AMC 8 · 2024 · #7
학년 4 geometry-2d문제
3×7 크기의 직사각형을 아래 그림과 같은 세 종류의 타일 2×2, 1×4, 1×1을 사용하여 겹치지 않게 모두 덮으려고 합니다. 이때 사용되는 1×1 타일의 최소 개수는 얼마입니까?
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AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $3 \times 7$ 직사각형(총 21칸)을 $2\times 2$ 타일, $1\times 4$ 타일, $1\times 1$ 타일 세 종류만으로 겹치지 않게 빈틈없이 덮을 때, 사용해야 하는 $1\times 1$ 타일의 최소 개수를 보기 (A) 1, (B) 2, (C) 3, (D) 4, (E) 5 중에서 고른다.
주어진 것: 직사각형 크기는 가로 7칸, 세로 3칸; 쓸 수 있는 타일은 $2\times 2$ (넓이 4), $1\times 4$ (넓이 4), $1\times 1$ (넓이 1) 세 종류; 타일은 격자 칸에 맞춰 놓이며, 겹치지 않고 직사각형 바깥으로 나가지 않음; 정답 보기: (A) 1, (B) 2, (C) 3, (D) 4, (E) 5
구하는 것: 전체를 덮으면서 $1\times 1$ 타일을 가장 적게 쓰는 배치의 $1\times 1$ 타일 개수
이해
문제 재정리: $3 \times 7$ 직사각형(총 21칸)을 $2\times 2$ 타일, $1\times 4$ 타일, $1\times 1$ 타일 세 종류만으로 겹치지 않게 빈틈없이 덮을 때, 사용해야 하는 $1\times 1$ 타일의 최소 개수를 보기 (A) 1, (B) 2, (C) 3, (D) 4, (E) 5 중에서 고른다.
주어진 것: 직사각형 크기는 가로 7칸, 세로 3칸; 쓸 수 있는 타일은 $2\times 2$ (넓이 4), $1\times 4$ (넓이 4), $1\times 1$ (넓이 1) 세 종류; 타일은 격자 칸에 맞춰 놓이며, 겹치지 않고 직사각형 바깥으로 나가지 않음; 정답 보기: (A) 1, (B) 2, (C) 3, (D) 4, (E) 5
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #6 추측하고 확인하기, #2 빠짐없이 나열하기
직사각형과 타일이 모두 격자 위 도형이므로 도구 #1(그림 그리기)로 3×7 모눈을 직접 그려 놓고 타일을 채우는 것이 가장 자연스럽다. 문제를 두 개의 작은 질문으로 쪼갠다(도구 #7): (가) '4칸짜리 큰 타일'과 '1칸짜리 작은 타일'의 칸 수를 더해서 21이 되려면 1칸 타일은 몇 개가 가능한가? (나) 그 후보 개수로 실제로 덮을 수 있는가? (가)는 21을 4로 나눈 나머지를 보는 4학년 수준의 나눗셈 추론으로 끝나고, (나)는 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 그림 위에 큰 타일을 직접 놓아 보면 된다. 후보가 1, 5뿐이라 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로도 두 경우만 검사하면 끝난다. 대수(도구 #13)는 필요 없다.
실행 — 정답: E
4.MD.A.3 단계 1 - 먼저 칸 수로 작은 문제 두 개로 쪼갠다.
- 직사각형은 모두 $3 \times 7 = 21$칸이다.
- $2\times 2$ 타일과 $1\times 4$ 타일은 한 개당 4칸을 덮으므로, '큰 타일'을 모두 합치면 그 칸 수는 반드시 4의 배수다.
- 남는 칸은 $1\times 1$ 타일이 한 칸씩 채워야 한다.
- 따라서 $1\times 1$ 타일 개수 $c$는 '21에서 4의 배수를 뺀 나머지'와 같다.
💡 4학년 면적 공식 $\text{가로} \times \text{세로}$로 21칸을 구하고, 문제를 '큰 타일 칸 수 + 작은 타일 칸 수 = 21'이라는 한 줄로 줄인다.
4.OA.B.4 단계 2 - 이제 21을 4로 나눠 본다.
- $21 = 4 \times 5 + 1$이므로 21을 4의 배수와 나머지로 쓰면 나머지가 1이다.
