은 같은 카드라 안 됨).
- 가장 큰 카드가 $8$ 이면 남은 두 장의 합은 $7$ — $(1,6), (2,5), (3,4)$.
- 가장 큰 카드가 $7$ 이면 합 $8$ — $(2,6), (3,5)$ ($(1,7)$ 은 $7$ 을 두 번 쓰므로 제외).
- 가장 큰 카드가 $6$ 이하면 나머지 두 장 평균이 $4.5$ 이상이 되어 이미 위에서 적은 경우들과 같은 묶음을 다시 만들 뿐입니다.
💡 $15$ 를 서로 다른 세 카드의 합으로 쪼개는 모든 방법을 찾는 것은, 4학년에서 어떤 수의 "모든 인수쌍" 을 찾는 습관과 똑같은 발상입니다 (곱셈 대신 덧셈에 적용).
5.OA.B.3 단계 4 - 이제 카드 $1{\sim}9$ 를 한 번씩만 쓰는 세 묶음을 골라야 합니다.
- 카드 $9$ 는 어느 한 묶음에는 반드시 들어가므로, $9$ 가 속한 묶음은 위의 목록에서 $\{1,5,9\}$ 또는 $\{2,4,9\}$ 둘 중 하나입니다.
- 이 두 가지 경우로 나누고, 나머지 카드들로 다른 묶음을 결정하면 됩니다.
💡 "가장 큰 카드 $9$ 가 어디로 가는가" 라는 규칙에서 경우를 두 갈래로 만들어 내는 것이 5학년 "규칙에서 수의 경우를 만들어 내기" 표준의 핵심입니다.
4.OA.A.3 단계 5 - 경우 1, $\{1,5,9\}$ 가 한 묶음.
- 남은 카드는 $\{2,3,4,6,7,8\}$.
- 3단계 목록에서 이 안에 통째로 들어가는 "$8$ 을 포함하는 합 $15$ 묶음" 은 $\{3,4,8\}$ 뿐 ($\{1,6,8\}$ 은 이미 쓴 $1$ 을, $\{2,5,8\}$ 은 이미 쓴 $5$ 를 다시 쓰므로 탈락).
- 마지막으로 남은 카드 $\{2,6,7\}$ 의 합은 $2+6+7=15$ 로 자동으로 세 번째 묶음이 됩니다.
- 따라서 경우 1 은 정확히 한 가지 분할 $\{1,5,9\},\{3,4,8\},\{2,6,7\}$ 을 줍니다.
💡 묶음 하나를 정한 뒤 남은 카드의 합을 확인하는 다단계 자연수 계산은 4학년 수준입니다.
4.OA.A.3 단계 6 - 경우 2, $\{2,4,9\}$ 가 한 묶음.
- 남은 카드는 $\{1,3,5,6,7,8\}$.
- 다시 "$8$ 을 포함하는 합 $15$ 묶음" 중 이 안에 들어가는 것은 $\{1,6,8\}$ 뿐 ($\{2,5,8\}$ 은 빠진 $2$ 가, $\{3,4,8\}$ 은 빠진 $4$ 가 필요해서 탈락).
- 남은 카드 $\{3,5,7\}$ 의 합은 $3+5+7=15$ 로 세 번째 묶음이 됩니다.
- 따라서 경우 2 도 정확히 한 가지 분할 $\{2,4,9\},\{1,6,8\},\{3,5,7\}$ 을 줍니다.
💡 경우 1 과 같은 4학년 수준의 "빼고 확인하기" 과정을 두 번째 갈래에 똑같이 적용한 것입니다.
2.NBT.B.5 단계 7 - 찾은 분할의 개수를 더합니다.
- 경우 1 에서 한 가지, 경우 2 에서 한 가지, 카드 $9$ 는 반드시 한 묶음에만 들어가야 하므로 그 외의 경우는 없습니다.
- 따라서 총 $1 + 1 = 2$ 가지, 정답은 $(C)$.
💡 경우의 수를 더하는 것은 2학년 덧셈입니다.
