AMC 8 · 2025 · #13

학년 4 number-theory

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Floor Count Across Residue Bins

modular-arithmeticpattern-recognitionsequences-arithmeticgraph-reading pattern-recognitionsystematic-enumerationmodular-arithmetic ↑ 선수 지식: modular-arithmeticmulti-digit-arithmetic

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문제

짝수 $2, 4, 6, \ldots, 50$ 을 각각 $7$ 로 나누고, 그 나머지를 기록합니다. 각 나머지가 나타나는 횟수를 올바르게 나타낸 히스토그램은 다음 중 어느 것입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(histogram) bar heights for remainders 0–6: 3, 4, 4, 3, 4, 3, 4

(B)

(histogram) bar heights for remainders 0–6: 3, 4, 4, 4, 3, 3, 4

(C)

(histogram) bar heights for remainders 0–6: 3, 4, 4, 4, 4, 3, 3

(D)

(histogram) bar heights for remainders 0–6: 4, 3, 4, 3, 4, 3, 4

(E)

(histogram) bar heights for remainders 0–6: 4, 4, 3, 4, 3, 4, 3

AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $2$ 부터 $50$ 까지의 짝수 $25$ 개를 하나씩 $7$ 로 나누면 나머지가 $0$ 부터 $6$ 사이의 값으로 나옵니다. 각 나머지가 몇 번씩 나오는지 세어, 그 빈도를 막대 높이로 보여주는 히스토그램을 (A)~(E) 중에서 고르는 문제입니다.

주어진 것: 다룰 수는 짝수 $2, 4, 6, \ldots, 50$; 각 수를 $7$ 로 나눈 나머지를 기록; 가능한 나머지는 $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ 의 $7$ 가지; 보기 (A)~(E) 는 나머지 $0$~$6$ 의 막대 높이를 나열한 히스토그램

구하는 것: 나머지 $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ 이 각각 몇 번 나오는지, 그리고 그 빈도와 일치하는 히스토그램

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

짝수를 $7$ 로 나눈 나머지는 일정한 길이로 되풀이되는 사이클이 나오므로, 도구 #5(패턴 찾기) 가 가장 자연스러운 주된 도구입니다 — 앞쪽 몇 개의 나머지를 직접 구해서 사이클을 발견하고, 이를 이용해 빠르게 셈을 합니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 는 처음 일곱 개 짝수의 나머지를 순서대로 적어 사이클이 보이게 도와 줍니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기) 은 객관식 마무리용입니다 — 빈도표가 만들어지면 (A)~(E) 중 단 하나만 일치하고 나머지는 지울 수 있습니다.

실행 — 정답: A

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 1

먼저 짝수 개수를 셉니다.
$2$ 부터 $50$ 까지의 짝수는 $2 \cdot 1, 2 \cdot 2, \ldots, 2 \cdot 25$ 로 쓸 수 있으므로 정확히 $25$ 개입니다.
따라서 $7$ 개 막대 높이의 합은 반드시 $25$ 가 되어야 합니다.

$$2 \cdot 1, 2 \cdot 2, \ldots, 2 \cdot 25 \;\Rightarrow\; 25 \text{ 개}$$

💡 각 짝수를 $1$~$25$ 의 자연수와 짝지어 세는 것은 4학년 여러 단계 문장제 그대로의 동작입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.NBT.B.6 단계 2

사이클을 찾기 위해 앞쪽 짝수들의 나머지를 차례로 적어 봅니다.
빠짐없이 나열하면 길이 $7$ 의 패턴 $2, 4, 6, 1, 3, 5, 0$ 이 드러납니다.

$$2 \div 7 \to 2,\; 4 \div 7 \to 4,\; 6 \div 7 \to 6,\; 8 \div 7 \to 1,\; 10 \div 7 \to 3,\; 12 \div 7 \to 5,\; 14 \div 7 \to 0$$

💡 몫과 나머지를 구하는 것은 4학년 "나머지가 있는 나눗셈" 그대로입니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3