- 따라서 큰 타일이 5개일 때 $c=1$, 4개일 때 $c=5$, 3개일 때 $c=9$, ...
- 처럼 $c$는 1, 5, 9, ...
- 만 가능하다.
- 보기 (A)부터 (E)까지 중 이 후보에 해당하는 값은 1과 5뿐이므로, 답은 (A) 1 또는 (E) 5다.
💡 4의 배수와 나머지를 가려내는 일은 4학년에서 배우는 배수·약수 개념으로 바로 처리된다.
4.G.A.2 단계 3 - 이제 도구 #1로 $3 \times 7$ 모눈을 그려 놓고, 가장 적은 후보 $c=1$이 정말 가능한지 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 시험한다.
- $c=1$이면 큰 타일이 $5$개여서 큰 타일이 $20$칸을 덮어야 한다.
- 세로가 3칸뿐이므로 $1\times 4$ 타일은 모두 가로 방향이고, $2\times 2$ 타일은 윗행+가운데행 또는 가운데행+아랫행에만 놓을 수 있다.
- 어디에 어떻게 놓더라도 $2 \times 1$ 또는 $1 \times 3$처럼 길쭉한 빈자리가 두 군데 이상 생겨, 큰 타일 5개로 한 칸만 남기는 배치를 만들 수 없다.
💡 4학년에서 배우는 '직사각형의 가로·세로 변과 평행·수직 관계'를 이용해, 세로 3칸 위에 어떤 큰 타일을 어떻게 놓을 수 있는지 그림으로 분류한다.
4.OA.A.3 단계 4 - 왜 $c=1$이 불가능한지 그림으로 확인하기 위해, 한 칸씩 색을 칠해 본다.
- $3 \times 7$ 모눈의 열을 1열부터 7열까지 차례로 빨강(R), 파랑(B), 빨강, 파랑, ...
- 처럼 한 칸 건너 칠하면 빨강 열이 4개, 파랑 열이 3개다.
- 빨강 칸은 $4 \times 3 = 12$개, 파랑 칸은 $3 \times 3 = 9$개로 빨강이 파랑보다 정확히 3개 더 많다.
- 큰 타일은 종류와 상관없이 항상 빨강과 파랑을 같은 수만큼 덮는다($2\times 2$는 빨강 열 한 줄 + 파랑 열 한 줄을 걸쳐 빨강 2 + 파랑 2; $1 \times 4$는 빨강 2열 + 파랑 2열을 덮어 빨강 2 + 파랑 2).
- 따라서 큰 타일만으로는 빨강과 파랑을 같은 수만큼 덜어 내고, 남은 칸들 사이의 빨강·파랑 개수 차이는 여전히 3이다.
- 그 차이를 메우려면 $1\times 1$ 타일이 빨강 칸에 파랑 칸보다 3개 더 놓여야 한다.
- $c=1$이면 빨강·파랑에 모두 합쳐 1개뿐이므로 차이 3을 만들 수 없다.
- 그러므로 $c=1$은 불가능하다.
💡 그림에 색을 칠해 빨강과 파랑 개수의 '차이 3'이라는 한 줄 사실을 만들고, 다단계 추론으로 $c=1$이 그 차이를 못 메운다는 것을 본다.
4.G.A.2 단계 5 - $c=1$이 안 되므로 다음 후보 $c=5$를 도구 #6으로 시험한다.
- 그림에 다음과 같이 큰 타일 4개($2\times 2$ 세 개와 $1 \times 4$ 한 개)와 $1\times 1$ 타일 5개(s 표시)를 배치한다.
- 1~6열의 위 두 행을 $2\times 2$ 타일 세 개로 채우고, 1~4열의 맨 아래 행을 $1\times 4$ 한 개로 채우면, 남는 칸은 7열 전체(3칸)와 5·6열 맨 아래(2칸)로 정확히 5칸이며 이를 $1\times 1$ 다섯 개로 채운다.
💡 직접 그림에 큰 타일과 작은 타일을 배치해 보면, $c=5$가 실제로 가능한 배치임을 한눈에 확인할 수 있다.
4.OA.A.3 단계 6 - 정리하면 $c$가 가능한 값은 $1, 5, 9, \dots$인데 $c=1$은 색칠 차이 3을 메울 수 없어 불가능하고, $c=5$는 위 그림처럼 실제 배치가 존재한다.