2.NBT.B.5 먼저 카드 아홉 장의 숫자 총합을 구합니다. $1{+}9, 2{+}8, 3{+}7, 4{+}6$ 으로 짝을 지으면 합이 $10$ 인 짝이 네 개 3.OA.A.3 세 묶음의 합이 같다면 한 묶음의 합은 전체의 $\dfrac{1}{3}$ 이어야 합니다. $45$ 를 $3$ 으로 나누면 한 묶음당 목표 합이 4.OA.B.4 $\{1, \ldots, 9\}$ 에서 서로 다른 카드 세 장의 합이 $15$ 가 되는 모든 경우를 빠짐없이 적습니다. 중복을 피하려고 "가장 5.OA.B.3 이제 카드 $1{\sim}9$ 를 한 번씩만 쓰는 세 묶음을 골라야 합니다. 카드 $9$ 는 어느 한 묶음에는 반드시 들어가므로, $9$ 가 속 4.OA.A.3 경우 1, $\{1,5,9\}$ 가 한 묶음. 남은 카드는 $\{2,3,4,6,7,8\}$. 3단계 목록에서 이 안에 통째로 들어가는 "$8$ 4.OA.A.3 경우 2, $\{2,4,9\}$ 가 한 묶음. 남은 카드는 $\{1,3,5,6,7,8\}$. 다시 "$8$ 을 포함하는 합 $15$ 묶음" 중 2.NBT.B.5 찾은 분할의 개수를 더합니다. 경우 1 에서 한 가지, 경우 2 에서 한 가지, 카드 $9$ 는 반드시 한 묶음에만 들어가야 하므로 그 외의 경 검토
합리성 확인: 찾은 두 분할 $\{1,5,9\},\{3,4,8\},\{2,6,7\}$ 과 $\{1,6,8\},\{2,4,9\},\{3,5,7\}$ 은 공유하는 묶음이 하나도 없으므로 서로 다른 분할입니다. 각 묶음의 합은 모두 $15$ 이고, 두 분할 안에서 카드 $1$ 부터 $9$ 까지가 각각 한 번씩 등장합니다. 직관적으로도 "합 $15$ 인 카드 세 장 묶음" 자체가 일곱 개뿐이고, 거기서 $9$ 의 위치가 정해지는 순간 나머지 묶음이 거의 강제되니까 답이 $3$ 이나 $4$ 가 아니라 작은 수 $2$ 가 나오는 것이 자연스럽습니다.
대안 접근: 도구 #1(그림 그리기)을 $3 \times 3$ 마방진으로 활용할 수도 있습니다. $1\text{-}9$ 로 만드는 마방진은 (회전·반사를 제외하면) 단 하나뿐이며, 모든 행·열·대각선의 합이 $15$ 입니다. 그 마방진의 "행" 세 줄을 묶으면 $\{4,9,2\},\{3,5,7\},\{8,1,6\}$ — 우리의 경우 2 와 같고, "열" 세 줄을 묶으면 $\{4,3,8\},\{9,5,1\},\{2,7,6\}$ — 경우 1 과 같습니다. 두 대각선도 합이 $15$ 이지만 가운데 $5$ 를 공유하므로 같은 분할에 함께 들어갈 수 없습니다. 그래서 분할의 가짓수가 정확히 $2$ 라는 결과를 한 번에 설명할 수 있습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
2.NBT.B.5$100$ 이내 덧셈·뺄셈 능숙하게 수행 ($1+2+\cdots+9 = 45$ 와 마지막 경우의 수 합 $1+1=2$ 계산에 사용.)3.OA.A.3$100$ 이내 곱셈·나눗셈 문장제 해결 (전체 합 $45$ 를 세 묶음에 똑같이 나누어 한 묶음의 목표 합 $15$ 를 구하는 데 사용.)4.OA.B.4어떤 수의 모든 인수쌍 찾기, 소수·합성수 판별 ($\{1,\ldots,9\}$ 에서 합이 $15$ 가 되는 카드 세 장 묶음을 빠짐없이 찾는 — 인수쌍을 모두 찾던 습관을 덧셈 분해에 적용한 — 단계에서 사용.)4.OA.A.3사칙연산을 사용한 다단계 자연수 문장제 해결 (각 경우에서 한 묶음을 정한 뒤 남은 카드를 추려 또 다른 묶음을 찾고 마지막 세 장의 합을 확인하는 다단계 자연수 계산에 사용.)5.OA.B.3두 가지 규칙으로 수의 경우를 만들고 관계 파악 ("카드 $9$ 가 속한 묶음은 $\{1,5,9\}$ 또는 $\{2,4,9\}$ 이다" 라는 규칙으로 분할 탐색을 두 갈래의 강제된 경우로 만들어 내는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 "규칙으로 경우를 만들어 보기" 만 알면 풀 수 있어요 — 카드 $9$ 가 어느 묶음에 들어가는지만 정하면 나머지 묶음은 저절로 정해진답니다!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 "규칙으로 경우를 만들어 보기" 만 알면 풀 수 있어요 — 카드 $9$ 가 어느 묶음에 들어가는지만 정하면 나머지 묶음은 저절로 정해진답니다!
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