사이클이 정말로 반복되는지 확인합니다.
다음 짝수 $16$ 의 경우 $16 \div 7 = 2 \cdots 2$ 로 사이클의 처음 값과 똑같습니다.
어떤 수에 $14 (= 2 \cdot 7)$ 를 더해도 $7$ 로 나눈 나머지는 변하지 않으므로, $(2, 4, 6, 1, 3, 5, 0)$ 의 $7$ 개짜리 묶음이 계속 반복됩니다.

$$16 \div 7 \to 2 \;\; (2 \div 7 \text{ 과 같음})$$

💡 수의 나열에서 반복 사이클을 발견하는 것은 4학년 "규칙을 따르는 수·도형 패턴 만들기" 표준이 바로 작동하는 장면입니다.

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.6 단계 4

$25$ 개 안에 사이클이 몇 번이나 들어가는지 봅니다.
$25 \div 7 = 3 \cdots 4$ 이므로 사이클 $(2, 4, 6, 1, 3, 5, 0)$ 가 통째로 $3$ 번 (총 $21$ 개) 들어가고, 마지막에 사이클 앞부분 $4$ 개가 남습니다.

$$25 = 7 \cdot 3 + 4$$

💡 $25$ 를 "$7$ 묶음 $3$ 개와 나머지 $4$" 로 나누는 것은 사이클 단위에서 다시 등장하는 4학년 나머지 있는 나눗셈입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 5

각 나머지의 횟수를 셈합니다.
$3$ 번의 완전한 사이클 덕분에 나머지 $0$~$6$ 은 일단 모두 $3$ 번씩 채워집니다.
남은 $4$ 개 짝수 ($44, 46, 48, 50$) 는 사이클의 앞부분 $2, 4, 6, 1$ 에 해당하므로, 그 네 칸에만 $1$ 씩 더해 줍니다.

$$44 \div 7 \to 2,\; 46 \div 7 \to 4,\; 48 \div 7 \to 6,\; 50 \div 7 \to 1$$

💡 "사이클마다 $3$ 씩" 과 "나머지 $4$ 개에만 $+1$" 을 합치는 것은 4학년 두 단계 문장제의 결합 그대로입니다.

#3 가능성 지우기 3.MD.B.3 단계 6

나머지 $0$ 부터 $6$ 까지 순서대로 최종 막대 높이를 정리하고 합을 확인합니다.
나머지 $0$: $3$.
나머지 $1$: $3+1=4$.
나머지 $2$: $3+1=4$.
나머지 $3$: $3$.
나머지 $4$: $3+1=4$.
나머지 $5$: $3$.
나머지 $6$: $3+1=4$.
합 $= 3+4+4+3+4+3+4 = 25$ 로 짝수 개수와 정확히 일치합니다.

$$[3, 4, 4, 3, 4, 3, 4],\quad 3+4+4+3+4+3+4 = 25 \;\checkmark$$

💡 빈도표의 값을 막대 높이로 옮겨 읽는 것은 3학년 "눈금이 있는 막대그래프" 표준입니다.

#3 가능성 지우기 3.MD.B.3 단계 7

구한 높이 배열을 다섯 보기와 비교해 답을 좁힙니다.
$[3, 4, 4, 3, 4, 3, 4]$ 와 일치하는 것은 오직 (A) 뿐 — (B) 는 $[3, 4, 4, 4, 3, 3, 4]$, (C) 는 $[3, 4, 4, 4, 4, 3, 3]$, (D) 는 $[4, 3, 4, 3, 4, 3, 4]$, (E) 는 $[4, 4, 3, 4, 3, 4, 3]$ 으로 모두 어긋납니다.

$$\text{(A)} = [3, 4, 4, 3, 4, 3, 4] \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 계산한 빈도와 각 히스토그램을 한 칸씩 맞춰 보는 것은 3학년 막대그래프 읽기 그대로입니다.