- 따라서 사용해야 하는 $1\times 1$ 타일의 최소 개수는 5이며, 정답은 (E) 5다.
💡 후보 두 개 중 하나(1)는 불가능, 다른 하나(5)는 가능 — 다단계 추론으로 최솟값을 골라낸다.
4.MD.A.3 먼저 칸 수로 작은 문제 두 개로 쪼갠다. 직사각형은 모두 $3 \times 7 = 21$칸이다. $2\times 2$ 타일과 $1\times 4.OA.B.4 이제 21을 4로 나눠 본다. $21 = 4 \times 5 + 1$이므로 21을 4의 배수와 나머지로 쓰면 나머지가 1이다. 따라서 큰 타일이 4.G.A.2 이제 도구 #1로 $3 \times 7$ 모눈을 그려 놓고, 가장 적은 후보 $c=1$이 정말 가능한지 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 시험한 4.OA.A.3 왜 $c=1$이 불가능한지 그림으로 확인하기 위해, 한 칸씩 색을 칠해 본다. $3 \times 7$ 모눈의 열을 1열부터 7열까지 차례로 빨강 4.G.A.2 $c=1$이 안 되므로 다음 후보 $c=5$를 도구 #6으로 시험한다. 그림에 다음과 같이 큰 타일 4개($2\times 2$ 세 개와 $1 \ 4.OA.A.3 정리하면 $c$가 가능한 값은 $1, 5, 9, \dots$인데 $c=1$은 색칠 차이 3을 메울 수 없어 불가능하고, $c=5$는 위 그림처럼 검토
합리성 확인: $c=5$가 답이라는 것은 두 가지 사실이 모두 맞아야 한다: (1) $21 - 5 = 16 = 4 \times 4$이므로 큰 타일 4개가 16칸을 빈틈없이 덮을 수 있어야 하고, (2) 그것보다 작은 후보인 $c=1$은 빨강·파랑 칸 수 차이 3 때문에 결코 만들 수 없다. (1)은 $2\times 2$ 세 개로 윗쪽 $2 \times 6$ 영역을, $1\times 4$ 한 개로 아래쪽 $1 \times 4$ 영역을 덮어 직접 보였고, (2)는 열을 R/B로 번갈아 색칠해 큰 타일이 R과 B를 항상 같은 수로 덮는다는 그림 사실로 보였다. 두 사실이 모두 일관되므로 답 (E) 5는 옳다.
대안 접근: 도구 #10(직접 만져보기)으로 풀 수도 있다. 모눈종이 위에 $3 \times 7$ 직사각형을 그리고, 색종이로 $2\times 2$ 타일 몇 개와 $1 \times 4$ 타일 몇 개를 잘라 두 가지를 손으로 옮기며 빈자리를 줄여 본다. 큰 타일을 4개 놓으면 항상 정확히 5칸이 남는다는 것을 손으로 확인할 수 있고, 5개를 놓아 보려고 하면 한 칸만 남기는 배치를 절대 만들지 못한다는 것도 손으로 체험할 수 있다. 어린 학생에게는 이 물리적 실험이 색칠 논증보다 더 설득력 있다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.MD.A.3Apply area and perimeter formulas for rectangles in real-world problems (직사각형의 총 칸 수 $3 \times 7 = 21$과 각 타일의 넓이를 계산해 '큰 타일 칸 수 + 작은 타일 칸 수 = 21' 식을 세울 때 사용.)4.OA.B.4Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (21을 4의 배수와 나머지($21 = 4 \times 5 + 1$)로 분해해 $1\times 1$ 타일 개수 후보를 $\{1, 5, 9, \dots\}$로 좁힐 때 사용.)4.G.A.2Classify two-dimensional figures based on presence of parallel or perpendicular lines (세로 3칸인 직사각형 안에 $1\times 4$, $2\times 2$가 어떻게 놓일 수 있는지(가로·세로 방향, 평행한 행 위치)를 그림으로 분류할 때 사용.)4.OA.A.3Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (색칠로 빨강·파랑 칸 수의 차이를 구하고, 후보 $c=1, 5$를 차례로 검사해 최솟값을 결정하는 다단계 추론에 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 직사각형 넓이와 배수·나머지 개념만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 직사각형 넓이와 배수·나머지 개념만 알면 풀 수 있어요!
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