AMC 8 · 2025 · #16

• $20$ 개 수를 차이가 $10$ 인 짝으로 묶어 다시 정리합니다: $(1,11), (2,12), (3,13), (4,14), (5,15), (6,16), (7,17), (8,18), (9,19), (10,20)$.
• 이제 '차가 $10$' 금지 조건은 '같은 짝(같은 세로 칸) 의 두 수를 동시에 뽑지 마라' 로 바뀝니다.

💡 수의 나열을 일정한 규칙($+10$ 짝)으로 다시 묶어보는 것은 4학년 '규칙에 따라 수의 패턴 만들기' 활동 그대로입니다.

• 수를 세어 봅니다.
• 우리는 작은 쪽에서 $5$ 개, 큰 쪽에서 $5$ 개, 총 $10$ 개를 뽑습니다.
• 짝꿍도 정확히 $10$ 개입니다.
• 같은 짝꿍의 두 수를 둘 다 뽑을 수 없으므로, $10$ 개의 뽑기는 $10$ 개의 짝꿍에 하나씩 들어가야 합니다 — 즉, 각 짝꿍에서 정확히 한 수를 뽑게 됩니다.
• (만약 어느 한 짝꿍을 빼먹는다면, 다른 짝꿍에서 두 수를 뽑아야 하는데 그건 금지된 조건이라 모순이 생깁니다.)

💡 $10$ 번의 뽑기 문제를 '짝꿍 하나에서 하나 고르기' $10$ 개의 작은 문제로 쪼개는 것은 4학년 다단계 문장제 풀이의 핵심 동작입니다.

• 작은 예시로 아이디어를 확인해 봅시다.
• 작은 쪽 $\{1, 2, 3, 4\}$, 큰 쪽 $\{5, 6, 7, 8\}$ (짝꿍 차이는 $4$) 에서 양쪽 $2$ 개씩 뽑되 차가 $4$ 인 짝은 금지라고 합시다.
• 금지 짝꿍은 $(1,5), (2,6), (3,7), (4,8)$ 입니다.
• 작은 쪽 $\{1, 2\}$ 큰 쪽 $\{7, 8\}$ 을 뽑으면 합 $= 1 + 2 + 7 + 8 = 18$.
• 작은 쪽 $\{3, 4\}$ 큰 쪽 $\{5, 6\}$ 이면 합 $= 3 + 4 + 5 + 6 = 18$.
• 작은 쪽 $\{1, 3\}$ 큰 쪽 $\{6, 8\}$ 이면 합 $= 1 + 3 + 6 + 8 = 18$.
• 어떤 합법적 선택을 해도 답이 같다는 우리의 추측이 맞아 떨어집니다.

💡 $10$ 개 짝꿍 대신 $4$ 개 짝꿍의 작은 버전으로 먼저 풀어 보는 것은 4학년 '비슷한 더 쉬운 문제로 줄이기' 습관입니다.

• 원래 문제로 돌아옵니다.
• 각 짝꿍 $(k, k+10)$ 에서 정확히 하나를 뽑으니, 그 수는 $k$ 아니면 $k+10$ 입니다.
• 만약 작은 짝 대신 큰 짝을 뽑았다면 그 짝꿍의 기여가 정확히 $10$ 만큼 늘어납니다.
• 따라서 $\text{총합} = (\text{작은 짝꿍들의 합}) + 10 \times (\text{큰 짝을 뽑은 횟수})$.
• 우리는 $10$ 번의 뽑기 중 정확히 $5$ 번이 큰 쪽에서 나왔다는 것을 아니까, 두 번째 항은 $10 \times 5 = 50$ 입니다.

💡 '기본값 + 보너스' 로 나누어 계산하는 것은 4학년 다단계 문장제 풀이 전략입니다.

잘 알려진 합 $1 + 2 + \dots + 10 = 55$ 를 쓰고, 보너스 $50$ 을 더합니다.

💡 여러 자리 자연수를 막힘없이 더하는 것($55 + 50 = 105$)은 4학년 NBT 의 핵심 기술입니다.