[1] #2 4.OA.A.3 먼저 짝수 개수를 셉니다. $2$ 부터 $50$ 까지의 짝수는 $2 \cdot 1, 2 \cdot 2, \ldots, 2 \cdot 25$ 로

[2] #2 4.NBT.B.6 사이클을 찾기 위해 앞쪽 짝수들의 나머지를 차례로 적어 봅니다. 빠짐없이 나열하면 길이 $7$ 의 패턴 $2, 4, 6, 1, 3, 5, 0$

[3] #5 4.OA.C.5 사이클이 정말로 반복되는지 확인합니다. 다음 짝수 $16$ 의 경우 $16 \div 7 = 2 \cdots 2$ 로 사이클의 처음 값과 똑같습니

[4] #5 4.NBT.B.6 $25$ 개 안에 사이클이 몇 번이나 들어가는지 봅니다. $25 \div 7 = 3 \cdots 4$ 이므로 사이클 $(2, 4, 6, 1, 3

[5] #2 4.OA.A.3 각 나머지의 횟수를 셈합니다. $3$ 번의 완전한 사이클 덕분에 나머지 $0$~$6$ 은 일단 모두 $3$ 번씩 채워집니다. 남은 $4$ 개 짝

[6] #3 3.MD.B.3 나머지 $0$ 부터 $6$ 까지 순서대로 최종 막대 높이를 정리하고 합을 확인합니다. 나머지 $0$: $3$. 나머지 $1$: $3+1=4$.

[7] #3 3.MD.B.3 구한 높이 배열을 다섯 보기와 비교해 답을 좁힙니다. $[3, 4, 4, 3, 4, 3, 4]$ 와 일치하는 것은 오직 (A) 뿐 — (B) 는

검토

합리성 확인: 짝수 $25$ 개를 $7$ 개의 나머지 칸에 나눠 담으면 한 칸 평균 $25 / 7 \approx 3.57$ 번이 나옵니다. 정수 횟수로 표현하면 $3$ 과 $4$ 가 섞여야 하는데, (A) 는 $3$ 이 세 칸, $4$ 가 네 칸으로 정확히 이 모양입니다. 막대 합도 $25$ 로 짝수 개수와 일치하고, $+1$ 이 더해진 네 칸 ($1, 2, 4, 6$) 은 우리가 마지막 짝수 $44, 46, 48, 50$ 에서 얻은 나머지와 정확히 같으니 내부적으로도 모순이 없습니다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기) 로도 풀 수 있습니다 — 짝수 $2k$ ($k = 1, 2, \ldots, 25$) 를 $7$ 로 나눈 나머지는 결국 $k$ 의 나머지에 의해 결정됩니다. $25 = 7 \cdot 3 + 4$ 이므로 $k \bmod 7$ 이 $1, 2, 3, 4$ 인 경우는 $k$ 가 $4$ 개씩 ($k = 1, 8, 15, 22$ 등) 있고 나머지 잔여류는 $3$ 개씩입니다. $2$ 배 하면 $k \equiv 1, 2, 3, 4$ 가 각각 나머지 $2, 4, 6, 1$ 로 옮겨가므로 그 네 나머지에만 $4$ 씩, 나머지 세 곳 ($0, 3, 5$) 에는 $3$ 씩 — 다시 (A).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.MD.B.3 눈금이 있는 그림그래프와 막대그래프 그리기·해석하기 (계산한 빈도 $[3, 4, 4, 3, 4, 3, 4]$ 를 히스토그램 막대 높이와 한 칸씩 맞춰 보고 정답 (A) 를 골라내는 데 사용.)
4.NBT.B.6 최대 네 자리 피제수에 대한 몫과 나머지 구하기 (각 짝수와 총 개수 $25$ 를 $7$ 로 나누어 몫과 나머지를 구하는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴 만들기 ($2, 4, 6, 8, \ldots$ 을 $7$ 로 나눈 나머지가 길이 $7$ 의 사이클 $(2, 4, 6, 1, 3, 5, 0)$ 으로 반복된다는 사실을 인식하는 데 사용.)
4.OA.A.3 네 가지 연산을 사용하는 여러 단계 문장제 해결 ("$3$ 번 반복되는 사이클당 $3$" 과 "나머지 $4$ 개 짝수에 대한 $+1$" 을 결합해 $7$ 개 막대 높이를 셈하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "나머지가 있는 나눗셈" 과 "반복 패턴 찾기" 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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